On constate, à partir des propriétés des transformées de Fourier, qu’on aura une convolution des transformées respectives de la fonction sinus cardinal et de la fonction gaussienne comme solution pour 𝑓(𝑎).
Plus simplement, on peut réaliser la transformée de Fourier inverse numériquement pour bien en visualiser le résultat. Le champ requis et sa transformée de Fourier inverse sont montrés à la figure A.1. -15 -10 -5 0 5 10 15 z/ -0.5 0 0.5 1
Amplitude du champ normalisé
Champ Ez requis sur l'axe
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fréquence spatiale normalisée a/k
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Contenu spectral normalisé
Transformée de Fourier inverse du champ sur l'axe
Figure A.1 – Champ prescrit et transformée de Fourier. Le champ sur l’axe est défini par l’éq. (A.20) avec Δ𝑧2 = 5𝜆2.
Le constat le plus important de cette inverse est l’étendue du spectre angulaire résultant. On remarque que le contenu spectral s’étend au-delà des limites 𝑎 ∈ {−𝑘, 𝑘}. On remarque conséquemment que la solution proposée 𝐸𝑧(𝑧) n’est pas réalisable physiquement. En effet, on a statué que la solution à l’inversion doit être bornée, ce qui limite le nombre de cas physiquement accessibles par la focalisation. La recherche de patrons d’illumination permet- tant un schéma électromagnétique au foyer mène à certains obstacles fondamentaux sur les dimensions, dont un spectre de Fourier dans les limites mentionnées.
Par inspection, on se convainc que hors de ces limites, on modifie les limites données par les bornes d’intégration des équations fondamentales de Richards et Wolf. Une intégration au-delà des limites de 𝛼 ∈ {0, 𝜋} implique en fait l’introduction d’ondes évanescentes dans le calcul, tel que mentionné à la section2.2.4. Cependant, comme les théories explorées dans cette thèse se basent sur l’approximation de Debye pour laquelle les dimensions rendent négligeable leur contribution, ces solutions doivent être systématiquement rejetées.
A.3.3 Aiguille de lumière extrême
L’aiguille de lumière extrême est un cas idéal mentionné dans la thèse d’April [12]. Il y mentionne qu’un faisceau incident en fonction delta de Dirac à 𝛼 = 𝜋/2, créera une aiguille de longueur infinie. Le calcul est aussi exposé au chapitre3. En se rapportant à la section2.4, cette situation revient à une illumination de largeur Δ𝛼 → 0.
Problème direct
Si on propose le champ incident
𝑙0(𝛼) = 𝛿(𝛼 − 𝜋/2), (A.21)
on sait que l’on obtiendra un champ longitudinal sur l’axe de la forme
𝐸𝑧(𝑧) = 𝐸0. (A.22)
Vérifions le postulat inverse. On cherche à avoir
𝐸𝑧(𝑧) = 𝐸0. (A.23)
Il est à noter que l’on ne prescrit qu’une intensité constante sur l’axe, propriété inhérente de l’aiguille infinie2. Par transformée de Fourier inverse (avec la définition angulaire non-
unitaire), on retrouve la fonction
𝑓(𝑎) = 𝐸0𝛿(𝑎). (A.24)
Encore une fois, on respecte l’équation (A.14) puisque cette fonction n’a de valeur non-nulle qu’à l’intérieur de l’intervalle 𝑎 ∈ {−𝑘, 𝑘}. Il reste alors
𝑙0(𝛼) = 𝛿(𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑐𝑜𝑠
2(𝛼/2)
𝑠𝑖𝑛 𝛼 . (A.25)
Cette équation implique une valeur nulle pour toute valeur de 𝛼 ≠ 𝜋/2, donc
𝑙0(𝛼) ∝ 𝛿(𝛼 − 𝜋/2), (A.26)
ce qui était la prescription initiale.
A.3.4 Aiguille de lumière en supergaussienne
Si on applique encore le même algorithme sur une aiguille de lumière supergaussienne de la forme
𝐸𝑧(𝑧, 0) = 𝐸0𝑒−(𝑧/∆𝑧)10
, (A.27)
on peut obtenir le contenu spectral requis, comme indiqué à la figure A.2
-15 -10 -5 0 5 10 15 z/ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Amplitude du champ normalisé
Champ Ez requis sur l'axe
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fréquence spatiale normalisée a/k
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Contenu spectral normalisé
Transformée de Fourier inverse du champ sur l'axe
Figure A.2 – Aiguille supergaussienne d’ordre 5 et spectre associé. Le paramètre de largeur Δ𝑧 est fixé à 8𝜆.
On remarque que la production d’aiguilles supergaussiennes (donc plus uniformes que les aiguilles gaussiennes discutées précédemment) est physiquement possible puisque le contenu du SOP d’illumination est contenu dans les limites acceptables.
Des aiguilles de forme supergaussienne ont d’ailleurs attiré l’attention des chercheurs et des modèles en prédisant la formation ont entre autres été faits à partir de miroirs coniques [51].
