où 𝑈𝑒 est l’énergie totale de l’électron, en MeV (le facteur 0,511 représente l’énergie au repos de l’électron, en MeV). De ces équations, on peut envoyer un électron d’énergie donnée (donc de vitesse donnée) dans le champ électromagnétique solution et en observer la vitesse (ou l’énergie) à la sortie. L’interaction de l’électron avec le champ est calculée à de très petits incréments de temps ou de mouvement afin de prendre en considération le déphasage éventuel entre les deux entités. Le résultat de ces calculs pour quelques énergies initiales est montré à la figure C.4. On a considéré, dans ces calculs, 𝐸0 = 1014 V/m et 𝜆 = 0, 8 𝜇m. Puisque les
𝐹𝑧= 𝑒𝐸𝑧, (C.9) où 𝐸𝑧 est donné par (C.2).
0 10 20 30 40
1 MeV
0 10 20 30 405 MeV
0 10 20 30 4010 MeV
10 20 30 40 5020 MeV
-10 0 10 30 40 50 60 7040 MeV
-10 0 10 50 60 70 80 9060 MeV
Éner
gie [MeV]
Figure C.4 – Énergie de l’électron le long de sa trajectoire sur l’axe (en considérant 𝜙0= 0).
On considère aussi, sur la figure C.4 que l’origine 𝑧 = 0 est au foyer paraxial du miroir parabolique. Plus l’électron envoyé est relativiste (plus rapide), plus le gain net en énergie s’approche de la prédiction de (C.3). On peut considérer ici que les électrons d’énergie initiale supérieure à 20 MeV sont hautement relativistes, avec un transfert presque parfait d’énergie du champ à l’électron. Les électrons lents (1 MeV) ne restent pas en phase avec le champ et
le gain en énergie est rapidement compensé par une perte équivalente alors qu’ils franchissent le foyer du champ.
Puisqu’un défi majeur dans le domaine de l’accélération d’électrons par faisceau laser se retrouve dans l’accord de phase entre le faisceau électronique et le champ électromagnétique, on observe le comportement de l’électron axial sous l’influence d’un champ à différentes phases 𝜙0. La figureC.5permet de visualiser l’énergie finale d’un électron selon la phase absolue du champ, et ce pour différentes valeurs de la vitesse initiale.
0 0.5 1 0 20 40 5 MeV 0 0.5 1 0 20 40 10 MeV 0 0.5 1 0 20 40 20 MeV 0 0.5 1 0 50 30 MeV 0 0.5 1 0 50 100 35 MeV 0 0.5 1 0 50 100 37 MeV 0 0.5 1 [Cycles optiques] 20 40 60 40 MeV 0 0.5 1 180 200 220 200 MeV
Éner
gie fina
le [MeV]
Figure C.5 – Énergie finale d’un électron accéléré selon la phase 𝜙0 du champ électromagné- tique.
Dans la figure C.5, on remarque le gain de 20 MeV pour tous les cas à 𝜙0 = 0. À des très petites énergies initiales (5 MeV), le meilleur gain en énergie ne se situe cependant pas nécessairement à 𝜙0 = 0. En augmentant la vitesse initiale de l’électron, cependant, le com- portement se stabilise et le gain devient plus facilement prévisible. Un accord de phase parfait mène à une accélération optimale alors qu’un accord de phase inverse (𝜙0 = 𝜋) mène à une décélération maximale. L’explication vient simplement du fait qu’à ces valeurs de la vitesse initiale, la force exercée par les portions positives du champ ne suffit pas à décélérer l’électron significativement. L’électron suit donc toujours le faisceau à la même phase tout au long de la distance parcourue.
Selon l’équation (C.4), l’énergie disponible dans le système avec les paramètres choisis est de 20 MeV. Ainsi, dans les calculs effectués, on retrouve un comportement oscillant, voire
erratique, de l’électron sur l’axe lorsque son énergie cinétique initiale se retrouve sous cette valeur critique.
C.4
Illumination modulée
Même si l’on comprend qu’une onde semi-stationnaire permettrait de fournir une énergie non-nulle à un électron déjà relativiste, on constate que dans le profil de champ proposé à l’équation (3.58) diverge à l’origine (𝑙0(𝑟) ∼ 1/𝑟). Aussi, le champ décroît lentement vers l’infini dans la dimension radiale, ce qui rend la solution analytique impropre à une application réelle. La puissance laser associée à ce champ est, de fait, infinie. Puisque l’intensité du champ est reliée à son amplitude (dans le vide) par
𝐼(𝛼) = 𝑐𝜖0|𝐸(𝛼)|
2
2 , (C.10)
où 𝜖0 est la permittivité du vide, on peut trouver l’intensité du champ optique incident en substituant 𝐸(𝛼) par 𝐸0𝑙(𝑎)0 (𝛼). Pour ce qui est de la puissance, définie par
𝑃 = ∬ 𝐼𝑑𝐴, (C.11)
on peut vérifier que le cas proposé est en effet physiquement invalide puisqu’intégrer l’équa- tion 3.58 sur 𝑟 ∈ {0, ∞} ne converge pas.
