Chapitre 4 : Etude expérimentale de l'effet de la contrainte sur la microstructure des boucles à
IV.4.2 Réflexion sur l’origine de la dispersion observée
IV.4.2 Réflexion sur l’origine de la dispersion observée
Cette partie propose des éléments de réponse concernant l’origine de la dispersion grain à grain constatée lors de la quantification des grandeurs caractéristiques des boucles à composante < " > dans un grand nombre de grains contraints, 74 au total (§ IV.3.3). La réflexion sur l’origine de cette dispersion a abouti à l’identification de facteurs liés à l’impact de l’environnement métallurgique de chaque grain étudié. En effet, dans notre analyse expérimentale de l’influence de la contrainte macroscopique sur la microstructure des boucles à composante$< " >, chaque grain est considéré comme isolé et n’est défini que par son orientation cristallographique. Or, il est bien établi que l’interaction d’un grain donné avec son voisinage métallurgique joue un rôle important dans la réponse du matériau à une sollicitation macroscopique.
Selon la théorie de la DAD, les joints de grains constituent des puits d’élimination de défauts ponctuels biaisés en faveur des SIAs ou des lacunes en fonction de leur orientation cristallographique (§ I.2.3.2.4). Le biais local des défauts ponctuels pour ces puits microstructuraux varie d’un grain à un autre, introduisant ainsi une hétérogénéité entre grains.
)
)
) )
Flux net de lacune: :
;< < > < = > < < > < = > < < > < = > Longueur de la flèche proportionnelle au flux
:;> :>
(a) (b) (c)
Flux net de SIA: :
>ê\Âë#ÃÆìí³ LZM < ê\Âë#ÃÆìí³ LJM ê\Âë#ÃÆî LZM > ê\Âë#ÃÆî LJM
Figure IV.4.1: Schématisation du mécanisme SIPA appliqué aux boucles à composante < # > – (a) boucle à
composante < # > dans un grain non contraint, (b) boucle à composante < # > dans un grain d’axe < # >
parallèle à la direction de traction : croissance ralentie de la boucle et (c) boucle à composante < # > dans
un grain d’axe < # > perpendiculaire à la direction de traction. ê\Âë#ÃÆìí³ LZM > ê\Âë#ÃÆìí³ LJM
Bien que les analyses à la microsonde électronique ont permis de vérifier l’homogénéité chimique globale des tubes de Zircaloy-4 recristallisé et de M5® TREX (§ II.1.2.1), la présence de précipités intermétalliques et la variation de leur structure, leur cristallinité, leur densité et leur distribution de taille d’un grain à un autre peut induire une hétérogénéité de nature chimique. Ces précipités, comme les phases de Laves de type Zr(Fe,Cr)2 dans le Zircaloy-4 jouent un rôle majeur sur la stabilisation et la distribution spatiale des boucles à composante < " > (§ I.2.4.3.2).
La présence de puits microstructuraux comme les joints de grains ou les phases de Laves peut être à l’origine des hétérogénéités intergranulaires et expliquer, dans une certaine mesure, la dispersion grain à grain observée expérimentalement. Leur effet serait, néanmoins, de second ordre devant les hétérogénéités d’origine mécanique. Ces hétérogénéités peuvent être classées en deux types : interphases entre grains de différentes orientations cristallographiques (§ IV.4.2.1) et intraphases entre grains de même orientation cristallographique (§ IV.4.2.2).
