Il peut finalement être intéressant de constater l’introduction d’une dépendance temporelle (ou spectrale) aux champs électromagnétiques considérés pour la production d’aiguilles de
lumière. Des études dans un contexte paraxial et propageant ont d’ailleurs été récemment publiées à propos des aiguilles de lumières en régime impulsionnel [67].
Bien qu’il soit développé sans dépendance explicite sur le temps ou le contenu fréquentiel, le formalisme étendu de Richards-Wolf n’inclut aucune contre-indication sur son applicabilité au régime impulsionnel.
5.4.1 Ajout de la dépendance temporelle
Pour étudier le cas des faisceaux pulsés, on considère que le champ électromagnétique dé- pendant du temps peut être représenté par la transformée de Fourier du champ phaseur (en régime continu) affecté par un spectre en fréquence 𝐹 (𝜔) donné. On peut alors écrire
⃗ 𝐸(𝑟, 𝑧, 𝑡) = ∫ ∞ −∞ ⃗ 𝐸(𝑟, 𝑧, 𝜔)𝐹 (𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔. (5.16)
Dans cette section, on réutilisera la solution analytique de l’équation (5.6) comme champ en régime stationnaire. Comme il en est mention dans [12] et [31], il est adéquat de modéliser les impulsions ultrabrèves par un spectre de Poisson dont la forme est
𝐹 (𝜔) = 2𝜋𝑒𝑖𝜙0( 𝑠 𝜔0 ) 𝑠+1 𝜔𝑠𝑒−𝑠𝜔/𝜔0𝐻(𝜔) Γ(𝑠 + 1) . (5.17)
Cette forme de spectre est utilisée ici car elle permet, premièrement, d’en vérifier la validité pour des cas étudiés dans les thèses précédemment citées, mais aussi pour son applicabilité analytique dans le contexte des intégrales de diffraction de Richards-Wolf. Dans l’expression de ce spectre, on retrouve une fréquence dominante, 𝜔0, un facteur 𝑠 régissant l’étroitesse du spectre et la fonction Heaviside 𝐻(𝜔) permettant d’éliminer toute fréquence négative. Avant d’appliquer ce filtre spectral qui permettra d’en soutirer l’évolution temporelle du champ, il est primordial d’exprimer l’équation (5.6) sous dépendance fréquentielle. Pour y arriver, il importe de se rappeler que 𝑘 = 𝜔/𝑐 et que tous les paramètres doivent maintenant être normalisés par rapport à une longueur d’onde de référence 𝜆0, associée à la fréquence angulaire 𝜔0 introduite à l’équation (5.17). On introduit alors la constante 𝜉 = 𝑅𝑘0, où 𝑘0= 𝜔0/𝑐 et les paramètres sans dimension
̃
𝑟 = 𝑟/𝜆0; (5.18)
̃
𝑧 = 𝑧/𝜆0= 𝑍𝜉/2𝜋; (5.19)
Avec ces définitions, on peut exprimer les fonctions retrouvées dans la solution asymptotique analytique de la section précédente comme
Φ𝑒→ − 𝜔 𝜔02𝜋 ̃⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑠+ 2𝜉 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑠/2) 𝜙1 ; (5.21) Φ″ 𝑒 → 𝜔 𝜔02𝜋 ̃𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑠+ 𝜉 2𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑠/2) ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 𝜙2 ; (5.22) 𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑠→ 𝜔 𝜔02𝜋 ̃⏟⏟⏟⏟⏟𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑠 𝑏 . (5.23)
Avec ces nouvelles définitions, la solution asymptotique sous dépendance spectrale prend finalement la forme {𝐸𝑧(𝑟, 𝑧, 𝜔) 𝐸𝑟(𝑟, 𝑧, 𝜔)} ≈ 𝐸0 √ 2𝜋𝑙0(𝛼𝑠) 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑠𝑒𝑖𝜋/4{ 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑠𝐽0( 𝜔 𝜔0𝑏) 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑠𝐽1(𝜔𝜔 0𝑏) } 𝑒 −𝑖𝜔 𝜔0 √𝜔𝜔 0𝜙2 . (5.24)
On peut maintenant appliquer la transformée de Fourier de l’équation (5.16) pour obtenir le champ produit par une impulsion laser et son évolution temporelle
{𝐸𝑧(𝑟, 𝑧, 𝑡) 𝐸𝑟(𝑟, 𝑧, 𝑡)} ≈ 𝐴1{ (𝑠 − 1/2)𝑃0 𝑠+1/2( 𝑎 √ 𝑎2+𝑏2) 𝑖 𝑐𝑜𝑡 𝛼𝑠𝑃1 𝑠+1/2(√𝑎𝑎2+𝑏2) } , (5.25) où 𝑎 = 𝑖𝜙1+ 𝑠 − 𝑖𝜏 et 𝐴1= 𝐸0(2𝜋)3/2𝑙 0(𝛼𝑠) 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼𝑠 𝑒 𝑖(𝜙0+𝜋/4)𝑠𝑠+1Γ(𝑠 − 1/2) Γ(𝑠 + 1)√𝜙2(𝑎2+ 𝑏2)𝑠+1/2. (5.26) Les fonctions 𝑃𝑚
𝑙 sont les polynômes associés de Legendre, qui se réduisent aux polynômes
de Legendre classiques pour 𝑚 = 0.