Ceci étant dit, puisqu’il a été mentionné que le champ longitudinal sur l’axe provient princi- palement de la partie bien définie du champ incident (pour 𝛼 ≃ 𝜋/2 [40]), le comportement général de l’électron sur l’axe peut être estimé par l’approche analytique que nous avons pro- posée. Considérons donc maintenant un champ incident physiquement valide qui permettrait d’obtenir des caractéristiques similaires. La modulation du champ incident analytique est faite en suivant les trois règles suivantes :
1. Le champ incident doit être nul à 𝛼 = 0 ;
2. Le champ incident doit conserver le même comportement que le champ idéal de référence près de 𝛼 = 𝜋/2 ;
3. Le champ incident doit retomber à 0 plus rapidement lorsque 𝛼 augmente.
Le point 1 est de cruciale importance puisqu’il s’agit également d’une propriété inévitable de tout faisceau polarisé radialement. Plusieurs modulations peuvent être apportées en suivant ces règles. Celle considérée dans cette section est
𝑙(𝑏)0 (𝛼) = (1 − 𝑒−100𝛼2 ) ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 1. 𝑙⏟(𝑎)0 (𝛼) 2. 𝑒−𝛼1.1 ⏟ 3. . (C.12)
Un faisceau de cette forme peut être produit en modifiant la polarisation d’un faisceau gaussien avec une lame de phase et en modulant son amplitude avec un modulateur spatial de lumière (Spatial light modulator, ou SLM) [21]. On retrouve la distribution angulaire du profil incident de référence et du profil réaliste à la figure C.6. Les amplitudes absolues ne peuvent pas être comparées dû à la divergence du profil de référence.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
[rad]
0 1 2 3 4 5 6 7 Amplitude incidente [ U.A.]Profil de référence l0(a) Profil réaliste l0(b)
Figure C.6 – Profils angulaires incidents (profil de référence et profil réaliste) sur le miroir parabolique pour l’accélération d’électrons.
La puissance requise pour produire ce profil de champ devient finie. Par l’équation C.11, on obtient
𝑃 = 2.06 (𝑐𝜖0𝑓𝐸0)2. (C.13)
Si on suppose un laser de puissance donnée et un miroir parabolique de longueur focale 𝑓, le champ électrique utilisé dans les calculs est
𝐸0 [V/m] = 262.48√𝑃 [W]
Avec le champ incident réaliste maintenant défini, on utilise les intégrales de la RWT pour calculer le champ au foyer du système. Les amplitudes et phases du champ focalisé avec le profil modulé sont affichés à la figure C.7.
Abs (Ez) -2 0 2 -2 0 2 r/ λ Abs (Er) -2 0 2 -2 0 2 Abs (Hφ) -2 0 2 -2 0 2 Phase (Ez) -2 0 2 z/λ -2 0 2 r/ λ Phase (Er) -2 0 2 z/λ -2 0 2 Phase (Hφ) -2 0 2 z/λ -2 0 2
Figure C.7 – Champ électromagnétique au foyer avec le profil incident 𝑙(𝑏)0 .
Le comportement général du champ est extrêmement similaire à celui de l’expression ana- lytique associée au faisceau de référence et ce malgré la modulation majeure apportée aux extrémités du spectre angulaire. Encore dans ce cas, les champs 𝐸𝑟 et 𝐻𝜙 ne sont significa- tifs qu’en position hors axe et un faisceau électronique suffisamment collimaté n’interagirait qu’avec la composante longitudinale du champ électrique sur l’axe. Avec cette forme de champ, toujours en envoyant un électron relativiste et en calculant l’énergie accumulée sur son trajet, on peut tracer la figure C.8. Tout étant égal par ailleurs, le gain en énergie des électrons à partir du faisceau 𝑙(𝑏)0 correspond grossièrement à 80% de l’énergie extraite du faisceau 𝑙(𝑎)0 . Avec la modulation physique du faisceau, cependant, le gain global en énergie de l’électron tend graduellement vers 0. Une autre proposition de modulation peut être apportée pour remédier à la situation, cette fois-ci dans le domaine temporel.
