Autres modèles macroscopiques

2.5.1 Approche micromécanique : modèle de Koch et Shaqfeh

Koch et Shaqfeh [92] ont proposé un modèle issu d'une approche micromécanique pour décrire l'orientation d'une particule dans un milieu semi-dilué. Ils considèrent un milieu où les bres ont une orientation unidirectionnelle dans le sens de l'écoulement (milieu iso- trope transverse), les bres ayant un rapport de forme inni. Ils s'inspirent des travaux de Shaqfeh et Fredrikson [123] an de prendre en compte, de manière explicite, les in- teractions hydrodynamiques dans une solution semi-concentrée. L'équation d'évolution de l'orientation prend alors la forme suivante :

Dp

Dt = ∇v − T r(ε(v)p ⊗ p)p + HT r(ε(v)p ⊗ p)(n − (p.n)p) (2.51)

où n est un vecteur unitaire qui caractérise la matrice isotrope transverse et H est une fonction qui dépend de :

- ξ, déni comme étant l'angle entre la particule étudiée et l'axe d'anisotropie de la matrice,

- R et L qui sont respectivement le rayon et la longueur de la particule,

- et enn X qui représente la longueur d'écran du volume élémentaire représentatif. Les deux premiers termes de l'équation d'évolution de Koch et Shaqfeh sont équivalents à l'équation de Jeery dans le cas particulier où les particules ont un facteur de forme inni. Le troisième terme représente la contribution de la matrice, supposée ici anisotrope, sur la rotation de la particule.

2.5.2 Évolution de l'orientation dans un milieu isotrope transverse

En s'appuyant sur les résultats d'Eshelby appliqués aux cas d'une inclusion sphéroïdale rigide dans une matrice isotrope transverse, Meslin [100] étend le modèle de Jeery sur les suspensions diluées de bres au cas des suspensions semi-diluées.

a ) Modèle proposé par Meslin

Nous présentons brièvement dans ce paragraphe l'équation d'évolution de l'orientation obtenue par Meslin. Nous ne rappelons pas le contexte théorique utilisé pour mettre en place le modèle d'orientation macroscopique. L'équation d'évolution de l'orientation obtenue par Meslin s'écrit de façon intrinsèque :

Dp

Dt = Ω(v) p + λ(ε(v) p − (ε(v) : p ⊗ p)p) (2.52)

avec :

λ = α1I3− 2α3I0− (3α2+ 2α1− 2α3)I1

Où I0, I1, I2 et I3 représentent les intégrales suivantes, fonction du rapport de forme β des particules et des facteurs rhéologiques αi de la matrice :

I0 = Z ₁ 0 x6 ∆dx I1 = Z ₁ 0 β2x4(1 − x2) ∆ dx I2 = Z ₁ 0 β4_x2_{(1 − x}2₎2 ∆ dx I3 = Z ₁ 0 β6_{(1 − x}2₎3 ∆ dx avec : ∆ = a α1 {α₁β2(1 − x2) + α₃x2}{α₃β4(1 − x2)2+ β2(3α₂+ α₁− 2α₃) + α₃x4}

Les paramètres rhéologiques de la matrice anisotrope (uide + bre) sont issus d'un modèle diérentiel [100]. Ces paramètres sont des fonctions qui dépendent :

- du rapport de forme β des particules, - de la fraction volumique φ des bres, - de la viscosité η de la matrice.

Dans le cas d'une matrice newtonienne, les facteurs rhéologiques de la matrice ont une expression simple :

αi = 2η pour 1 ≤ i ≤ 3

Dans le cas général, les paramètres rhéologiques αi sont issus de la résolution numérique

d'un système de trois équations diérentielles assez complexes que nous n'avons pas expli- cité, de type :

dαi= f (αi, β, φ, η)

La résolution numérique se fait via une méthode de type Runge Kutta d'ordre 4. b ) Rôle du paramètre λ

L'équation d'évolution proposée pour les milieux isotropes transverses a une forme tout à fait similaire à celle proposée par Jeery [84]. Cependant une diérence majeure réside dans la valeur du paramètre λ. En eet, dans le cas des solutions diluées, ce paramètre dépend uniquement du facteur de forme de la particule. En revanche, dans le cas des mi- lieux isotropes transverses, le paramètre λ est non seulement une fonction du rapport de forme β des particules, mais aussi de la fraction volumique de bres et des caractéristiques rhéologiques de la matrice comme le montre la gure (2.18).

La courbe 2.18 présente l'évolution du facteur λ en fonction du facteur de forme β des particules et pour diérentes concentrations.

β

λ

Fig. 2.18  Variation du paramètre λ en fonction du facteur de forme β, pour diérentes concentrations [100].

