Le régime de concentration semi-dilué

L'extension des analyses développées pour des suspensions diluées à des concentrations plus importantes est complexe. La première diculté consiste à déterminer les interac- tions inter-particulaires surtout celles d'origine hydrodynamique. Les forces de lubrication jouent également un rôle important au niveau de la structure et du comportement à haute concentration.

a ) Une première approche : l'étude de Batchelor

Batchelor [23] étend ses travaux menés dans le cadre des régimes de concentration diluée (équation 3.11 ) au cas de suspensions semi-diluées de bres. Il modélise les contraintes lors d'un écoulement élongationnel, et dans le cas où les bres sont alignées dans la direction d'élongation du uide. Il trouve alors une relation empirique pour Np de la forme :

Np = φβ 2 9 h ln(2β) − ln(1 + 2βpφ/π) − 1.5 i _(3.12)

Les interactions hydrodynamiques entre les particules sont représentées par un milieu eec- tif. Il considère alors que chaque bre est à l'intérieur d'une  cellule  créée par le milieu ambiant. An de déterminer l'évolution d'une perturbation hydrodynamique, Batchelor in- troduit le concept d'eet d'écran des interactions hydrodynamiques. Il montre notamment qu'il existe une longueur d'écran au delà de laquelle une perturbation hydrodynamique n'a aucun eet sur le uide environnant.

b ) Le modèle de Dinh et Armstrong

Dinh et Armstrong [54] ont prolongé les travaux de Batchelor [22] pour étendre le modèle aux suspensions semi-diluées de particules. Tout comme Batchelor, ils ont considéré une bre test dans un milieu eectif qui intègre l'inuence des autres bres.

Calcul des interactions hydrodynamiques :

Les interactions hydrodynamiques ont été prises en compte en calculant le champ de contrainte à la surface d'une bre de diamètre négligeable par rapport à sa longueur.

Avec les notations de la gure (3.1), Dinh et Armstrong proposent la loi de comportement initiale suivante : σ = −pId+ 2ηsε(v) + _V1 nV X i=1 Z Ai [πsn] r dAi (3.13)

ηs représente la viscosité du solvant (ηs = η), Ai la surface d'une bre, n la normale sor-

tante à la bre, πs la contribution de la bre au tenseur des contraintes et r le vecteur

porté par la particule.

La démarche présentée par Dinh et Armstrong a été la suivante :  calcul de la vitesse relative du uide par rapport à la bre,  calcul de la cission à la surface de la bre,

 introduction d'un coecient de trainée,

 calcul du tenseur des contraintes moyen dans la bre.

Les trois premières étapes aboutissent à un tenseur des contraintes locales dans le repère xe. La contribution de la bre i au tenseur des contraintes locales a pour expression :

Σ_pi = ζpL

12πR2(∇u : pi⊗ pi)pi⊗ pi (3.14)

∇u désigne le tenseur gradient de vitesse, R est le rayon de la bre, ζp le coecient de

trainée d'une bre parallèle à l'écoulement, p_i désigne la position de la bre i. Homogénéïsation statistique :

Pour le calcul du champ de contrainte homogénéïsé, Dinh et Armstrong eectuent une homogénéïsation statistique sur l'ensemble des orientations possibles. Dés lors, il est néces- saire d'introduire la fonction de distribution de l'orientation ψ(p, t). La contribution des bres au tenseur des contraintes macroscopique devient :

Σ_p= ζpnL2 12 ∇u :

Z

p

ψ(p, t) p ⊗ p ⊗ p ⊗ p dp (3.15)

ndésigne le nombre de bres par unité de volume.

An d'éliminer le coecient de trainée, Dinh et Armstrong font intervenir la relation sui- vante :

ζpnL2

12 = η

πnL3

6 ln(2h/D) (3.16)

En substituant (3.16) dans l'équation (3.15), la contribution des bres au tenseur des contraintes macroscopique devient :

Σ_p= η πnL 3 6 ln(2h/D) ∇u : Z p ψ(p, t) p ⊗ p ⊗ p ⊗ p dp (3.17)

Le numérateur peut être transformé en faisant apparaitre la fraction volumique de bres

Introduction des tenseurs d'orientation :

En outre, en introduisant le tenseur d'orientation a₄, la loi de comportement nale prend la forme suivante :

σ = −pId+ 2η ε(v) + 2ηφβ

2

3 ln(_Rh) ε(v) : a4 (3.18)

où h représente la distance caractéristique entre deux bres voisines. Cette distance dépend alors de l'orientation des particules et prend pour valeur :

½

h = Rpπ/φ _{pour des bres alignées}

h = πR/(2φβ) _{pour une orientation isotrope des bres}

Avec les notations introduites en début de chapitre, nous obtenons les relations empiriques suivantes :_             ηI = η Ns = 0 Np = φβ 2 3 ln(h/R) (3.19)

Évolution du paramètre rhéologique Np :

La gure (3.2) montre l'évolution du paramètre rhéologique Npen fonction de la fraction vo-

lumique de bres. Le modèle utilisé vient de la relation (3.19). La distance inter-particulaire

h _{prend en compte une orientation isotrope des bres.}

c ) Une amélioration du modèle : l'analyse de Fredrickson et Shaqfeh

Plus récemment, Fredrickson et Shaqfeh [123] ont développé une théorie an de décrire  les propriétés de transport eectives  d'une suspension chargée de bres.

L'approche est basée sur le calcul d'un tenseur de propagation qui décrit le champ de vitesse moyen créé par une force ponctuelle dans la suspension. A partir de cette théorie, ils démontrent qu'il existe un eet d'écran correspondant à un amortissement rapide de la perturbation hydrodynamique créée par une bre test du fait de la présence des bres voisines. Pour les suspensions diluées, Fredrickson et Shaqfeh [123] retrouvent les résultats de Batchelor [23]. Dans le cas semi-dilué, leur calcul des interactions hydrodynamiques basé sur une technique de sommation diagrammatique ane les résultats de Dinh et Armstrong [54] (calcul explicite des interactions hydrodynamiques). La loi de comportement conserve une forme analogue aux lois précédentes et le paramètre rhéologique Np s'exprime :

Np = 2φβ 2 3[ln(1 φ) + ln(ln(φ1)) + ζ] (3.20) avec ½

ζ = − 0.664 pour une orientation isotrope des bres

ζ = + 0.158 pour des bres alignées

Dans leur étude, Fredrickson et Shaqfeh montrent notamment que l'état d'orientation des bres n'a pas une grande inuence sur le paramètre rhéologique Np.

Fraction volumique de fibres

β

φ

Fig. 3.2  Paramètre rhéologique Np en fonction du facteur de forme des particules et de

la fraction volumique de bres [54].

d ) Les travaux de Mackaplow et Shaqfeh

Mackaplow et Shaqfeh [96] ont étendu les travaux de Batchelor [23] en considérant une cellule constituée de deux bres pour une meilleure représentation des interactions hydro- dynamiques. L'expression de l'équation constitutive du champ de contrainte macroscopique prend la forme suivante :

           ηI = η N_s= 0 Np = 1₆πnL3(εf (ε) + 0.15nL3ε2)