C.5
Hypothèse en régime impulsionnel
Comme il a été souligné au chapitre 5, il est possible d’appliquer une dépendance temporelle aux équations de la RWT. À la section 5.4.2, on peut constater la dynamique de formation du champ électromagnétique au foyer.
-10 -5 0 5 10 z/λ -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Gain en éner gie [U .A.]
Figure C.8 – Gain d’énergie sur l’axe pour un électron relativiste passant dans le champ semi-statique décrit par (3.47) et le profil 𝑙(𝑏)0 .
fréquentiel pour limiter temporellement l’interaction entre l’électron et le champ, afin de tirer le maximum du gain en énergie accessible aux environs du foyer optique.
Conceptuellement, on utiliserait une impulsion laser pour donner un surplus d’énergie à un électron relativiste, ce qui permettrait l’accélération en cascade de faisceaux électroniques. Bien évidemment, des travaux supplémentaires méritent d’être effectués pour valider cette hypothèse.
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Needles of light produced with a spherical mirror
D. Panneton,*,† G. St-Onge,†M. Piché, and S. Thibault
Centre d’optique photonique et laser, Université Laval, Québec City, Québec G1V 0A6, Canada *Corresponding author: denis.panneton.1@ulaval.ca
Received November 21, 2014; accepted December 3, 2014; posted December 23, 2014 (Doc. ID 228346); published January 30, 2015
We describe how laterally confined and axially stretched needles of light can be produced by focusing a radially polarized annular optical beam with a spherical mirror. Our analysis is based on an extension of the Richards–Wolf formalism appropriate for nonaplanetic focusing systems operated under nonparaxial conditions. While maintaining their lateral confinement near the theoretical limit of0.36λ, the needles of light that are produced can extend axially over 1000’s of λ, in full compliance with geometrical and electromagnetic considerations. Relationships are estab- lished between the thickness of the incident annular beam and the length of the needle of light. © 2015 Optical Society of America
OCIS codes: (140.3295) Laser beam characterization; (140.3300) Laser beam shaping; (050.1960) Diffraction theory.
http://dx.doi.org/10.1364/OL.40.000419
Optical beams with a long depth of field and a narrow central spot offer new opportunities in high-resolution microscopy, allowing visualization of three-dimensional samples with a single scan in the transverse direction
[1,2]. Such beams, often called needle beams or needles
of light, are also of interest for applications such as data
storage [3,4] and optical trapping [5]. A combination of
needles of light with bright and dark central spots can be used to enhance the resolution of laser scanning
microscopes beyond the standard diffraction limit [6–8].
It has been shown that radially polarized annular beams tightly focused by aplanetic optical systems generate needle beams with strong lateral confinement; under such circumstances, the needles of light are dominantly
polarized along the axial direction [9–11]. Needle beams
with pure axial polarization and a central spot of mini-
mum size (0.36λ) can be produced with a large aperture
parabolic mirror [10]. The length of the needle beam can
be tuned by varying the angular width of the radially polarized annular beam focused by the parabolic mirror
[12]. Needle beams with dark central spots of even
smaller sizes can be produced by tightly focusing azimu-
thally polarized annular beams [13,14]. Various types of
optical systems have been used to generate needle beams
whose length is generally modest, most often below100λ
[15–19]. Recent works also proposed the use of a conical
mirror to produce needle-like beams whose depth-of- focus scales as the thickness of the incident annular
beam [20,21].
The goal of this Letter is to propose a method for gen- erating needles of axially polarized light using readily available optical components. The new approach de- scribed in this Letter is based on the tight focusing of an annular beam of radially polarized light by a parabolic
mirror [12]. We hereby generalize that scheme by using a
spherical mirror to achieve a larger depth of focus of the produced needle; the underlying hypothesis is that an an- nulus of finite extent incident on a spherical mirror could be interpreted as its many subdivisions in thinner annuli incident on locally parabolic mirrors of different focal lengths. This approach leads naturally to a superposition of needles centered at different axial locations, hence
retrieved in other works [11,12,22]. The spherical mirror
could be an interesting alternative since it is easier to fabricate with sufficient surface quality than a parabolic or a conical mirror. Moreover, the spherical mirror does not possess a primary axis, which reduces its alignment sensibility. We recall that spherical mirrors have been used to produce Bessel beams by taking advantage of
spherical aberration [23].
An analysis based on geometrical optics helps under- stand the axial extent of the resulting beams. The system,
as depicted in Fig. 1, is a spherical mirror of radius of
curvatureR centered on C. A collimated beam is incident