A.3.5 Analyse des conséquences et limites du traitement
Une relation fondamentale entre les fonctions et leurs transformées de Fourier permet de déduire une propriété des champs sur l’axe de systèmes focalisants extrêmes.
Il est reconnu que l’étendue du contenu spectral d’une fonction est inversement reliée à l’éten- due spatiale de cette même fonction. En d’autres termes, plus une fonction est confinée spatia- lement, plus son spectre est large et vice-versa. De cette relation simple, on peut comprendre qu’il existe une limite physique fondamentale au confinement axial d’un schéma électromagné- tique au foyer puisque son spectre effectif qui en décrit la distribution angulaire à la surface du miroir est obligatoirement confiné.
La limite imposée par la fonction 𝑡(𝑎) dans l’équation (A.14) est une limite fondamentale qui dicte qu’en régime permanent, il est impossible de restreindre l’énergie focalisée sous une dimension donnée.
Dans les travaux de Boivin [19], par exemple, on retrouve des schémas électromagnétiques de confinement extrême, mais les champs hautement focalisés permettant des lobes centraux
très fins imposent également la balance de l’énergie dans des lobes secondaires extrêmement étendus.
A.4
Champ solution donné dans le plan focal
Comme un champ électromagnétique est entièrement défini par sa solution dans un plan, il peut devenir intéressant de choisir une position 𝑧 pour laquelle on cherche à définir la solution désirée. Dans la littérature, cette façon de faire est la plus commune, en comparaison avec la recherche de la solution sur l’axe. Par exemple, en microscopie confocale, le patron exact dans le plan focal définit la résolution du microscope.
Pour l’analyse théorique du principe on choisit, par simplicité (et sans perte de généralité), le plan 𝑧 = 0. L’intégrale de départ devient donc
𝐸𝑧(0, 𝑟) = 𝐸0 2 ∫ 𝜋 0 𝑙0(𝛼) 𝑠𝑒𝑐2(𝛼 2) 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼𝐽0(𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑑𝛼. (A.28)
Comme on peut s’y attendre, cette forme peut être retravaillée pour obtenir une transformée de Hankel. Il est reconnu que la transformée de Hankel d’ordre 0 en 1D découle directement de la transformée de Fourier 2D d’un système axisymétrique, ce qui est le cas ici. On cherche à obtenir une forme semblable à (A.6), soit
𝐸𝑧(0, 𝑟) = ∫
∞ 0
𝑓(𝑎)𝐽0(𝑎𝑟)𝑎𝑑𝑎. (A.29)
Pour y arriver, on effectue donc le changement de variables suivant :
𝑎 = 𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝛼; (A.30)
𝑑𝑎 = 𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑑𝛼. (A.31)
Selon ces définitions, on obtient que la fonction 𝑓(𝑎) précédemment définie s’écrit
𝑓(𝑎) = 𝐸0
2𝑘2𝑙0(𝛼)𝑡(𝛼) 𝑠𝑒𝑐 2(𝛼
2) 𝑡𝑎𝑛 𝛼, (A.32)
𝑡(𝛼) = { 1 0 < 𝛼 < 𝜋;
0 ailleurs. (A.33)
En d’autres termes, en effectuant la transformée de Hankel inverse du champ 𝐸𝑧(𝑟), on trouve la portion située entre 𝛼 = 0 et 𝛼 = 𝜋 de la distribution 𝑙0(𝛼), comme
𝑙0(𝛼)𝑡(𝛼) = ℋ(0)−1{𝐸𝑧(𝑟)}2𝑘
2𝑐𝑜𝑠2(𝛼/2)
𝐸0𝑡𝑎𝑛 𝛼 , (A.34)
où on rappelle que 𝑎 = 𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝛼.
Encore une fois, on peut réaliser que le confinement radial du champ électromagnétique est limité par l’étendue maximale du spectre de la transformée de Hankel accessible.
A.5 Généralisation de l’inversion - sur l’axe
Les résultats précédents s’appliquent dans le cas du miroir parabolique et de l’inversion des intégrales de la RWT. Les changements de variables et le traitement est basé sur le facteur d’apodisation 𝑞(𝛼) de la parabole et le terme de phase du système focalisant parfait. On se réfère maintenant à la forme intégrale généralisée [37].
Dans les intégrales de l’ERWT, on écrit le champ longitudinal sur l’axe comme
𝐸𝑧(𝑧) = 𝐸0 2 ∫
∞ 0
𝑞𝑒(𝛼)𝑙0(𝛼) 𝑠𝑖𝑛2(𝛼)𝑒𝑖Φ𝑒(𝑧,𝛼)𝑑𝛼. (A.35)
Le terme de phase généralisé peut être séparé entre le terme du système parfait et le terme d’accumulation de phase étendu (à ne pas confondre avec les fonctions d’aberration classiques, voir chapitre4). On a ainsi
Φ𝑒(𝛼) = −𝑘(𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑝𝑒(𝛼)). (A.36) De cette séparation, on remarque que l’entièreté de la dépendance en 𝑧 du terme de phase se retrouve dans la portion 𝑘𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝛼. On effectue donc le même changement de variable qu’à la section A.3 et la fonction qui se retrouve dans la définition du champ d’entrée devient
Cette fois, on constate que le champ d’entrée solution 𝑙0(𝛼) peut être complexe. Le champ d’entrée pouvant être complexe laisse présager deux explications physiques :
1. Le champ nécessaire pour produire le schéma demandé doit avoir un front de phase non-plan ;
2. Le champ nécessaire pour produire le schéma demandé doit avoir une quantité d’énergie non-nulle sous des angles associés à une onde évanescente.
