Méthodes de mesure de déplacement image .1Concepts de base.1Concepts de base

Soient deux images I(x, y, t0) et I(x, y, t1), le flot optique est défini comme le champ de vecteurs 2D qui décrit le mouvement apparent de chaque pixel entre différentes images d’un objet prises à différents instants. Ce mouvement apparent est analysé en se basant sur l’hypothèse que l’intensité lumineuse d’un point image est indépendante du temps. Soit,

I(x, y, t) =I(x+δx, y+δy, t+δt) (1.19) Cette hypothèse est vérifiée si les conditions suivantes sont respectées :

– Écoulements transparents, non-dispersifs avec seulement de faibles variations de masse volumique. Les angles de réfraction sont généralement de l’ordre d’une petite fraction du degré.

– Éclairage stable.

– Le fond doit être un matériau diffus afin d’éliminer les variations d’intensité d’un point du fond visualisé de différentes directions.

– Temps de pose de la caméra faible pour limiter le flou de bougé.

Deux méthodes se distinguent pour le calcul du champ de déplacement (δx, δy) : – les méthodes locales,

– les méthodes globales.

1.4.3.2 Méthodes locales

Le principe de ces méthodes se base sur la définition de fenêtres locales dont on cherche le déplacement entre les deux images étudiés. Pour déterminer ce déplacement, une mesure de corrélation croisée est définie. Cette mesure est souvent la somme des différences au carrés définie, pour un pixel k à une position (x,y) telle que,

X

m

w(mx− x, m_y− z)(I(mx, m_y, t)− I(mx− δx(k), y+my− δy(k), t+δt)²

où m(m_x, m_y)correspond aux pixels appartenant à la fenêtre définie autour du pixel k. Les méthodes utilisées classiquement dans les logiciels PIV consistent à choisir des déplacements entiers (δx, δy) pour chaque fenêtre locale puis à calculer la mesure de corrélation pour chacun des déplacements via FFT. Le pic de corrélation est ensuite déterminé et le domaine affiné pour permettre la détermination au niveau subpixel des déplacements.

Les méthodes de type Lucas et Kanade se positionnent quant à elles dans un contexte d’optimisation pour déterminer les déplacements. On minimise la différence

définie précédemment avec des méthodes itératives de type Gauss-Newton. En pra-tique, dans un premier temps la fonction de corrélation est calculée pour différents déplacements entiers (figure 1.35 a). Ensuite, une étape d’interpolation est effectuée pour permettre le calcul du gradient (figure 1.35 b) nécessaire à la minimisation via des méthodes de type Gauss-Newton (figure 1.35 c). Puisque la fonction minimisée n’est pas convexe, elle possède plusieurs minima. En pratique, on s’assure que le minimum trouvé est celui correspondant effectivement au déplacement en effectuant des calculs avec plusieurs tailles de fenêtres (multi-résolution).

Figure 1.35 – Méthodes de déplacements basées sur des fenêtres locales

Le principal paramètre de réglage est la taille de la fenêtre d’interrogation qui cor-respond à un compromis entre une variance élevée (fenêtre trop petite) et un biais vers des déplacements constants (fenêtre trop grande).

1.4.3.3 Méthodes globales

Ces méthodes reposent sur une formulation globale de l’estimation comme la re-cherche d’un champ de vecteurs permettant de superposer deux images et satisfaisant à des contraintes de régularité (terme de régularisation spatial). La méthode Horn et Schunck (1980) représente ce type de méthode. L’idée est de minimiser la fonction suivante, Z Ω⁽ ∂I ∂x^δx+ ∂I ∂y^{δy+λ(| ∇δx |} 2 +| ∇δy |²))dxdy (1.20)

sur tous les pixels de l’image Ω. Le lissage est assuré via le terme de régularisation minimisant le gradient du champ de déplacement. Le paramètre λ est le paramètre de

régularisation et contrôle le niveau de lissage de la solution. Il agit donc globalement comme la taille des fenêtres dans les méthodes locales.

Un second type de méthodes globales est la méthode variationnelle proposée par Papenberg et al. (2006). Elle consiste à ne plus utiliser la formulation basée sur le gra-dient mais à généraliser l’hypothèse d’intensité lumineuse constante à d’autres fonctions linéaires L_i (identité, gradient, Laplacien) de l’intensité de l’image. La norme D_i,

Di =|| L_i(I(x+δx, y+δy, t+δt))− L_i(I(x, y, t))||² (1.21) est minimisée sur l’image entière en combinaison à une fonction de pénalité Ψ per-mettant d’éliminer les vecteurs aberrants. Un terme de régularisation spatial similaire à celui de la méthode Horn et Schunck (1980) est également appliqué. Au final, la fonction à minimiser est la suivante,

E =

Z

Ω⁽Ψ(^X

i

α_iD_i) +λΨ(| ∇δx |2+| ∇δy |2))dxdy (1.22) Atcheson et al. (2009) ont évalué la performance de chacun de ces algorithmes sur le cas d’images de type BOS. Ils ont démontré que les méthodes variationnelles ont tendance à lisser de manière excessive les hautes fréquences. Les algorithmes de Lucas et Kanade (1981) et Horn et Schunck (1980) sont assez équivalents avec une erreur légèrement plus faible pour la méthode Horn et Schunck (1980). Néanmoins la sensibilité aux paramètres de cette méthode la rend moins facile à utiliser que la méthode de Lucas et Kanade (1981) dont le seul paramètre à régler par l’utilisateur est la taille de la fenêtre.

1.4.3.4 Extensions liées aux cas d’études complexes

Étant donné les hypothèses assez restrictives associées au calcul du flot optique, des algorithmes prenant en compte des conditions où les hypothèses ne sont pas respectées ont également été développés. En effet, dans le cadre de l’utilisation de la BOS sur des flammes l’hypothèse d’intensité lumineuse constante n’est plus respectée car la flamme émet de la lumière qui n’est pas présente sur l’image de référence. Sans cette hypothèse, Iffa et al. (2011b) ont modifié l’équation de Lucas et Kanade (1981) afin de prendre en compte la différence d’intensité lumineuse pour obtenir le champ de température à l’intérieur de la flamme. Ce type d’adaptation locale du critère pour tenir compte de la variation d’intensité est assez classique, on procède par exemple par renormalisation dans le logiciel FOLKI-SPIV (Champagnat et al. (2011)) utilisé pour le calcul des déplacements dans ces travaux.

1.4.3.5 Précision des méthodes de mesure des déplacements

La plupart des méthodes de traitement du flot optique sont généralement précises au dixième de pixel. Ce point est particulièrement sensible lors d’études d’écoulements instantanés, il faut alors s’assurer que le dispositif expérimental permet de visualiser des déplacements supérieurs à cette limite. Lors d’études d’écoulements moyens, les erreurs se moyennent et on peut généralement déterminer des déplacements inférieurs à ce seuil. C’est le cas par exemple des auteurs ayant travaillé sur le micro-jet (Schröder et al. (2011)) en atmosphère raréfiée où des déplacements de l’ordre de millième de pixel ont pu être déterminés.

1.4.4 Conclusion sur la mise en place d’une expérimentation BOS3D à