4.3 La modélisation de la TAOC par détection holographique pho-
4.3.2 La résolution axiale selon z
Pour obtenir une résolution axiale selon z, nous proposons d’utiliser la tech- nique originale de Tomographie Acousto-Optique Cohérente (TAOC). Cette technique de résolution axiale s’appuie sur le contrôle des longueurs de cohé- rence acoustique et optique, en apportant une modulation aléatoire sur l’ex- citation acoustique et sur l’un des bras optiques. Nous considérons ici une modulation aléatoire sur le bras optique sonde, autrement dit sur le faisceau lumineux d’injection dans le milieu diffusant. Cette technique suppose éga- lement un retard temporel entre les modulations acoustique et optique afin de sélectionner dans la colonne acoustique une zone de cohérence donnée, qui se caractérise par un signal interférométrique acousto-optique temporellement cohérent sur le temps d’expérimentation.
Pour clarifier les différents temps caractéristiques intervenant dans la mo- délisation, la figure 4.3 propose une échelle de temps correspondante. L’intro- duction du temps τ, compris entre Tφ et Tmod sera justifiée dans la suite de l’analyse.
La modulation aléatoire des champs optique et acoustique
L’application de la modulation aléatoire sur les bras d’excitation optique et acoustique implique que le champ lumineux d’injection E0
P(t) et la tension d’excitation du PZT U0
P ZT(t) s’écrivent
EP0 (t) = < {EP exp [j(ω0t+ ψP(t))]} (4.31)
UP ZT0 (t) = < {UP ZT exp [j(ωU St+ ψU S(t))]} (4.32) où ψP et ψU S sont les modulations aléatoires de phases respectivement appli- quées sur le champ d’illumination et sur l’excitation ultrasonore.
L’amplitude complexe du champ d’illumination s’écrit :
E0P(t) = EP exp(jψP(t)) (4.33)
U0P ZT(t) = UP ZT exp (j ψU S(t)) (4.34) L’amplitude complexe de la pression acoustique devient ainsi
P0U S(r, t) = A(r) UP ZT exp jω U Sz cU S exp jψU S(t − z cU S) (4.35) Le champ des photons marqués
Par le suivi des étapes qui ont permis l’obtention de l’équation 4.30, l’am- plitude complexe des photons marqués E0
S,ω±1(t) s’écrit E0S,ω±1(t) = aEP X l " j exp(−j2πsl,0 λ ) × X m " 2πβl,m λ exp( ±jφl,m) exp( ±jψl,m(t)) # # (4.36) où la phase ψl,m, dépendante du temps t, et de la localisation zl,m du diffuseur
m le long de l’axe z, est définie par
ψl,m(t) = ψP(t) + ψU S(t −
zl,m
cU S
) (4.37)
L’équation 4.36 montre que la modulation aléatoire de phase des ultrasons (i.e. ψU S), et du bras optique d’injection (i.e. ψP) n’interviennent dans le calcul du signal des photons marqués que par l’intermédiaire de leur somme ψl,m(t). Du fait des sauts aléatoires de phase intervenant à intervalle Tφ, le champ complexe E0
S,ω±1(t) varie selon un temps caractéristique Tφ.
Dans la suite de la modélisation sera introduite la détection par holographie photoréfractive. Notons dès à présent que toutes les constantes de temps qui en découleront seront très supérieures à Tφ, à savoir le temps de réponse de l’holo- graphie photoréfractive qui s’établit sur un temps caractéristiques τP R Tφ, le temps caractéristique de la modulation asymétrique de phase de l’excitation ultrasonore qui vérifie Tmod = 2π/ωmod Tφ, et le temps d’intégration à la détection synchrone qui vérifie également τc Tφ.
Il en devient légitime de considérer le champ des photons marqués E0
S,ω±1(t) selon sa moyenne temporelle hE0
S,ω±1(t)iτ définie selon
h....iτ ≡ 1 τ Z t0=t+τ /2 t0=t−τ /2 (....)dt 0 (4.38)
sur un temps caractéristique τ vérifiant
Tφ τ τP R, Tmod, τc (4.39)
La moyenne temporelle du champ des photons marqués E0
temps caractéristique τ s’écrit alors hE0S,ω±1(t)iτ = aEP X l j exp(−j2πsl,0 λ ) (4.40) ×X m " 2πβl,m
λ exp( ±jφl,m) × hexp( ±jψl,m(t))iτ
##
Notons que la modulation aléatoire de phase n’intervient dans la moyenne temporelle du champ hE0
S,ω±1(t)iτ qu’à travers le terme hexp( ±jψl,m(t))iτ, qui ne dépend lui-même que de la position zl,m du diffuseur l, m. Nous voyons clairement que si hexp( ±jψl,m(t))iτ tend vers zéro, alors hE0S,ω±1(t)iτ tendra de même vers zéro.
