Expérimentation simulée et méthode de reconstruction Le but de cette section est de présenter brièvement les principaux paramètres qui

seront étudiés dans la section suivante.

3.2.1 Configuration d’acquisition

Différentes configurations d’acquisition ont été utilisées que ce soit sur le nombre total de caméras utilisées ou bien sur leur disposition dans l’espace.

3.2.1.1 Nombre de caméras

Afin de préparer les expérimentations, il est nécessaire d’évaluer à partir de combien de caméras nous considérons qu’une reconstruction apporte suffisamment d’informa-tions sur le champ visualisé. Quatre configurad’informa-tions dont trois sont présentées sur la figure 3.10 ont été testées. L’axe du jet est représenté par une flèche. Ces configurations sont basées sur 7, 13, 26 et 52 caméras, réparties régulièrement sur un cercle situé dans un plan perpendiculaire à l’axe du jet.

(a) 7 caméras (b) 13 caméras (c) 26 caméras

Figure 3.10 – Configurations planes à nombre croissant de caméras

Les deux premières configurations sont des configurations réalistes en terme d’expé-rimentation. Les deux dernières sont clairement non atteignables dans un cadre classique d’expérimentation mais permettent néanmoins de valider l’algorithme de reconstruction puisque les champs reconstruits dans ces configurations doivent se rapprocher du champ synthétique.

3.2.1.2 Position des caméras

Lorsqu’il est possible d’optimiser la position des caméras dans une expérimentation réelle il faut pouvoir évaluer les positions les plus propices à une reconstruction de qualité. Dans certaines installations, les accès optiques sont contraints et on ne peut pas préparer en amont l’optimisation de la position des caméras. Dans ce cadre, il reste également intéressant d’évaluer l’impact de la position des caméras sur la reconstruction pour évaluer si des biais sont induits par un positionnement particulier. Dans ce cadre, nous avons défini à nouveau trois configurations à 13 caméras présentées en figure 3.11.

La première configuration est la configuration à 13 caméras telle que présentée dans la section précédente, les caméras sont dans un plan privilégié perpendiculaire à l’axe du jet. La seconde configuration est une configuration que l’on peut qualifier de

(a) Configuration 1 (b) Configuration 2 (c) Configuration 3

Figure 3.11 – Configurations à 13 caméras positionnées en divers points de la sphère de vue

sphérique. Les caméras sont positionnées dans l’espace complet tout autour du champ. La troisième configuration est une configuration très contrainte où les accès optiques sont limités à un seul côté, les caméras sont sur le plan perpendiculaire à l’axe du jet et ne sont finalement présentes que dans un faible angle solide.

3.2.2 Méthode de reconstruction

3.2.2.1 Choix de l’espace de reconstruction Discrétisation

C’est l’utilisateur qui, dans la limite des capacités mémoire disponibles, spécifie le nombre de voxels du volume reconstruit. Il est intéressant d’évaluer les erreurs ou biais associés à une sous-discrétisation. Nous avons donc défini trois discrétisations :

– 80³ voxels – 160³ voxels – 240³ voxels

sachant que les volumes synthétiques que nous avons générés sont de dimension 300³ voxels.

Choix du masque

Comme nous l’avons vu dans la section 2.3.4.1, il semble qu’un masque permette de concentrer l’intensité du signal dans la zone où il est effectivement présent et d’amélio-rer la qualité des reconstructions. Ceci permet également de diminuer le temps de calcul.

Nous mettons donc en place une stratégie de définition de masque qui se base sur les projections, c’est à dire les images de déviations précédemment obtenues. Notons que cette stratégie est réaliste puisqu’elle ne se base que sur des données réellement disponibles même dans un expérimentation réelle. La première étape consiste à définir un seuil en dessous duquel on assume que les déviations observées sont dues au bruit et non à l’écoulement. Les projections sont donc binarisées entre zones de présence et d’absence de l’écoulement. Ensuite, pour chaque caméra, on rétropropage cette information dans le volume. On combine alors ces zones de présence pour chaque caméra et on garde la zone où toutes les zones de présence se combinent. Finalement, en fonction du résultat obtenu on érode le masque ou on prend le masque convexe associé afin de prendre en compte les zones homogènes à l’intérieur du masque qui ne sont pas détectées par notre stratégie. La figure 3.12 schématise cette procédure. Sur cette figure, nous représentons les zones de présence de l’écoulement obtenues à partir

des champs de déviations pour deux caméras (ici les caméras dénommées 2 et 8). Trois tranches du volume sont présentées afin de démontrer que la zone de présence pour une seule caméra est très grande et que de multiples points de vue sont nécessaires pour restreindre la zone effective de présence de l’écoulement.

