Régularisation quadratique

La régularisation quadratique nécessite le réglage d’un seul paramètre, λ, le para-mètre de régularisation. Ce parapara-mètre a donc été varié afin d’étudier son influence sur la qualité de la reconstruction obtenue à partir d’images bruitées. Les résultats sont présentés sur la figure 3.17.

(a) λ = 0 (b) λ = 10⁻⁵

(c) λ = 5 10⁻⁵ (d) λ = 10⁻⁴

Figure 3.17 – Impact du paramètre de régularisation sur la reconstruction : régularisation

quadratique

On constate une baisse des oscillations dues au bruit ainsi qu’une baisse globale de l’amplitude du signal à mesure que le paramètre de régularisation augmente. Les coupes 1D présentées en figure 3.18 permettent de visualiser de manière plus claire ce phénomène.

Le réglage du paramètre de régularisation est crucial dans la reconstruction. Dans le cadre de validation sur des écoulements synthétiques, on peut évaluer la pertinence du choix effectué par rapport au champ synthétique mais en phase d’expérimentation ce n’est plus le cas. Dans les différentes études d’optimisation où le critère est quadratique, on peut déterminer le "meilleur" paramètre de régularisation en utilisant la stratégie de la courbe en L que nous avons présenté dans le chapitre 2. Cette courbe a été tracée pour différents paramètres de régularisation et est présentée en figure 3.19.

(a) Coupe 1

(b) Coupe 2

Figure 3.18 – Impact du paramètre de régularisation sur la reconstruction : régularisation

quadratique.

d’une valeur de paramètre de régularisation entre 10⁻⁵ et 10⁻⁴. Ceci est confirmé par les erreurs normalisées par rapport au champ d’initialisation jet moyen présentées dans la table 3.2 où l’erreur la plus faible est celle associée au cas λ = 5 10⁻⁵. On note un léger rebroussement de la courbe pour le paramètre de régularisation le plus faible. Nous pensons que ceci est dû à des problèmes de convergence lorsque le paramètre de

Figure 3.19 – Courbe en L associée à la reconstruction avec régularisation quadratique du jet

instantané

régularisation est faible, peut être liés à la différence entre la matrice A et la transposée que nous calculons qui n’est qu’une approximation de la véritable transposée.

Reconstruction λ = 0 λ = 10⁻⁵ λ = 5 10⁻⁵ λ = 10⁻⁴

Erreur normalisée 0.77 0.65 0.63 0.84

Table 3.2 – Erreur normalisée en fonction du paramètre de régularisation pour la régularisation

quadratique

3.3.5.2 Régularisation L₂L₁

La régularisation L₂L₁ nécessite le réglage de deux paramètres : le paramètre de régularisation et le seuil qui déclenche le comportement L₂. Elle est donc plus complexe à mettre en œuvre.

Ces deux paramètres ont donc été variés et différentes reconstructions compilées. Ces résultats sont présentés en figures 3.20 et 3.22.

La figure 3.20 présente l’évolution de la reconstruction en fonction du paramètre de régularisation pour un seuil fixé. Les oscillations dues aux bruits sont diminuées au fur et à mesure que le paramètre de régularisation augmente. Cette propriété est plus franche que pour la régularisation quadratique. Ici, on supprime quasiment ces oscillations alors qu’on les lisse dans le cas de la régularisation quadratique. Un second avantage de cette méthode repose sur le fait que l’augmentation du paramètre de régularisation n’est pas systématiquement associé à une baisse d’amplitude globale de la solution. Ceci est clairement mis en avant par la coupe 1D de la figure 3.21. On voit

que la solution la moins régularisée (λ = 10⁻⁵) a globalement une amplitude inférieure à la solution avec le paramètre de régularisation intermédiaire (λ = 10⁻⁴). Celle-ci a de plus coupé un grand nombre des oscillations dues au bruit et présente donc un réel intérêt puisqu’elle associe une forte diminution du bruit à une amplitude du signal respectée. Ceci est quantifié dans la table 3.3 où l’on présente l’erreur normalisée par rapport au champ à l’initialisation pour les trois paramètres de régularisation présentés. Notons que la meilleure solution présente une erreur inférieure à la meilleure solution quadratique.

Reconstruction λ = 10⁻⁵ λ = 10⁻⁴ λ = 5 10⁻⁴

Erreur normalisée 0.71 0.56 0.87

Table 3.3 – Erreur normalisée en fonction du paramètre de régularisation pour la régularisation L₂L₁, δ=0.1

(a) λ = 10⁻⁵, δ = 0.1 (b) λ = 10⁻⁴, δ = 0.1

(c) λ = 5 10⁻⁴, δ = 0.1

Figure 3.20 – Impact du paramètre de régularisation sur la reconstruction : régularisation L2L₁

L’impact du seuil est ensuite étudié. Pour cela, trois reconstructions à paramètre de régularisation fixé à 10⁻⁵ sont calculées et le paramètre de seuil varié (figure 3.22). La diminution du seuil entraîne une baisse des oscillations dues au bruit mais également une baisse globale de l’amplitude. L’erreur normalisée est calculée pour les trois cas et présentée dans la table 3.4. On constate que les variations du seuil ont un impact modéré sur la reconstruction par rapport au paramètre de régularisation.

(a) Coupe 1

(b) Coupe 2

Figure 3.21 – Impact du paramètre de régularisation sur la reconstruction : régularisation L2L₁

avec δ =0.1

Reconstruction δ = 1 δ = 0.1 δ = 0.01

Erreur normalisée 0.74 0.71 0.70

Table 3.4 – Impact du seuil sur la reconstruction : régularisation L2L1 avec λ=10⁻⁵

Le critère que nous avons défini étant convexe, nous cherchons à déterminer si la stratégie de la courbe en L pour déterminer le meilleur paramètre de régularisation à seuil fixé semble convenir. La courbe en L associé au cas δ = 0.1 est tracée sur la figure 3.24. On constate que le point d’inflexion se situe au niveau du paramètre de régularisation qui vaut 10⁻⁴ ce qui est cohérent avec le tableau des erreurs. Néanmoins,

(a) λ = 10⁻⁵, δ = 1 (b) λ = 10⁻⁵, δ = 0.1

(c) λ = 10⁻⁵, δ = 0.01

Figure 3.22 – Impact du paramètre du seuil sur la reconstruction : régularisation L2L₁

on note de nouveau un rebroussement léger de la courbe pour des paramètres de régularisation plus faibles.

(a) Coupe 1

(b) Coupe 2

Figure 3.23 – Impact du seuil sur la reconstruction : régularisation L2L₁ avec λ=10⁻⁵

En conclusion, les deux méthodes de régularisation implémentées dans l’algorithme de reconstruction permettent toutes deux d’améliorer la qualité des reconstructions mais elles présentent des spécificités différentes.

La régularisation quadratique a tendance à lisser, en aplatissant le signal, de ce fait, la réduction du bruit sur la reconstruction s’accompagne généralement d’une baisse d’amplitude de celui-ci.

Figure 3.24 – Courbe en L associée à la reconstruction avec régularisation L2L1, δ=0.1

oscillations de manière importante sans impliquer une diminution de l’amplitude du signal. Néanmoins, son réglage est plus complexe et le nombre d’itérations nécessaire à la convergence est bien supérieur à celui de la régularisation quadratique (de l’ordre de 5 à 10 fois supérieur).

3.3.6 Nombre et positions des caméras