4.3 La modélisation de la TAOC par détection holographique pho-
4.3.5 La détection du signal acousto-optique
La modulation pour une détection synchrone
Pour extraire le signal des photons marqués, l’onde ultrasonore subit une modulation temporelle supplémentaire, en amplitude ou en phase. Nous consi- dérons ici une modulation de phase HU S(t) de type créneau asymétrique selon {0, π}, de pulsation ωmod = 2π/Tmod et de rapport cyclique de modulation 0 < r < 1 , à savoir
HU S(t) = +1 pour 0 ≤ t/Tmod ≤ r (4.69)
HU S(t) = −1 pour r < t/Tmod≤1
Nous considérons de plus que la période de modulation Tmodest très grande par rapport au temps de corrélation Tφ, mais plus petite que le temps photoréfractif
τP R, autrement dit
2π
ωU S
< Tφ Tmod< τP R (4.70) La modulation s’applique selon
U0P ZT(t) → U00P ZT(t) = HU S(t) U0P ZT(t) (4.71) Notons que, comme mentionné plus haut, nous considérerons dans cette partie 4.3.5, une modulation rectangulaire de la phase des ultrasons à ωmod ∼3 kHz, qui est destinée à induire une variation temporelle du signal de photodiode de detection. Les champs sont désormais notés E 00
P et E 00S, et le signal sur la photodiode S 00
P D.
En pratique, nous avons typiquement Tmod ∼ 100µs. Comme ce temps caractéristique Tmod est lent du point de vue de la propagation des ultrasons dans le milieu, et pour simplifier la discussion, nous ne ferons pas apparaître le retard temporel z0/vU S correspondant au temps de propagation entre le PZT (i.e. z = 0) jusqu’à la zone à imager d’abscisse z0. Nous considérons pour cela la fonction H(t) = HU S t − z0 cU S (4.72)
L’équation définissant l’amplitude complexe du champ des photons mar- qués s’écrit désormais
E 0S,ω1(t) → E 00S,ω1(t) = H(t) E 0S,ω1(t) (4.73)
De la même manière, l’équation 4.56 qui définit l’amplitude complexe du champ diffracté devient
E 00D,ω1(y, t) = e−α(y−y1)/2
Z ∞
0
dt0 H(t − t0) E 0S,ω1(y1, t − t0) G(y, t0) (4.74)
Le signal acousto-optique modulé
Le signal de la photodiode donné par l’équation 4.60 devient quant à lui
S 00P D(t) = c.c. + e−α(y2−y1) Z dx Z dz (4.75) H(t) E 0S,ω1(x, y2, z, t) Z ∞ 0 dt0 H∗(t − t0) E 0∗S,ω1(x, y2, z, t − t 0) G∗(y2 , t0)
Par le suivi des étapes conduisant de l’équation 4.60 à l’équation 4.68, nous obtenons
hS 00
P D(t)iτ = c.c. + e−α(y2−y1)
2πaEp λ 2 H(t) (4.76) × ∞ Z 0 dt0H∗(t − t0) G∗(y2, t0) × Z dx Z dzX l X m βl,m2 | g1 z l,m− z0 cU S |2 × X m0 tel que |z l,m−zl,m0|<λU S exp (j (φl,m− φl,m0))
En considérant Tmod < τP R, l’intégration sur t0 dans l’équation4.76 peut être simplifiée, et en utilisant l’équation 4.49, nous obtenons alors
Z ∞ 0 dt0H∗(t − t0) G∗(y2, t0) ' " 1 τP R Z TP R 0 dt0H∗(t − t0) # (4.77) × Z ∞ 0 dt0G∗(y2, t0) = (1 − 2r) γ(y2 − y1)
L’équation 4.77 souligne que pour une modulation H (t) plus rapide que le temps de réponse de l’holographie photoréfractive τP R, l’hologramme enregistré est proportionnel à la valeur moyenne de H(t) prise sur un temps τP R, soit hH(t)iτP R. Le caractère asymétrique de la modulation H (t) permet ainsi de
optique modulé sur la photodiode de grande surface selon hS 00
P D(t)iτ ' c.c.+ e−α(y2−y1)
2πaEp λ 2 H(t) (4.78) ×(1 − 2r) γ(y2− y1) × Z dx Z dzX l X m βl,m2 | g1 z l,m− z0 cU S |2 × X m0 tel que |z l,m−zl,m0|<λU S exp (j (φl,m− φl,m0))
Le signal acousto-optique sur la photodiode de grande surface est ainsi modulé temporellement selon la modulation H (t).
