3.2 L’effet photoréfractif
3.2.2 L’utilisation du modèle de transport de bande
Pour rendre compte des mécanismes microscopiques de transfert de charges dans ces milieux, le formalisme généralement retenu est le modèle de transport de bande, initié par N. Kukhtarev [60, 61], qui repose sur la physique des semiconducteurs. Nous allons exposer ici les paramètres importants, en nous intéressant notamment au cas de l’AsGa.
L’hypothèse de faible contraste
En l’absence d’absorption, l’illumination I du milieu s’exprime selon
où I0 représente l’éclairement lumineux moyen, m le contraste de l’inter- férogramme, et k le vecteur d’onde du réseau d’interférences, lié à son pas Λ = 2π
|k|. Nous considérons ici une interférence de deux faisceaux de rapport d’amplitude très important, ce qui correspond typiquement à notre situation expérimentale. Le constraste est alors faible et le modèle de transport de bande peut être linéarisé. Cette linéarisation implique que le champ de charge d’es- pace Esc ne présente que la fréquence spatiale fondamentale 1/Λ.
Les paramètres importants
La dynamique du champ de charge d’espace Esc peut être caractérisée par son amplitude ainsi que par son temps d’établissement τP R. Pour décrire ces deux grandeurs, un certain nombre de paramètres entrent en jeu, comme la densité effective de pièges Nef f, les coefficients d’absorption αn,p, les coefficients d’émission thermique βn,p et le facteur de compétition électron-trou ξ0. Nous allons dans un premier temps rapidement les passer en revue. De manière générale, la notation Xn,p correspond respectivement aux porteurs de charge électrons (n) et trous (p).
– La densité effective de pièges Nef f est définie selon
Nef f =
[EL2+].[EL20]
[EL2+] + [EL20] (3.2)
Cette grandeur conditionne la longueur d’écran de Debye lD et le vecteur d’onde associé kD, défini selon
kD = 2π lD = e2 εkBT Nef f, (3.3)
Nous verrons que ce vecteur d’onde optimise le champ de charge d’espace Esc.
– Le coefficient d’absorption αn,p témoigne de l’efficacité du mécanisme de photo-excitation. Il dépend des sections efficaces de photoionisation Sn, p et de la concentration de l’espèce considérée. Dans le cas de l’AsGa, nous avons
αn,p= Sn,p[EL20,+]. (3.4)
En considérant des sections efficaces de photoionisation Sn,p ' 10−17− 10−16cm2 et avec des concentrations typiques [EL20,+] ' 1016cm−3, nous obtenons des coefficients d’absorption αn,p ' 1cm−1. Ceci est confirmé par le spectre d’absorption à température ambiante d’un de nos cristaux de l’AsGa rapporté sur la figure 3.4.
– Les coefficients d’émission thermique βn,plimitent la capacité de stockage de charges du piège.
900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 0 1 2 3 4 ( c m - 1 ) Longueur d'onde (nm)
Figure 3.4: Spectre d’absorption dans le proche infrarouge du cristal d’AsGa utilisé dans notre expérimentation.
An,p =
βn,p+ Sn,pI0
Sn,pI0 (3.5)
quantifie l’influence de la photoconductivité par rapport à l’excitation thermique. En régime de fort flux (Sn,pI0 >> βn,p), ce paramètre vaut
An,p ' 1, et le champ de charge d’espace Esc est indépendant du flux lumineux. Nous obtenons alors une saturation de l’efficacité photoréfrac- tive.
– Le facteur de compétition électron-trou ξ0 est défini selon
ξ0 =
αn− αp
Anαn+ Apαp
. (3.6)
Ce paramètre est faible lorsque la photo-excitation engendre à la fois des électrons (n) et des trous (p). Dans le cas de l’AsGa à 1064nm, ce facteur est voisin de 1.
Le champ de charge d’espace Esc et son temps de réponse τP R
Munis de ces paramètres, le champ de charge d’espace Esc s’exprime selon Esc = −ikBT e ξ0 k 1 + k2 k2 D (3.7)
et son temps d’établissement τP R selon τP R = εkBT e2 1 (Anαn+ Apαp)I0 k2 1 + k2 k2D (3.8) Notons un point important sur cette dernière expression. Le temps de ré- ponse τP R est inversement proportionnel à l’éclairement du milieu I0. Typique- ment, pour obtenir des temps de réponses de l’ordre de la milliseconde avec l’AsGa, un éclairement de l’ordre de quelques W/cm2 est nécessaire. Notons également que le temps de réponse τP R varie selon le pas du réseau k . Comme nous le verrons par la suite, notre marge de manoeuvre expérimentale sur ce paramètre est limitée du fait de l’épaisseur du cristal et des problèmes de flux parasite parvenant sur le photodétecteur.
La modulation d’indice photo-induite
Le champ de charge d’espace Esc établi implique une variation locale de l’indice de réfraction par effet électro-optique, lié au tenseur électro-optique [rijk] du milieu. Les deux faisceaux qui se propagent dans le milieu engendrent ainsi un réseau d’indice, qui constitue un hologramme dynamique sur lequel ils vont se diffracter, et par ce biais transférer leur énergie l’un sur l’autre.
La modélisation de ce transfert s’obtient par la théorie des modes couplés initiée par H. Kogelnik [62]. L’importance de la diffraction dépend du caractère électro-optique du cristal, où interviennent les amplitudes des termes tensoriels [rijk], et de la symétrie de la configuration expérimentale, qui conditionne le champ de chage d’espace Esc. Pour quantifier cela, est utilisé un coefficient électro-optique effectif ref f, qui en pratique peut être positif ou négatif. Le gain photoréfractif γ
Considérons les vecteurs de polarisations unitaires es,p respectivement du champs signal (s) et du champ pompe (p). Notons θ l’angle entre ces faisceaux dans le cristal.
Le gain photoréfractif, exprimé en cm−1, s’écrit alors
γ = πn 3 0ref f iλcosθ (es.e ∗ p) · E sc. (3.9)
Les figures 3.5 et 3.6 rapportent le gain photoréractif d’un de nos cristaux de AsGa en fonction de l’éclairement moyen dans le cristal. Par rapport à la figure 3.5, la figure 3.6 est obtenue par simple rotation du cristal de 180◦ pour rapport à son axe vertical.
Nous y voyons clairement l’effet de saturation de l’effet photoréfractif, pré- sentant ici un gain de saturation
| γsat |'0.28cm−1, (3.10)
Id'10mW/cm2. (3.11) L’inversion du signe du gain entre ces deux mesures met également en évidence la symétrie du tenseur électro-optique [rijk]. La similitude de l’am- plitude de ces deux courbes, au signe près, montre également le caractère ici négligeable des réseaux d’absorption photoinduits.
0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 données expérimentales fit : Id= 11 mW/cm2, γsat= 0.281 cm−1
γ
(en cm -1 ) I ref (en mW/cm2)Figure 3.5: Gain photoréfractif positif dans le cristal d’AsGa en configuration copropageante à 1064nm.