Le formalisme de Richards-Wolf et l’ERWT sont basés sur la focalisation d’un faisceau incident collimaté. Si le faisceau incident possède un front de phase non-plan, l’ajout d’une phase dans l’intégrande est souvent la solution utilisée.
Comme pour le traitement par aberration, cependant, cette approche n’est pas valide si le front de phase incident est très courbé puisqu’il contrevient à la présence d’un foyer ponctuel. En effet, un front de phase non-plan implique un gradient dans la phase, menant à des rayons non-parallèles croisant l’axe optique à des positions et à des angles différents. En partant du principe de la RWT, il peut être intéressant de trouver comment considérer rigoureusement cette courbure de front de phase. On cherche ici à en étudier les effets pour améliorer notre outil analytique de manipulation extrême de faisceaux hautement focalisés non-paraxiaux. La première étape est de tenter d’introduire un front de phase courbe dans une pupille d’en- trée d’un système simple (miroir parabolique). Trois approches sont considérées, en ordre de complexité.
1. Approche classique avec terme de phase dans 𝑙0 défini angulairement.
2. Approche considérant une divergence faible du front de phase incident. On propage analytiquement un faisceau annulaire gaussien vers la surface du miroir puis on applique la RWT à partir de la distribution 𝑙0 sur la surface.
3. Approche complète où on évalue l’influence d’un front de phase incliné sur les expressions connues en ERWT. On décompose le front de phase en spectre d’ondes planes sur lequel on applique l’ERWT, élément par élément.
4.5.1 Visualisation du problème
On envoie un front de phase modulé en amplitude et en phase, défini dans un plan 𝑃 . Le front de phase possède une polarisation purement radiale. La géométrie proposée est affichée à la figure 4.4. On considère un cas simple et réaliste de polarisation radiale, soit un anneau gaussien décrit par
𝑙0(𝛼) ∝ 𝑒−(𝛼−𝛼0)2/∆𝛼2
𝑒−𝑖(𝛼−𝛼0)2/𝜏2
, (4.25)
où 𝜏 caractérise la courbure du front de phase sous une définition angulaire. On ne parle pas de courbure 𝑅 comme sous la définition gaussienne classique 𝑒−𝑘𝑥2/𝑅
afin de respecter les unités et le formalisme angulaire de l’ERWT.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Amplitude angulaire incidente −3 −2 −1 0 1 2 3 Phase angulaire incidente
Figure 4.4 – Faisceau annulaire envoyé sur une parabole. On a un foyer unique seulement si on ne considère pas la divergence du faisceau incident.
Les paramètres utilisés sont les mêmes que pour toute utilisation de la RWT et de l’ERWT. 4.5.2 Approche classique scalaire
L’approche la plus simple est de mettre directement dans les intégrales de l’ERWT une fonc- tion 𝑙0(𝛼) avec un terme de phase. Dans notre cas, avec un anneau incident de polarisation radiale sur une parabole, le champ électrique au foyer est donné par
{𝐸𝑧 𝐸𝑟} ∝ 𝜋 ∫ 0 𝑞(𝛼)𝑙0(𝛼) 𝑠𝑖𝑛 𝛼 { 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝐽0(𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼) 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝐽1(𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼)} 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝛾𝑍 𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑑𝛼. (4.26)
On rappelle que, pour une parabole, 𝑞(𝛼) = 𝑠𝑒𝑐2(𝛼/2). Le paramètre 𝛾 représente un facteur
d’échelle, donné par 𝑘𝑑, où 𝑑 = 𝑓 (la longueur focale de la parabole) dans le cas présent. 𝑍 est donc la distance par rapport au foyer (unique dans le cas d’une parabole), normalisé par la longueur d’onde. Pour cette première approche, on utilise directement la définition de 𝑙0(𝛼)
de l’équation (4.25), que l’on utilise dans l’équation4.26.
Cette méthode s’apparente à une correction purement scalaire et paraxiale au cas du front de phase plan. On considère qu’un front de phase courbe peut être encore modélisé par un tracé de rayons parallèles. Les ondes planes recombinées sont simplement déphasées les unes par rapport aux autres, mais leur direction n’est pas altérée par le gradient de phase. En fait, selon cette méthode, on considère une distribution de champ incident indépendante du plan d’entrée (𝑙0(𝛼) est défini sur la surface).
4.5.3 Approche par propagation paraxiale
On considère maintenant un champ dans un plan donné et on le propage vers la parabole. L’effet supplémentaire, par rapport à l’ajout de phase de la section précédente, est donc la considération de l’évolution du champ lors de la propagation jusqu’au miroir (voir Fig. 4.5). Une fois au miroir, cependant, on garde encore la définition des rayons parallèles et de la correction de phase scalaire. Dans le traitement, on considère donc un faisceau d’entrée en coordonnées cartésiennes afin d’effectuer une propagation, avant de faire un changement de variables pour trouver la distribution angulaire 𝑙0(𝛼).