Les caractéristiques du signal acousto-optique
Considérons une expression légèrement simplifiée du signal modulé sur la photodiode hSP D(t)iτ ∝ c.c + (1 − 2r)H(t) Ep 2 γ(y2 − y1) (4.79) × Z dx Z dzX l X m βl,m2 | g1 z l,m− z0 cU S |2 × X m0 tel que |z l,m−zl,m0|<λU S exp (j (φl,m− φl,m0))
L’équation 4.79 constitue le principal résultat de notre analyse théorique du signal attendu en Tomographie Optique Cohérente.
Le signal acousto-optique modulé sur la photodiode de grande surface est ici
– proportionnel à l’intensité optique injectée |EP|2 dans le milieu diffusant, – proportionnel à la surface de la photodiode R
dxR
dz,
– proportionnel à la puissance acoustique délivrée par le PZT, via le terme
β2 l,m,
– proportionnel à H(t) dont la modulation permet une détection synchrone, – et proportionnel à | g1z
l,m−z0
cU S
|2, qui sélectionne dans la sommation sur les événements de diffusion les événements compris dans la tranche
(z0− TφcU S) < zl,m < (z0+ TφcU S) (4.80) Après sommation sur les événements de diffusion, le signal est ainsi pro- portionnel à Tφ et par conséquent à la longueur de cohérence acousto- optique lc= TφcU S.
La détection synchrone
Pour détecter la modulation en H(t) par détection synchrone à la pulsation
ωmod, le temps d’intégration τc doit vérifier
τc>> Tmod = 2π/ωmod (4.81) Le signal Ssync de la détection synchrone varie alors avec le rapport cyclique r de la la modulation H(t) selon
Ssync ∝(1 − 2r) · sin(πr) (4.82)
Le premier facteur, à savoir (1 − 2r), provient de l’équation 4.79. Le second facteur, à savoir sin(πr), résulte de la détection d’un signal rectangulaire de rapport cyclique r via une détection synchrone. Il correspond au poids de la composante de Fourier d’un rectangle périodique de rapport cyclique r. Le signal Ssync est maximum pour r ' 0.24. Nous pouvons remarquer que la transformation r 7→ (1−r) change le signe du signal Ssyncmais laisse sa valeur absolue inchangée.
Une synthèse sur la modélisation de la TAOC par détection holo- graphie photoréfractive
La particularité de la modélisation exposée dans cette section est de tenir compte des contributions locales au niveau de chaque diffuseur à la modulation acousto-optique induite par la propagation de l’onde ultrasonore dans le milieu diffusant.
Dans un premier temps, nous n’avons pas tenu compte de la TAOC, et nous avons formulé la génération des photons marqués présente dans toute imagerie acousto-optique. Nous avons rapidement effectué l’hypothèse de faible modulation afin de ne considérer que les premiers ordres de modulation, à savoir les ordres +1 et −1.
Pour modéliser la technique de TAOC, nous avons ensuite introduit les sé- quences de modulation aléatoire de phases ψU S et ψP. Nous avons alors trouvé que ces deux séquences doivent nécessairement être identiques, à un retard tem- porel θ près, i.e. ψP (t) = −ψU S(t − θ). Pour mettre en évidence la résolution axiale permise par la TAOC, nous avons introduit la fonction d’autocorrélation des modulations aléatoires g1(θ) = hexp[jψU S(t)] exp[−jψU S(t + θ)]iτ.
Nous avons ensuite calculé le signal acousto-optique intégré sur une photo- diode de grande surface. Ce signal acousto-optique correspond au terme d’in- terférences entre le champ diffusé transmis à travers le cristal et le champ diffracté par l’holographie photoréfractive. Nous avons trouvé que la TAOC implique un signal acousto-optique fonction de | g1 |2 qui implique la sélec- tion d’une zone de cohérence acousto-optique d’abscisse contrôlé z0 = cU Sθ et d’étendue contrôlée ∆z = cU STφ. La TAOC permet donc bien d’obtenir une résolution selon l’axe de propagation ultrasonore.
Enfin, notons dès maintenant que le signal acousto-optique obtenu par TAOC est proportionnel au temps de cohérence acousto-optique Tφ, tout comme
entre la résolution axiale souhaitée et la dynamique du signal attendue.