Figure 3.12 – Choix du masque. Les masques associés aux caméras 2 et 8 sont présentées. La

combinaison des masques de toutes les caméras permet de définir la zone effective de présence de l’écoulement. Une étape de post-traitement est nécessaire pour englober les zones non détectées au cœur du volume

Le choix du masque est dépendant de l’utilisateur, plus précisément du seuil choisi pour séparer les informations issues de l’écoulement ou du bruit. Nous nous sommes donc intéressés à l’impact de l’ajustement du masque sur la qualité de la reconstruction. Pour cela, nous avons étudié trois reconstructions avec trois masques différents. Le premier masque défini est un masque serré qui n’a pas subi de post-traitement, c’est un masque "brut". Le second est un masque plus large et dont la frontière est plus régulière, qui englobe tout le jet en son sein. Il a fait l’objet d’une étape de post-traitement pour l’élargir et le lisser. Le dernier masque est en réalité une absence totale de masque, aucune contrainte n’est définie sur la position du volume à reconstruire (figure 3.14).

3.2.2.2 Initialisation

Le fait d’utiliser des critères convexes nous permet normalement de considérer que l’initialisation n’a pas d’importance. En pratique, les difficultés d’optimisation font que que la solution obtenue en un temps raisonnable dépend de l’initialisation. Dans notre étude nous disposons du jet moyen ce qui nous permet de définir une initialisation réa-liste pour le jet instantané. Nous avons donc défini deux configurations d’initialisation. 1. Initialisation à une valeur constante, égale à la valeur moyenne du cas synthétique. 2. Initialisation avec le jet moyen, volume synthétique obtenu à partir des calculs

Évaluer l’impact de l’initialisation sur la reconstruction est un point crucial. En effet, si l’on constate qu’une initialisation réaliste offre des reconstructions de meilleure qualité on peut être amené à définir un protocole expérimental ou numérique qui permette d’assurer un champ d’initialisation réaliste.

Nous rappelons que la moyenne du champ initial fixe la moyenne du champ recons-truit.

3.2.2.3 Choix du critère

Nous avons détaillé dans le chapitre précédent les deux méthodes de régularisation qui sont implémentées dans notre algorithme : régularisation quadratique et régulari-sation L₂L₁.

La régularisation quadratique nécessite le réglage d’un seul paramètre, λ, le para-mètre de régularisation alors que la régularisation L₂L₁ nécessite le réglage de deux paramètres, λ, le paramètre de régularisation et δ, le seuil de passage de L₁ à L₂. Nous allons donc évaluer l’impact de ces différents paramètres en les faisant varier et en comparant les reconstructions obtenues.

Notons que nous essaierons de fixer le paramètre de régularisation le plus pertinent pour ces deux critères convexes en utilisant la stratégie de la courbe en L décrite dans la section 2.3.3.1.

3.2.2.4 Optimisation

Tous les résultats présentés dans cette partie se basent sur l’optimisation via la méthode du gradient conjugué de Labat et Idier (2008). Le pas choisi est celui utilisé dans la section 2.3.5.2 avec θ =1 et I, le nombre d’itérations égal à 1.

Dans ce cadre, le calcul d’optimisation s’arrête pour deux configurations différentes : 1. le calcul a convergé, dans notre cas on considère que c’est le cas si la différence

entre deux itérations du critère est inférieure à un seuil (généralement 10⁻³). 2. le calcul diverge, c’est à dire que le critère à l’itération k+1 est supérieur au

calcul à l’itération k. Ce cas ne devrait théoriquement pas se produire mais en pratique nous avons noté que ce cas de figure se rencontrait dans des cas très peu régularisés. Nous pensons que cela est dû aux approximations numériques dans la mise en œuvre du gradient conjugué et en particulier des différences entre la véritable transposée de l’opérateur direct et son approximation. Nous pensons que dans ce cadre le pas calculé est trop important, il faut alors diminuer le θ associé au calcul du pas dans la formulation de Labat et Idier (2008).