Annexe B
Microscopie différentielle 3D
Une solution analytique intéressante à deux foyers axiaux (et à profil 3D de type « bulle op- tique ») a été développée au chapitre3. On cherche à utiliser cette forme simple en microscopie SLAM de volume, c’est-à-dire en imagerie différentielle radiale ET axiale.
B.1
Mise en contexte
On analyse le champ à deux foyers axiaux dans un contexte de microscopie confocale, c’est- à-dire en tenant compte de l’intensité de la solution obtenue. Comme dans la méthode de SLAM, proposée par Dehez [21], où une imagerie par comparaison de mode est effectuée, on tentera d’observer et de caractériser le principe d’imagerie par point sombre. Cette fois, cependant, l’amélioration visée en résolution est axiale (aux dépens de la résolution radiale, qui doit être meilleure que celle obtenue par faisceaux brillants, mais potentiellement moins bonne que celle obtenue par SLAM avec un faisceau TM01 et un faisceau TE01).
En microscopie SLAM, on compare un faisceau brillant de profil radial de taille minimale (limité par la diffraction) avec un profil « sombre » de taille minimale (beigne). Ayant trouvé une forme analytique de champ « sombre » de taille minimale en 3D au foyer (bulle optique), on analysera l’utilité de ces formes de champ EM dans un contexte de microscopie et leur utilisation pour augmenter la résolution axiale. D’autres profils permettent l’obtention d’une bulle optique, mais le profil étudié ici possède une description analytique tout en étant produit par un schéma optique simple.
Des travaux récents proposent des champs sombres très intéressants, plus petits que celui proposé dans ce document [20]. Ces profils sont créés à partir de systèmes dits 4𝜋 avec des faisceaux contre-propageants. La méthode de génération de ces faisceaux est plus complexe et basée sur une optimisation itérative d’éléments annulaires ou par deux lentilles aplanétiques, ce qui limite l’angle solide accessible. Les faisceaux produits au foyer semblent également être périodiques. La méthode proposée ici est purement analytique pour un faisceau simple
focalisé par un élément unique. La section sur la solution analytique proposée se base sur notre profil choisi (pour sa simplicité analytique et son élégance). La méthode SLAM longitudinale pourrait cependant être adaptée pour un profil de faisceau différent, comme ceux proposés par Khonina et Golub [20].
Cependant, pour que cette solution soit physique, le profil incident doit être modulé par une enveloppe tombant à 0 au centre. En effet, la condition de polarisation incidente radiale pres- crit une intensité nulle sur l’axe. Bien que les solutions analytiques menant au développement du profil recherché dans un contexte de microscopie à hyper-résolution 3D soient basées sur le profil donné à l’éq. (3.30), elles n’en demeurent pas moins valides en première approximation. Une modulation du champ incident et son influence sur la solution du champ au foyer sera introduite plus loin.
B.2 Microscopie et imagerie différentielle
En microscopie confocale, c’est par l’intensité optique (indépendante de la polarisation et de la phase nette) que l’on obtient les caractéristiques d’une imagerie efficace. Le schéma de microscopie confocale classique peut être adapté en considérant un miroir à grande ouverture numérique. Un schéma préliminaire est proposé à la figure B.1.
Miroir parabolique Illumination incidente
Spécimen
Vers le détecteur
Figure B.1 – Schéma proposé d’illumination d’un spécimen. La focalisation et la récolte de la luminescence est effectuée par un miroir parabolique à grande ouverture numérique. Pour qu’un faisceau sombre soit utile dans un contexte de microscopie, il est important de soustraire l’image qu’il produit à celle obtenue avec un faisceau brillant. En effet, la signature d’un élément ponctuel dans le spécimen étudié est donnée par la PSF du système. En d’autres
termes, on alterne entre les faisceaux éclairant sombre et brillant. Sur la caméra, on obtient donc alternativement deux images, chacune représentant la convolution de l’objet et de la PSF du faisceau utilisé. En soustrayant les deux images, on obtient une image représentant la convolution entre l’objet et la soustraction des PSF. La soustraction des PSF sombre et brillante offre une résolution extrêmement intéressante tout en permettant de se débarrasser des artefacts produits par les anneaux extérieurs.
B.3 Analyse de l’illumination
Comme faisceau clair, on utilise un faisceau gaussien polarisé radialement. Ce faisceau simple permet une très petite tache focale, limitée par la diffraction. On décrit ce faisceau par
𝑙0( ̄𝑟) = 𝑒− ̄𝑟2/ ̄𝑤2