3.7 Conclusion
4.1.1 Les méthodes numériques
Nous présentons dans cette partie les diérentes techniques numériques susceptibles d'être mises en place pour la résolution globale du problème de l'injection des matériaux chargés de bres. Il s'agit notamment de décrire de manière succinte les méthodes numériques existantes pour la résolution du problème mécanique, typiquement ici la résolution du problème de Stokes généralisé, des techniques numériques pour la résolution de l'équation d'advection (évolution de l'orientation des bres), suivies des techniques pour le transport de la surface libre.
a ) Méthodes éléments nis mixtes pour le problème mécanique
La résolution des équations de Stokes induit l'utilisation d'une méthode éléments nis mixtes pour la discrétisation du problème mécanique. Dans la littérature, il existe deux familles de méthodes selon qu'elles s'appuient sur une discrétisation continue ou discontinue de la pression :
- pression discontinue : Cette discrétisation s'avère e cace dans le cadre bidimen- sionnel et de l'utilisation de solveurs directs [65]. En eet, le fait que la pression soit discontinue entraîne une augmentation du coût de calcul (car les espaces fonc- tionnels associés à cette discrétisation augmentent de taille) sans amélioration de la qualité des résultats. D'autre part, le conditionnement de la matrice de raideur n'est pas de bonne qualité pour l'utilisation de solveurs itératifs. Il faut donc avoir recours à des solveurs directs. Dans un cadre tridimensionnel, l'utilisation de cette technique devient rhédibitoire.
- pression continue : Cette discrétisation aboutit à un système matriciel plus petit et donc mieux adapté aux calculs 3d. De plus, cette technique se prête bien aux résolutions itératives, ce qui est un avantage considérable.
Le tableau ci-dessous montre l'intérêt de choisir une discrétisation continue de la pres- sion [49]. La dernière colonne de ce tableau permet d'évaluer la taille du système matriciel obtenue en fonction du nombre de noeuds de la discrétisation, en considérant que dans un maillage tridimensionnel, il y a six fois plus d'arêtes que de noeuds et dix fois plus de faces que de noeuds.
ordre d'interpolation inconnues par Total
v p v et p noeud arête face × Nnoeuds P 1+/P 1 cont 1 1 0(h) 4 0 0 4 P 2/P 1cont 2 1 0(h2) 4 3 0 22 P 1+/P 0 disc 1 1 0(h) 3 0 1 13 P 2+/P 1 disc 2 1 0(h2) 3 3 1 31
Tab. 4.1 éléments nis compatibles et taille du système matriciel
Ainsi, étant donné le nombre d'inconnues par noeuds, nous sommes naturellement amenés à privilégier les éléments compatibles à pression continue. Nous avons donc choisi d'utiliser le MINI-élément (P 1+/P 1)car pour un ordre d'erreur donné, le choix de cet élément requiert le moins de ressource mémoire. De plus, l'avantage le plus important de cette approche est la possibilité d'utiliser un solveur itératif pour la résolution du système matriciel nal. Ce solveur itératif est basé sur une méthode MINRES (General Minimal Residual Method) qui a prouvé son e cacité au cours des travaux antérieurs [30], [24], [124]. En n, cette technique convient aux applications utilisant un calcul parallèle, ce qui est également l'un de nos objectifs.
b ) Méthodes stabilisées et méthodes mixtes pour le problème en orientation L'équation d'évolution de l'orientation est une équation de transport et requiert ainsi des techniques numériques adéquates. En eet, du fait du caractère hyperbolique de l'équation, le traitement numérique des problèmes de transport engendre des di cultés de convergence. Les techniques élements nis classiques donnent lieu à des oscillations numériques et à des solutions peu précises dés lors que la convection devient trop importante (comme dans notre cas). Une solution à ces instabilités consiste à rajouter une diusion arti cielle aux équations fortement convectives au risque de dénaturer la solution.
Les méthodes stabilisées :
Les méthodes dites stabilisées ont pour eet d'optimiser ce type d'approche. Il existe dans la littérature diverses techniques :
• Les méthodes SU ou SUPG [34] qui consistent à perturber les fonctions test wh
pour les termes de convection en rajoutant un terme qui s'apparente à la diusion numérique :
˜
wh = wh+ λv∇wh
où λ est un paramètre à déterminer (Méthode de type Streamline upwind : SU). Les méthodes de types SUPG, Streamline upwind Petrov Galerkin consistent à utiliser des fonctions test perturbées non seulement pour le terme de convection mais aussi pour les autres termes. Ce dernier schéma est quant à lui stabilisant mais également consistant. La technique SUPG est l'une des plus utilisées parmi les méthodes de stabilisation.