IV.4.2.1 Les incompatibilités de déformation élastique et plastique
Des incompatibilités de déformation élastique et plastique peuvent exister entre des grains de différentes orientations cristallographiques. La non uniformité de la déformation dans les grains induit une différence des contraintes locales. L’hétérogénéité de la distribution de la contrainte dans les grains peut être attribuée à leur anisotropie élastique, bien que faible, et à l’anisotropie de leur comportement thermique due à la différence des coefficients de dilatation thermique suivant les axes cristallographiques < ! > et < " >$(§ I.1.1). La présence des contraintes internes peut aussi provenir de l’anisotropie de la croissance libre sous irradiation des grains (§ I.3.1.1.1). Nous proposons ici une démarche simplifiée pour l’évaluation de ces contraintes internes induites par l’anisotropie de croissance sous irradiation. L’approche mise en place néglige la relaxation de la contrainte qui se produit à l’échelle des grains du fait des mécanismes de fluage et notamment du fluage d’irradiation. Considérons deux grains isolés et désorientés l’un par rapport à l’autre dans une matrice de zirconium, considérée comme isotrope et homogène pour simplifier les calculs. Le grain appelé$$yC est orienté de telle façon que son axe cristallographique < " > soit perpendiculaire à la direction d’application de la contrainte macroscopique de traction. L’axe cristallographique < " > du grain noté$$yã est quant à lui parallèle à la direction de la contrainte de traction. Ces deux grains peuvent être perçus comme des inclusions de forme sphérique de mêmes propriétés élastiques que la matrice environnante. Le problème d’interaction de ces inclusions avec leur matrice infinie homogène et isotrope peut alors être traité en considérant le formalisme du problème classique de l’inclusion d’Eshelby [46]. La matrice est sollicitée en contrainte macroscopique de traction, représentée par le tenseur$ï. Une schématisation de ce problème est donnée dans la Figure IV.4.2. Le tenseur de contrainte dans le grain, Vð s’écrit comme suit [47] :
Vð= ï 9$ž$ñò r ‹ó lð Eq. IV.4.4
avec ž le tenseur d’élasticité identique pour la matrice et les deux inclusions et ‹ le tenseur identité. La déformation propre de l’inclusion ou « eigenstrain », donnée par$lð, représente dans notre cas la déformation par croissance libre sous irradiation. En prenant une déformation de croissance de -10-3 suivant l’axe < " > du cristal, la conservation de volume donne un allongement de 5×10-4
suivant la direction$< ! > [48]. Le tenseur d’Eshelby ò dépend de la forme de l’inclusion. Pour le cas d’une inclusion sphérique dans un milieu élastique isotrope, l’expression de Vð est donnée par [49] :
LA CONTRAINTE SUR LA MICROSTRUCTURE DES BOUCLES A!
COMPOSANTE <#>
Vð= ï r P$ô$L@ r õM$lð Eq. IV.4.5
õ =$@ö jP a r ö¤@ r ¤ m Eq. IV.4.6
ô est le module de cisaillement, ¤ le coefficient de Poisson et õ le coefficient Eshelby qui dépend de la forme de l’inclusion. L’équation Eq. IV.4.6 donne la valeur de õ pour une inclusion sphérique.
Le calcul de la contribution de la contrainte interne induite par la croissance sous irradiation à la contrainte totale, exprimée par rP$ô$L@ r õM$lð dans l’équation Eq. IV.4.5, donne une contrainte de compression de -16 MPa le long de la direction macroscopique de traction du grain$yC. Cette
?
?
?
?
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Matrice Matrice<a>
<c>
<c>
<a>
@
!@
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?
?
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Matrice Matrice<a>
<c>
<c>
<a>
@
!@
& Croissance sous irradiation Croissance sous irradiation(a)
(b) (c)
(d) (e)
Figure IV.4.2: Schématisation du problème traité – (a) Microstructure du matériau « réel » avec des grains de taille et d’orientation différentes, (b) représentation du grain ÷% dans la matrice, (c) croissance sous irradiation
contrainte interne induite par la croissance libre diminue la contrainte macroscopique de traction (parallèle à l’axe < ! > du grain$yC). Pour le grain$yD, la croissance sous irradiation donne lieu à une contrainte interne positive suivant la direction macroscopique de traction (parallèle à l’axe < " > du grain$yD) et égale à 32 MPa. Nous notons donc que la contribution de la contrainte interne de croissance sous irradiation à la contrainte totale au niveau du cristal peut être positive ou négative et de différente amplitude pour deux grains orientés différemment. Cependant, en calculant la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes, nous nous apercevons que la contribution de la contrainte interne de croissance sous irradiation est la même pour les deux grains, yC et$yã. En effet, la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes vaut 32r ï 3W (MPa) pour le grain yC et 329 Pï 3W (MPa) pour le grain$yã. Ce résultat conduit à une simple translation de la même quantité (égale à la valeur de la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur de contrainte locale dans chaque grain, 32 MPa dans notre exemple) pour tous les grains suivant l’axe des abscisses des courbes de la Figure IV.3.8 et de la Figure IV.3.9. Les pentes des régressions linéaires, obtenues pour les densités des boucles à composante < " > dans le Zircaloy-4 recristallisé et le M5® TREX, restent donc inchangées. Par conséquent, les contraintes internes induites par la croissance anisotrope des grains ne peuvent en soi expliquer la dispersion constatée expérimentalement. Il convient, toutefois, de bien noter que ce résultat est issu de calculs simplifiés basés sur des hypothèses fortes. Plus particulièrement, la matrice est considérée comme isotrope et homogène. La texture prononcée du matériau et son anisotropie élastique, non pris en considération dans le cadre de ces calculs simplifiés, peuvent expliquer en partie la dispersion grain à grain. Il nous est donc paru nécessaire d’examiner ce point au moyen d’une modélisation microscopique à l’échelle du zirconium polycristallin.