Cette gure met en évidence l'inuence de la concentration des bres sur le paramètre λ et montre notamment deux points importants :

- λ diminue lorsque la fraction volumique de bres augmente, phénomène qui n'est pris en compte ni par la théorie de Jeery, ni par le modèle de Folgar et Tucker, - λ tend vers 1 lorsque les particules sont élancées (β → ∞) et ceci quelle que soit

la concentration, ce qui rejoint les prémisses de Jeery et Folgar et Tucker.

c ) Comparaison des modèles

Après comparaison dans le cas d'un écoulement de type cisaillement simple avec le modèle proposé par Folgar et Tucker, Meslin constate que le paramètre λ a une même inuence que le coecient d'interaction CI. Plus λ est petit, plus les particules sont désalignées par

rapport aux lignes de courant. Il constate également que la fonction de distribution de l'orientation est très sensible à ce paramètre comme le montre la gure (2.19). En d'autres termes, même pour des grands facteurs de forme de particules, λ a une inuence non négligeable sur la distribution des orientations. D'un point de vue qualitatif, le modèle de Meslin corrobore les tendances prédites par le modèle macroscopique de Kock et Shaqfeh : les interactions de type hydrodynamique ont tendance à ralentir la rotation des particules. Pour conclure, nous pouvons dire que le modèle proposé par Meslin permet de rendre compte des interactions de type hydrodynamiques en s'aranchissant des problèmes causés par la détermination d'un coecient d'interaction. Toutefois Meslin note, après comparai- son avec les résultats expérimentaux de Stover et al [126] que le paramètre λ surestime les eets dus à la concentration. Par ailleurs, d'un point de vue numérique, la détermina- tion des nombreux paramètres rhéologiques est fastidieuse et certainement très coûteuse en temps de calcul.

λ λ λ

Fig. 2.19  Inuence du paramètre λ à t et ˙γ xés sur la fonction de distribution de probabilité des orientations, dans un écoulement de cisaillement simple.

2.5.3 Analogie avec le modèle viscoélastique PomPom

Il existe de grandes similitudes entre le problème régi par l'orientation des particules dans une suspension et le problème viscoélastique. La structure topologique des polymères est telle que l'histoire subie par le matériau inue sur son comportement. Cet eet mémoire est attribué à la viscoélasticité du matériau.

Le comportement viscoélastique d'un polymère peut être décomposé en un ensemble de modes qui traduisent le comportement d'une structure topologique particulière, une molé- cule Pom-Pom. Dans le cas particulier des polymères branchés, chaque molécule est com- posée de deux séries de ramications et d'une branche centrale comme le montre la gure (2.20).

Si nous considérons un seul mode, le modèle est déterminé géométriquement par la lon- gueur de la branche centrale sb, la longueur des bras sa et le nombre de branches q. La

conguration de la molécule dans l'écoulement est décrite par deux variables dynamiques :

S et λ0

qui représentent respectivement la distribution de l'orientation de la branche cen- trale et son étirement.

L'évolution du tenseur d'orientation macromoléculaire est décrite via une équation dié- rentielle similaire à celle rencontrée pour des suspensions chargées de bres :

DS

Dt = ∇.vS + S∇.v

T _{− 2(S : ∇.v)S −} 1

θb

(S − I_d/3) _(2.53)

θb désigne un terme de relaxation de la branche centrale, qui est fonction du temps de re-

laxation θades bras qui, à son tour, est fonction de la pénétration scdes bras dans le tube.

Le facteur 1

θb joue donc un rôle analogue à celui joué par le coecient d'interaction CI.

Dans l'équation (2.53), l'existence du terme 2(S : ∇.v)S permet au tenseur d'orientation macromoléculaire de conserver sa trace unitaire, comme dans le cas des chargés bres. An de résoudre un problème viscoélastique, il est également nécessaire de calculer l'éti- rement λ0

de la chaîne, qui se fait via la résolution d'une équation de type advection. L'étirement de la chaîne ne sera possible que s'il est strictement inférieur au nombre de bras q de cette même chaîne. Si λ0

= q, il devient nécessaire de calculer la pénétration sc

des bras qui s'exprime, là aussi, au moyen d'une équation de type advection. En général, l'échelle temporelle du mécanisme de pénétration est susamment rapide pour être négli- gée devant les autres (temps d'orientation macromoléculaire et temps d'étirement). Enn, la résolution complète d'un problème viscoélastique conduit au calcul de l'extra-contrainte qui est fonction de l'orientation macromoléculaire et de l'étirement de la chaîne.

Entre les expressions (2.53) et (2.30), les similarités sont claires, surtout dans le cas où les bres ont un rapport de forme quasi inni. Les mêmes méthodes de résolution pourront donc être utilisées pour solutionner des problèmes à connotation physique totalement diérente.