• La méthode des caractéristiques est une autre méthode bien adaptée aux équa- tions hyperboliques. L'idée de la méthode, pour les problèmes instationnaires est d'appliquer un schéma de diérences nies sur l'ensemble des termes constituant la dérivée particulaire. Cette dérivée totale fait alors intervenir les trajectoires ou ca- ractéristiques. Le principal intérêt de la méthode réside dans le fait que les termes de convection ne sont plus explicitement traités. Le point délicat de la méthode consiste à déterminer la trajectoire au cours du temps. Pour cela, il existe dié- rentes techniques qui conduisent à la résolution d'une équation diérentielle. La méthode des caractéristiques ainsi que la méthode SUPG ont un eet de stabilisa- tion similaire .
• Il existe d'autres approches voisines de la méthode SUPG, notamment les mé-
thodes de type GLS, Galerkin Least Squares [59], conceptuellement plus simples dans la mesure où elles consistent à rajouter un terme de stabilité à la formulation de départ tout en contrôlant que ce terme ne détériore pas la précision de la solu- tion. Ces méthodes sont réputées être inconditionnellement stables et permettent d'obtenir des solutions très correctes.
• Citons également les méthodes de type SGS, Subgrid Scale method [83], qui s'ap-
puient sur l'utilisation de fonctions bulles analogues à celles rencontrées pour la construction de schémas stables pour le problème de Stokes. Ces méthodes sont très peu utilisées malgré leur bonne réputation. La méthode TG, Taylor galer- kin [58], fut proposée comme version éléments nis du schéma diérences nies de lax-Wendro. Elle permet d'améliorer la précision des méthodes précédentes tout en ayant des propriétés de stabilité similaires aux méthodes SGS.
Ces méthodes stabilisées permettent de s'aranchir des problèmes rencontrés avec les ap- proches de type Galerkin standard mais présentent néanmoins des inconvénients :
• Elles conduisent généralement à la résolution de systèmes linéaires à matrice non symétrique et requièrent ainsi l'utilisation d'algorithmes de résolution itératifs, coûteux en temps de calcul,
• L'association de ces méthodes à des schémas temporels implicites conduit à la résolution de gros systèmes linéaires,
• En n, ces méthodes posent parfois des problèmes de consistance de la solution obtenue.
Les méthodes mixtes
Les méthodes mixtes permettent d'éviter les problèmes d'oscillations rencontrés avec les méthodes classiques, sans rajouter de terme de stabilisation susceptible de dénaturer la solution obtenue :
• Les méthodes de type Galerkin standard/ θ-Shéma [97] utilisent une discrétisation spatiale basée sur une technique de Galerkin standard associée à une intégration temporelle par une θ-méthode diérence nie. Cette méthode présente un certain nombre de limitations (coût de calcul élevé, résolution de gros systèmes linéaires).
• La méthode de Taylor Galerkin Discontinu (TGD) utilise les avantages d'une mé- thode spatiale de Galerkin Discontinu et d'une intégration temporelle de haut degré de Taylor. Elle a été proposée par Pichelin et al [109] pour traiter de ma- nière e cace le problème thermique en injection de polymères. Le schéma spatial utilise un ordre d'interpolation assez bas (P 0), alors que le schéma temporel utilise une discrétisation de Taylor explicite. Cette méthode reste cependant limitée du fait de son caractère explicite qui se traduit par des temps de calculs très élevés et par l'interpolation spatiale de bas degré qui induit une sensibilité de la solution au maillage.
• En n, la Méthode de Taylor Galerkin Discontinu espace-temps [24] utilise les avan- tages d'une méthode spatiale de Galerkin Discontinu et d'une intégration tempo- relle implicite de haut degré de Taylor. Cette méthode permet de s'aranchir des problèmes d'oscillations rencontrés avec les techniques éléments nis classiques et le caractère implicite de la méthode permet une réduction notable des temps de calcul.
c ) Conclusion
En guise de conclusion, il nous apparaît, d'après toutes les méthodes numériques envi- sageables, que le schéma de Taylor Galerkin Discontinu (TGD) espace-temps est le plus apte à répondre à nos besoins, pour ce qui concerne le calcul en orientation. Par rapport aux approches de Galerkin standard, son intérêt est immédiat : il ne génère pas d'oscillation. Comparativement aux méthodes stabilisées, la méthode TGD espace-temps n'intro- duit pas de terme de stabilisation susceptible de dénaturer la solution et ne nécessite pas la résolution d'aussi gros systèmes linéaires. En outre, ce schéma possède de bonnes propriétés de stabilité et de robustesse. En revanche, ce schéma est sensible au maillage en raison du faible ordre d'interpolation en espace (P 0 en espace).
En ce qui concerne les méthodes numériques pour le calcul des champs de vitesse et de pression, nous avons été amenés à privilégier les éléments compatibles à pression continue. Nous avons alors choisi d'utiliser le MINI-élément (P 1+/P 1).