Afin d’évaluer l’influence de la texture et de l’élasticité anisotropes sur les contraintes locales dans les deux grains yC$et yã, nous menons une étude de modélisation par une approche micromécanique. L’objectif final est de voir si les contraintes générées par la croissance sous irradiation peuvent expliquer la dispersion grain à grain constatée expérimentalement. Pour cela, nous avons utilisé le modèle à champ moyen développé par Brenner [49] pour décrire le comportement thermoélastoviscoplastique des alliages de zirconium. Ce modèle s’appuie sur une méthode d’homogénéisation auto-cohérente et sur une procédure de linéarisation tangente des lois de comportement local.
Le modèle de Brenner [49], implémenté dans le code de calcul AVESC, permet de traiter les comportements thermoélastique, viscoplastique et élastoviscoplastique. Dans le cadre spécifique de notre étude et par souci de simplification, la déformation par croissance sous irradiation est introduite de façon analogue à une dilatation thermique. Comme pour le cas du traitement du problème de l’inclusion d’Eshelby, nous considérons une déformation de croissance de -10-3 suivant l’axe cristallographique < " > du grain et une déformation de 5×10-4
suivant les directions$< ! >. Ainsi, nous définissons le tenseur de dilatation thermique dans le modèle appliqué en option thermoélastique.
Les simulations ont été conduites dans le cas d’une élasticité isotrope (; = 76 GPa et ¤ = 0,35) ou d’élasticité anisotrope en utilisant le tenseur d’élasticité de Brenner [49] donné ci-dessous (en MPa) :
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
22900
0
0
0
0
0
0
27000
0
0
0
0
0
0
27000
0
0
0
0
0
0
152600
65900
65900
0
0
0
65900
125700
79900
0
0
0
65900
79900
125700
C
Eq. IV.4.7LA CONTRAINTE SUR LA MICROSTRUCTURE DES BOUCLES A!
COMPOSANTE <#>
Le polycristal de zirconium a été décrit par l’orientation de 2528 grains suivant une texture cristallographique isotrope ou anisotrope correspondant à celle du Zircaloy-4 TREX. Les figures de pôles discrétisées associées à la texture cristallographique du Zircaloy-4 TREX sont représentées en Figure IV.4.3. Parmi l’ensemble de ces orientations, nous distinguons les deux grains suivants : le grain yC$d’axe cristallographique < " > perpendiculaire à la direction d’application de la contrainte de traction (correspondant à la direction transverse DT du tube TREX) et le grain yã$d’axe < " > parallèle à DT.
Quatre cas de figure ont été simulés par le modèle ainsi défini :
o Cas 1 : Dans ce premier cas de simulation, nous considérons une élasticité isotrope et une
texture isotrope, le but étant de vérifier les résultats issus de la résolution analytique du
problème de l’inclusion d’Eshelby. L’étude du comportement local des deux grains d’intérêt, yC et$yã, valide les calculs analytiques simplifiés. La croissance libre sous irradiation, simulée par la dilatation thermique, génère une contrainte de compression de -15,3 MPa suivant DT dans le grain yC et une contrainte de traction de 30,2 MPa suivant DT dans le grain$yã. Ces résultats sont en accord avec ceux obtenus par les équations Eq. IV.4.5 et Eq. IV.4.6 (la contrainte locale dans le grain yC était de -16 MPa et de 32 MPa dans le grain$yã). Comme dans ce cas de simulation nous nous plaçons en élasticité isotrope, la contrainte locale vue par un grain donné est égale à la somme de la contrainte macroscopique appliquée et de la contrainte interne induite par la croissance sous irradiation. Pour un chargement en traction de 100 MPa suivant DT, la contrainte locale dans le grain yC est alors de 84,7 MPa. Pour le grain$yã, la contrainte locale suivant DT est égale à 130,2 MPa. La composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales, VRÜDÝ$ vaut -2,7 MPa dans le grain yC et 96,8 MPa dans le grain$yã. Les valeurs de$VRÜDÝ, représentées dans la Figure IV.3.8 et la Figure IV.3.9 sont calculées selon l’hypothèse que la contrainte locale dans chaque grain est égale à la contrainte macroscopique (hypothèse de Reuss). Pour un chargement en traction
DT
DA
DR
(a)
@
&@
!(b)
DT
DA
Figure IV.4.3: Figures de pôles discrétisées – (a) figure du pôle LJJJHM de la texture anisotrope du
de 100 MPa, cette hypothèse donne une valeur de VRÜDÝ$de r ï 3W = -33,4 MPa pour le grain yC et de Pï 3W = 66,7 MPa pour le grain$yã. La prise en compte des contraintes internes induites par la croissance sous irradiation résulte donc en une simple translation de$VRÜDÝ$, de -30,7 MPa pour le grain yC et de -30,2 MPa pour le grain$yD. Nous retrouvons le même résultat que celui obtenu par les calculs analytiques simplifiés à savoir que la composante VRÜDÝ$est translatée de la même quantité pour des grains d’orientations différentes. Les pentes des régressions linéaires obtenues expérimentalement pour les densités des boucles à composante < " > restent donc inchangées suite à la considération des contraintes internes générées par la croissance sous irradiation des grains.