Par définition, nous avons ψl,m(t) = ψP(t)+ψU S(t− zl,m
cU S) où ψP et ψU S sont toutes deux des fonctions aléatoires. Par conséquent, la moyenne hE0
S,ω±1(t)iτ est non négligeable si les fonctions ψP et ψU S vérifient à chaque instant
ψP(t + θ) = −ψU S(t −
zl,m
cU S), (4.41)
autrement dit, si ψP et ψU Ssont égales à un retard temporel θ près. Pour les diffuseurs l, m situés dans la zone z ' z0 sélectionnée correspondant au retard choisi θ = z0/cU S, nous avons à chaque instant ψl,m(t) ' 0 et par conséquent hexp( ±jψl,m(t))iτ ' 1. Au contaire, pour les diffuseurs l, m situés en dehors de la zone sélectionnée, nous avons de manière aléatoire ψl,m(t) ' 0, π qui implique hexp( ±jψl,m(t))iτ ' 0. En prenant la même modulation aléatoire sur le bras acoustique et sur le bras optique, à un retard temporel θ = z0/c
U S choisi près, nous pouvons ainsi effectuer une sélection spatiale autour de z0. La fonction de corrélation g
1(θ)
Pour caractériser, cette sélection spatiale de manière plus quantitative, dé- finissons maintenant la fonction de corrélation :
g 1(θ) = hE0P(t)E0∗ P(t + θ)iτ h|E0P(t)|2iτ (4.42) = hexp[jψP(t)] exp[−jψP(t + θ)]iτ
= hexp[jψU S(t)] exp[−jψU S(t + θ)]iτ = hU0U S(t)U0∗U S(t + θ)iτ
h|U0U S(t)|2iτ
Notons que par la notation introduite, g1 ne dépend que de θ. Il existe à priori une dépendance temporelle en t, mais sous la condition τ Tφ cette dépendance est négligeable.
Le moyennage temporel du champ des photons marqués peut s’écrire hE0S,ω±1(t)iτ = aEP X l " j exp −j2πsl,0 λ ×X m " g1 z l,m− z0 cU S 2πβ l,m λ exp( ±jφl,m) ## (4.43)
quent, après un bref régime transitoire, le champ ES,ω±1(t) atteint un régime stationnaire. Ce même second membre fait intervenir également la position de la zone sélectionnée z0, ou de manière équivalente θ. Sous la condition Tφ
τ (τP R, Tmod, τc) nous pourrions donc écrire hE0S,ω±1(t)iτ ≡ hE 0
S,ω±1i(θ). L’application d’une même modulation aléatoire sur les bras d’excitation acoustique et optique à un retard temporel θ près permet de créer le long de la colonne acoustique une zone de cohérence statique localisée en z0 = cU Sθ. La longueur de cohérence acousto-optique
Le terme g1((zl,m− z0)/cU S) sélectionne grâce à la sommationPm les évé- nements de diffusion m d’abscisse zl,m tels que :
(z0 − TφcU S) < zl,m <(z0+ TφcU S) (4.44) La largeur de zone de cohérence est définie par la fonction de corrélation
g1. Cette fonction équivaut à l’intégrale de recouvrement de deux portes tem- porelles de largeur Tφ, donnant classiquement un triangle de base 2T φ. Nous pouvons définir une longueur de cohérence acousto-optique lc selon
lc= cU STφ (4.45)
Notons que du point de vue expérimental, cette longueur de cohérence lc est ajustable en faisant varier le temps de bascule des sauts de phase Tφ. Nous obtenons ainsi une résolution axiale centrée sur un lieu z0 = cU S × θ fonction du retard temporel θ contrôlé, et de résolution ∆z = cU STφ fonction du pas temporel Tφ également contrôlé.