Figure 4.5 – Approche par propagation paraxiale. On a, dans un plan à une distance 𝑝 du foyer, un champ de la forme
𝑙0(𝑟) ∝ 𝑒−(𝑟−𝑟0)2/∆𝑟2𝑒−𝑖𝑘(𝑟−𝑟0)2/𝑅2, (4.27) avec 𝑅 le rayon de courbure du champ. On a donc un champ de forme gaussienne, d’où l’utilisation d’une largeur d’anneau Δ𝑟 et d’un rayon de courbure du champ 𝑅. Sous ces conditions, on propage l’anneau comme un faisceau gaussien paraxial (condition Δ𝑟 >> 𝜆) jusqu’au miroir (qu’on approximera par une distance 𝑝). Si on considère le plan de départ
comme le plan de pincement du faisceau gaussien, on a Δ𝑟 = 𝑤0 et 𝑅 = ∞. Sur la surface de la parabole, on a donc 𝑙0(𝑟) ∝ 𝑒−(𝑟−𝑟0)2/∆𝑟2 𝑒−𝑖𝑘(𝑟−𝑟0)2/𝑅2 , (4.28) Δ𝑟2= 𝑤2 0(1 + ( 𝑝 𝑧𝑅) 2 ) , (4.29) 𝑅 = 𝑝 (1 + (𝑧𝑅 𝑝 ) 2 ) , (4.30) 𝑧𝑅= 𝜋𝑤 2 0 𝜆 . (4.31)
Une fois propagé, on transfère le profil en coordonnées angulaires pour la réflexion et la reconstruction avec le changement de variables
𝑟 = 2𝑓 𝑡𝑎𝑛(𝛼/2), (4.32)
où 𝑓 représente la longueur focale de la parabole utilisée. Par exemple, pour 𝛼0 = 𝜋/2, on
obtient un centre de l’anneau à 𝑟0= 2𝑓, et vice-versa.
À partir de ce faisceau propagé, on applique les intégrales de Richards-Wolf (4.26) pour obte- nir le champ au foyer. La différence avec le cas précédent est qu’on considère la divergence du faisceau. Il est généralement plus intéressant de décrire le faisceau dans un plan donné et de le propager que de décrire le faisceau à la surface réfléchissante. On connaît plus rigoureusement la distribution spatiale et la relation de phase entre les différents « rayons ». Il reste cepen- dant une ambiguïté puisque l’on continue de considérer, dans la relation 𝛼(𝑟), que les rayons incidents sont parallèles entre eux (même à l’interface) mais que l’enveloppe les contenant est divergente.
On peut également réduire une approximation selon laquelle toutes les portions du faisceau sont propagées sur une même distance 𝑝. Cette distance corrigée 𝑝𝑐devrait en fait être fonction de 𝑟 et on aurait
𝑝𝑐(𝑟) = 𝑝 + (𝑟
2− 4𝑓2
4𝑓 ) . (4.33)
Le changement de variable reste le même et on applique directement les intégrales. Puisque, autour de 𝑟0 = 2𝑓, l’écart entre les extréma de 𝑝𝑐 est de l’ordre de Δ𝑟, on constate qu’un anneau mince fait varier peu la distance de propagation des portions « extérieures » de l’an- neau.
Cette approche est, dans les faits, une méthode permettant d’évaluer 𝑙0(𝛼) sur la surface plus rigoureusement à partir d’une définition de 𝑙0(𝑟) dans un plan donné.
4.5.4 Approche complète combinée - spectre d’ondes planes incidentes Pour cette approche, le facteur de phase ne peut être utilisé comme décrit précédemment puisque l’assertion du faisceau collimaté n’est plus valable. Une approche différente, mais connexe, est développée ici.
Puisqu’on utilise un traitement par tracé de rayon pour déterminer les composantes en ondes planes à la reconstruction au foyer, il est possible de voir l’influence du front de phase non plan sur la fonction 𝛼(𝑟) introduite précédemment en observant le gradient du front de phase. Au miroir, selon l’approximation de la propagation sur une distance 𝑝, on a un faisceau annu- laire gaussien de la forme donnée à l’équation (4.28). Sous l’approximation de la propagation paraxiale, on considère que la phase (au miroir) est donnée par
𝜙(𝑟) = −𝑘(𝑟 − 𝑟0)
2
𝑅 − 𝑘𝑧. (4.34)
On considère ici que 𝑘𝑧 ≈ 𝑘 si notre faisceau ne diverge pas trop (𝑤0 >> 𝜆). De cette expression, on trouve le gradient du front de phase (déterminant la direction de propagation d’un rayon associé à un point sur le front de phase)
⃗
∇𝜙 = −2𝑘(𝑟 − 𝑟0)
𝑅 𝑎̂𝑟− 𝑘 ̂𝑎𝑧. (4.35)
Pour considérer la non-collimation, on doit donc ajouter, pour chaque position 𝑟 sur le miroir, un angle Γ qui tient compte de l’inclinaison du faisceau (voir Fig. 4.6).