En conclusion, en élasticité isotrope et pour une texture cristallographique isotrope, les contraintes internes induites par la croissance anisotrope des grains ne sont pas en mesure d’expliquer la dispersion grain à grain observée dans une représentation en fonction de VRÜDÝ (Figure IV.3.8 et Figure IV.3.9) ;
o Cas 2 : Ce cas correspond à la simulation, en élasticité isotrope, de la croissance d’un polycristal de Zircaloy-4 TREX de texture anisotrope. Ce polycristal est également soumis à un chargement en traction de 100 MPa suivant DT. Le grain yC affiche une contrainte de 72,3 MPa suivant DT alors que la contrainte locale dans le grain yã est égale à 117,7 MPa suivant la même direction. Compte tenu de la texture anisotrope du polycristal, les contraintes ne sont pas symétriques suivant les directions $< ! > des grains.
La composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales VRÜDÝ vaut -2,3 MPa dans le grain yC et est égale à 84,4 MPa dans le grain$yã. En prenant en considération la contribution de la croissance libre à la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales, les valeurs de VRÜDÝcalculées expérimentalement sont translatées d’une quantité variable pour chaque grain d’orientation différente. Cette quantité est égale à -31,1 MPa pour le grain yC et à -17,7 MPa pour le grain$yã. Par conséquent, il est possible de conclure que dans ce cas les contraintes internes générées par la croissance sous irradiation des grains peuvent être à l’origine de la dispersion grain à grain. Leur prise en compte conduit à une modification de la pente des régressions linéaires;
o Cas 3 : Nous considérons pour ce cas de simulation une élasticité anisotrope et une
texture isotrope. Comme pour les cas précédents, la simulation porte sur la croissance sous
irradiation d’un polycristal soumis à un chargement en traction de 100 MPa suivant DT. La contrainte locale suivant DT dans le grain yC est de 79,4 MPa et la composante suivant < " > du tenseur des contraintes VRÜDÝ$vaut -3,3 MPa. Pour le grain$yã, la contrainte suivant DT est égale à 152,4 MPa et VRÜDÝ vaut 117,8 MPa. Afin de tenir compte de la croissance sous irradiation, VRÜDÝ est translatée de -30,1 MPa pour le grain yC et de -51,2 MPa pour le grain$yã par rapport aux valeurs considérées expérimentalement sur la base de l’hypothèse de Reuss. Comme pour le cas précédent, l’écart entre la valeur (VRÜDÝ)réel obtenue à partir des simulations et (VRÜDÝ)exp varie selon l’orientation cristallographique du grain. En élasticité anisotrope et en texture isotrope, la prise en compte des contraintes internes induites par la croissance sous irradiation permet d’expliquer la dispersion grain à grain constatée expérimentalement ;
o Cas 4 : La simulation, en élasticité anisotrope et en texture anisotrope permet de rendre compte du comportement « réel » de notre matériau d’étude. La contrainte locale suivant DT dans le grain yC est de 61 MPa. Elle est de 130,4 MPa dans le grain$yã. Examinons maintenant la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales, VRÜDÝ. A partir du tenseur des contraintes locales obtenu par les simulations, nous calculons une valeur de VRÜDÝ de -0,3 MPa pour le grain yC et de 95,7 MPa pour le grain$yã. Or en considérant que la contrainte vue par le grain est celle appliquée macroscopiquement (hypothèse forte de l’étude expérimentale), VRÜDÝ vaut r ï 3W = -33,4 MPa pour le grain yC et est égale à Pï 3W = 66,7 MPa. Par conséquent, la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales est translatée de -33,1 MPa pour le grain yC et
LA CONTRAINTE SUR LA MICROSTRUCTURE DES BOUCLES A!
