Le problème mathématique

Après un bref rappel des équations nécessaires à la résolution du problème lié à l'injection d'un polymère chargé de bres, nous présentons les méthodes numériques employées pour la résolution du problème complet. L'algorithme de calcul fait appel à diérents solveurs à chaque itération en temps :

- un solveur mécanique qui intègre la résolution du problème en vitesse-pression par une méthode éléments nis mixtes. Le tenseur d'orientation est alors considéré connu et l'orientation initiale at0

2 est isotrope,

- un solveur orientation qui permet la résolution de l'équation de Folgar et Tucker par une méthode éléments nis espace temps Galerkin Discontinu. L'orientation initiale est également supposée isotrope et le champ de vitesse est supposé connu. - un solveur du domaine uide qui détermine le déplacement du front de matière après résolution de l'équation de transport de la fonction caractéristique, associée au domaine uide.

Nous utilisons ainsi un couplage dit explicite, c'est à dire que le problème mécanique et le problème de l'orientation des bres ne sont pas résolus simultanément.

4.2.1 Les équations mises en jeu

Un thermoplastique chargé de bres est assimilable à un milieu continu, aussi son écou- lement est régi par les principes fondamentaux de la mécanique des milieux continus. La matière injectée doit donc vérier :

- la conservation de la masse,

- la conservation de la quantité de mouvement, - la conservation de l'énergie.

Ces principes se traduisent mathématiquement par : - l'équation de continuité :

∂ρ

∂t + ∇.(ρv) = 0 (4.2)

- l'équation de l'équilibre dynamique :

ρdv

dt − ∇.(σ) = ρf (4.3)

- l'équation de conservation de l'énergie :

ρdE

où ρ désigne la masse volumique, v la vitesse d'une particule matérielle, σ le tenseur des contraintes, f la densité massique des forces extérieures, e l'énergie spécique interne, q le ux de chaleur et enn ˙ω l'apport d'énergie par dissipation visqueuse.

Le système est fermé par une équation constitutive entre contraintes et déformations don- née par la loi de comportement (3.47). Nous rappelons que cette loi de comportement nécessite la connaissance d'une équation de fermeture. Nous avons utilisé dans cette étude une équation de fermeture quadratique donnée par la relation (2.33).

Cette loi de comportement fait apparaître un descripteur de l'orientation via le tenseur

a_{2. Il est alors nécessaire de fermer à nouveau ce système en faisant intervenir l'équation}

d'évolution de l'orientation des bres. Pour ce faire, nous rappelons au lecteur que nous avons choisi d'utiliser le modèle macroscopique de Folgar et Tucker donnée par l'équation d'évolution (2.30).

Si nous considérons que le thermoplastique chargé de bres est un matériau incompressible et que les forces de masse et d'inertie sont négligeables devant les forces visqueuses, pendant la phase de remplissage, alors les équations de conservation de la masse et de l'équilibre se réécrivent :    ∇.σ = 0 ∇.v = 0 (4.5) Soit Ω le domaine matériel contenant le polymère fondu. En substituant l'expression de σ dans le système (4.5), nous montrons que le problème d'écoulement à résoudre se ramène à un problème de Stokes généralisé :

trouver v(x, t) et p(x, t) tels que ∀(x, t) ∈ Ω × [t0; t]                      ∇.(2ηIε(v) + Ns(ε(v) a₂+ a₂ε(v)) + Np(ε(v) : a₂)a₂) − ∇p = 0 ∇.v = 0 Da2 Dt = Ω(v) a2− a2 Ω(v) + λ(ε(v) a2+ a2 ε(v) − 2 ε(v) : a4) + 2CI˙¯ε(I − 3a2) a₄ = F (a₂) (4.6)

où la fonction F (a₂)fait référence à une équation de fermeture déjà abordée au paragraphe 2.4.2.

4.2.2 Les conditions aux limites

Les conditions aux limites sont les suivantes :

• sur Γin, nous imposons une condition de vitesse et de pression : v = vd(x)pour la

vitesse, v − (v.n)n = 0 et (σn).n = −pd pour la pression,

• sur Γ−

in(surface correspondant à la zone d'injection d'entrée), nous imposons géné-

ralement un état d'orientation initial des bres isotrope : at0

2 = 13Id. Cette donnée est facilement modiable.

où Γin et Γpa désignent respectivement les morceaux de frontières du domaine correspon-

dant à la(es) zone(s) d'injection et à la zone de contact avec les parois du moule d'injection avec Γin∪ Γpa= ∂Ω, et n désigne la normale sortante au point frontière considéré.

La gure 4.1 présente les diérentes frontières introduites pour la mise en place des condi- tions aux limites.

libre

Γ

Γ

Frontière

Γ

Γ

Fig. 4.1  Représentation des diérentes frontières et des diérents domaines Remarque :

Pour être plus précis, il est nécessaire de rajouter une condition de surface libre dans les conditions aux limites : σn = 0 sur la la frontière libre Γlibre (avec ∂Ω = Γin∪ Γpa∪ Γlibre).

Cette surface libre est l'interface entre la partie remplie du moule d'injection que l'on appellera domaine uide et le domaine vide. Dans le cas d'une approche eulérienne, Coupez et al [51] font disparaître la condition de surface libre en étendant les équations de Stokes à tout le domaine (uide mais également vide). Ceci permet de se ramener à la résolution d'un problème de Stokes conné, c'est à dire des conditions aux limites (ici de type dirichlet) sur la vitesse uniquement.

4.2.3 Approche numérique

Le système (4.6) dénit la modélisation mathématique que nous avons utilisée pour traiter le problème du remplissage de matériaux chargés de bres. Nous rappelons au lecteur que ce système algébrique est fortement non linéaire.

Il existe deux grandes classes de résolution des problèmes numériques régis par le système (4.6) :

1. la méthode couplée que nous appelerons couplage implicite. Il s'agit d'une approche monolithique : les équations discrétisées sont résolues simultanément pour toutes les inconnues ³v, p, a₂(v)

´

. Cette approche conduit à la résolution d'un système algé- brique de matrice de grande taille surtout en 3D. Le coût de calcul est alors d'autant plus élevé,

2. la méthode couplée dite explicite, développée ci-après et que nous utilisons dans notre étude.

Nous séparons donc notre système formé par les équations (4.6) en deux sous-systèmes formant les problèmes :

• Pb1 Équation d'équilibre et de conservation pour un champ d'orientation donné. Ici, nous récupérons le tenseur d'orientation calculé à l'incrément de temps pré- cédent. A l'instant initial, le tenseur d'orientation est considéré isotrope. Nous résolvons donc à chaque pas de temps un problème de Stokes généralisé et l'extra- contrainte est calculée de manière implicite.

• Pb2 Équation d'évolution de l'orientation pour un champ de vitesse donné.

4.3 Méthode éléments nis mixte appliquée au problème mé-