Figure 4.6 – Définition de l’angle Γ définissant une onde conique (plane dans un demi-plan du système axisymétrique).
Γ(𝑟) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (2(𝑟 − 𝑟0)
𝑅 ) . (4.36)
L’angle d’onde plane associé à un rayon incident à la position 𝑟 sur le miroir devient donc
𝛼(𝑟) = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝑟
2𝑓) − Γ(𝑟). (4.37)
Avec cette nouvelle condition, on doit ajouter une contribution de cet angle dans le changement de variable 𝑟 → 𝛼 tel que décrit dans l’ERWT. En résumé, pour obtenir la solution du champ électromagnétique au foyer dans le cas général du front de phase incident non-plan, les étapes suivantes doivent être réalisées :
1. Par considérations géométriques, on généralise les fonctions 𝑞𝑒(𝛼) et Φ𝑒(𝛼) pour un front de phase plan, mais incliné sur la surface focalisante. Considérant le système axisymétrique, cette approche revient à trouver la forme des intégrales pour un front de phase conique incident ;
2. On décompose le front de phase incident en un spectre d’ondes planes (qui, en 3D, revient à un spectre d’ondes coniques) ;
3. On applique l’ERWT sur chaque composante du spectre d’ondes planes incident.
Facteur de phase Posons un front de phase conique. En considérant l’axisymmétrie, ce front de phase a la particularité d’être « plan », mais à un angle Γ par rapport au front de phase collimaté (voir la Fig. 4.6). On reprend les définitions données dans l’ERWT qui, pour une parabole, impliquaient 𝜃 = 𝛼. En introduisant un angle de déclinaison Γ, la relation devient plutôt 𝜃 = 𝛼 + Γ. Le terme de phase étendu devient alors
Φ𝑒(𝑍, 𝛼) = −𝛾 [𝑍 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 Γ + 𝜌
𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝜌(𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑡 𝛼) 𝑐𝑜𝑠 𝛼] . (4.38) On peut définir les intégrales, en 𝛼, avec le changement de variable 𝜃 = 𝛼 + Γ.
Pour un front de phase incident non uniforme quelconque, il faut donc décomposer le champ à la surface du miroir1 en son spectre d’OPU (chacune d’amplitude donnée, pour chaque
direction définie par un angle Γ donné). On écrit donc
𝑙0(𝑓𝑟) = ℱ {𝑙0(𝑟)} . (4.39)
1. Le champ sur la surface 𝑙0(𝛼) peut être connu ou déduit par propagation à partir d’un plan 𝑃 donné comme mentionné à la section4.5.3
Par changement de variable, on associe un angle Γ pour les fréquences radiales (𝑓𝑟) du spectre d’OPU. Selon les définitions données, l’association se fait comme
𝑓𝑟= 𝑠𝑖𝑛 Γ
𝜆 , (4.40)
où 𝜆 est la longueur d’onde du faisceau incident. L’intégrale à évaluer a finalement la forme suivante {𝐸𝑧(𝑟, 𝑧) 𝐸𝑟(𝑟, 𝑧)} ∝ 𝜋/2 ∫ −𝜋/2 𝜋 ∫ 0 𝑞𝑒(𝛼)𝑙0(Γ) 𝑠𝑖𝑛 𝛼 { 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝐽0(𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼) 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝐽1(𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼)} 𝑒 −𝑖Φ𝑒(𝛼,Γ,𝑧)𝑑𝛼𝑑Γ. (4.41)
On applique, en quelque sorte, l’ERWT sur chaque élément du spectre d’OPU incident, selon les relations angulaires développées. On a donc transféré le problème d’une onde plane avec un profil d’amplitude variable en 𝛼 à une superposition d’ondes uniformes en 𝛼 pondérées selon leur inclinaison Γ. Il est aussi à noter que l’on parle d’ondes coniques (planes dans un demi-plan du système axisymmétrique). Dans le contexte des systèmes étudiés, la symétrie fait en sorte que l’on a étendu la décomposition en OPU en une décomposition en OCU (ondes coniques uniformes). Puisque toutes les définitions se font dans un demi-plan (au dessus de l’axe optique) et que l’on suppose une symétrie azimutale, ces définitions restent valables, du moins dans le contexte des faisceaux incidents radialement polarisés2.
Facteur d’apodisation Le facteur d’apodisation est un facteur pondérant l’énergie entre une densité à la surface sur le miroir et une densité angulaire dans le faisceau focalisé. De cette définition scalaire (puisqu’on parle de densité d’énergie), un système focalisant donné sera toujours défini par un même facteur d’apodisation, indépendamment du front de phase incident. Si on connaît la densité d’énergie à la surface, on connaît la densité d’énergie dans le spectre angulaire focalisé, peu importe la phase.
Ainsi, la définition de 𝑞𝑒(𝛼) reste celle donnée à l’équation (4.23).