5.4.2 Propriétés des aiguilles en régime impulsionnel
À partir de ces solutions, il devient possible de décrire la formation d’une aiguille de lumière à travers le temps. Qualitativement, la création de l’aiguille peut être vue, toujours en consi- dérant une focalisation promettant un confinement optimal à 𝛼0= 𝜋/2, comme l’évolution de
Figure 5.6 – Évolution de la densité d’énergie d’une aiguille de lumière en régime impulsion- nel. Les calculs sont faits avec 𝛼0 = 𝜋/2, 𝜔0 = 3.55 × 1015 et 𝑠 = 2.5. Cette figure montre
l’évolution temporelle du champ électromagnétique aux instants (normalisés 𝜏 = −20, 𝜏 = 0 et 𝜏 = 20. La vidéo AiguillePulsee.avi, jointe à la version électronique de cette thèse, montre le comportement sur toute cette plage temporelle.
fronts de phase courbes interférant sur l’axe optique du miroir. La figure5.6montre l’évolution grossière du profil d’intensité près du foyer.
L’intérêt primaire de ce traitement réside dans le fait que, étant donné la fenêtre de temps limitée au cours de laquelle les champs interfèrent au foyer, il devient possible de réduire encore davantage le confinement, en un instant, de l’aiguille de lumière. En effet, si l’on effectue les calculs pour un spectre de largeur 𝑠 = 2, 52 dans des conditions exactement
semblables de focalisation au régime statique du présent chapitre, on peut observer qu’au moment où l’intensité est maximale sur l’axe, le confinement est réduit à environ 0,28𝜆. En contre-partie, puisque l’aiguille n’existe intégralement en un temps donné, son étendue axiale est réduite à environ 100𝜆 lorsque ce confinement minimal est atteint.
Figure 5.7 – Densité d’énergie d’une aiguille de lumière en régime impulsionnel.
On montre, à la figure 5.7, l’aiguille produite à un temps normalisé 𝜏 =√2𝜉, qui représente le moment où l’intensité est maximisée sur l’axe.
2. Largeur temporelle typique des impulsions ultra-brèves utilisées dans un contexte d’accélération d’élec- trons. 𝑠 = 2, 5 équivaut à environ 2,25 cycles optiques.
Impulsions X
Selon la figure 5.6, on constate que le front de phase convergent après la focalisation crée d’abord le centre de l’aiguille. Alors que le front de phase continue de se propager, l’inten- sité au centre de l’aiguille s’épuise alors que l’interférence constructive devient significative en périphérie. On appelle « impulsions X » (de par leur apparence) ces portions de champ électromagnétique qui semblent s’éloigner, avec le temps, du « foyer » apparent du système dans des directions opposées.
Au moment d’écrire cette thèse, les résultats obtenus pour les aiguilles de lumières en régime impulsionnel n’ont pas encore été publiés. Il serait cependant très intéressant d’en approfondir les propriétés pour y trouver des applications plus concrètes.
Chapitre 6
Conclusion
6.1 Retour sur la thèse
Cette thèse a été rédigée afin de fournir, pour des travaux futurs, une méthode rigoureuse permettant d’aborder la modélisation des champs électromagnétiques fortement focalisés. On y retrouve les bases simplifiées du formalisme de Richards-Wolf, à partir desquelles une collection de formules importantes sont explicitées. La formulation intégrale des champs vec- toriels est édictée à partir de paramètres simples définissant les surfaces focalisantes et des champs d’illumination. Le formalisme de Richards-Wolf y est exposé comme étant un outil analytique puissant permettant de prédire avec justesse et précision les solutions électroma- gnétiques pour un système connu.
Puisque l’outil est développé et bien défini, un chapitre de manipulations mathématiques analytiques est dédié pour différentes solutions aux intégrales de diffraction de la théorie de Richards et Wolf.
À partir des limitations connues du formalisme et d’hypothèses moins restrictives, une version étendue du formalisme de Richards-Wolf est également introduite. On y génère des fonctions semblables à utiliser, dans un contexte similaire, mais pour un éventail plus étendu de systèmes focalisants. On se départit des requis sur la perfection imposée des systèmes focalisants et sur la collimation du faisceau incident.
Grâce à ce formalisme étendu, on propose l’analyse d’un champ hautement focalisé permet- tant la génération de faisceaux lumineux de très grande étendue axiale et d’étalement radial limité. L’élégance analytique de la nouvelle méthode y est mise à profit afin de faciliter la caractérisation des aiguilles de lumière suggérées. On souligne également que l’outil déve- loppé permet d’imaginer des procédés de génération d’aiguilles en laboratoire plus simples et accessibles.