COMPOSANTE <#>
de -29,1 MPa pour le grain$yã. La présence des contraintes internes peut donc induire une faible dispersion grain à grain. Leur prise en compte dans le calcul de la composante suivant l’axe cristallographique < " > du déviateur du tenseur des contraintes ne modifie que faiblement la pente des régressions linéaires.
L’ensemble de ces résultats est résumé dans le Tableau IV.4.1 où Vð représente la contrainte locale dans les grains d’intérêt yC et yã, (VRÜDÝ)réel la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales obtenue par les simulations et (VRÜDÝ)exp la composante suivant l’axe < " > du déviateur du tenseur des contraintes locales déterminée à partir de l’hypothèse de Reuss.
Tableau IV.4.1: Résultats des simulations de la croissance sous irradiation d’un polycristal soumis à un chargement en traction de 100 MPa suivant DT.
Simulation Conditions de simulation ZŠ$suivant DT (MPa) (Z¯Ü#Ý)réel (MPa) (Z¯Ü#Ý)réel -(Z¯Ü#Ý)exp (MPa) Rend compte de la dispersion expérimentale Elasticité Texture ÷% ÷\ ÷% ÷\ ÷% ÷\
N° 1 isotrope isotrope 84,7 130,2 -2,7 96,8 -30,7 -30,2 Non
N° 2 isotrope anisotrope 72,3 117,7 -2,3 84,4 -31,1 -17,7 Oui
N° 3 anisotrope isotrope 79,4 152,4 -3,3 117,8 -30,1 -51,2 Oui
N° 4 anisotrope anisotrope 61,1 130,4 -0,3 95,7 -33,1 -29,1 Oui mais faible
Nous constatons que pour un système de simulation où l’élasticité ou de la texture est anisotrope (simulation n° 2 et 3), la présence des contraintes internes induites par la croissance sous irradiation permet de rendre compte de la dispersion grain à grain de façon plus significative que dans un système où à la fois la texture et l’élasticité sont anisotropes (simulation n° 4). La comparaison des résultats de chacune des simulations n° 2 et 3 avec le cas n° 1 pour lequel nous considérons une élasticité isotrope et une texture isotrope nous permet d’éclairer ce point. En effet, alors que l’introduction d’une texture anisotrope diminue les contraintes locales des grains, la prise en compte de l’élasticité anisotrope les augmente (Tableau IV.4.1). Pour la simulation du système « réel » (simulation n° 4), les deux effets de l’anisotropie d’élasticité et de l’anisotropie de la texture se compenseraient conduisant à un cas de simulation similaire à celui où l’élasticité et la texture sont isotropes (simulation n° 1).
Au terme de cette modélisation « simplifiée » du comportement en croissance libre, simulée par la dilatation thermique d’un polycristal de Zircaloy-4 TREX, nous aboutissons à une évaluation des contraintes internes générées dans des grains d’orientations cristallographiques différentes. Bien que la croissance sous irradiation soit à l’origine d’une hétérogénéité interphase, les contraintes internes induites dans un système « réel » ne contribuent que faiblement à la dispersion grain à grain.
Pour compléter cette étude de modélisation à l’échelle du polycristal, il serait intéressant d’introduire, dans le modèle les lois de comportement en croissance libre et en fluage sous irradiation (chapitre 6). Ceci nous permettra notamment d’inclure la relaxation de la contrainte sous irradiation qui dépend de l’orientation cristallographique du grain et qui peut donc être à l’origine des hétérogénéités interphases et de la dispersion grain à grain.
IV.4.2.2 Effet du voisinage
Des grains de même orientation cristallographique sont entourés de voisins d’orientations différentes et variables d’un grain à un autre. Cet effet de voisinage conduit à une hétérogénéité de la distribution de la déformation entre des grains de même orientation cristallographique mais de voisinage différent. L’interaction d’un grain donné avec ses grains voisins peut donc induire des incompatibilités de
déformation élastique et plastique entre grains. Des modèles polycristallins, fondés sur la modélisation numérique par éléments finis d’agrégats cristallins [47], [50]–[52] sont communément