5.3.3.1 Loi de composition interne +p
Définition : nous définissons une loi de composition interne sur , notée , comme l’union de deux quantités probabilistes formalisée par l’expression suivante :
Définition : nous définissons la forme canonique purement probabiliste par l’expression suivante : C’est-à dire : Avec :
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sont les probabilités associées à chaque valeur probable (la somme des est égale à 1).
Par hypothèse et . Les (J fixé) représentent la partition de l’univers des possibles correspondant aux valeurs de .
Contrainte d’additivité :
L’écriture de est unique, les (resp ) sont dits valeurs canoniques (respectivement poids canonique de ). s’interprète comme une valeur susceptible de prendre la valeur avec la probabilité associée . Il s’agit ici typiquement d’une disjonction discrète et finie d’éléments de G, chacun étant associé à une probabilité. Autrement dit, il s’agit de variables probabilistes sur , prenant un nombre fini de valeurs .
Propriétés de
est l’élément neutre pour . est commutative et associative. Il n’existe pas d’inverse pour .
est un demi-groupe unitaire (ou monoïde) commutatif.
Exemples
(1) Base de données orientée objet probabiliste : la notation ci-dessous correspond à une forme développée de base de données orientée objet probabiliste à laquelle on a associé des vecteurs de la base de E.
(2) Soient et deux nombres qui ont plusieurs valeurs probables dans l’ensemble .
b s’exprime dans la base canonique avec la formule suivante, avec :
126 5.3.3.2 Loi de composition interne ×p
Définition : soit deux quantités purement probabilistes indépendantes et . Nous définissons une loi de composition interne sur Dp(G) notée formalisée par l’expression suivante :
Par hypothèse on a : . Les quantités agrégées sont donc indépendantes, c’est-à-dire que quelles que soient les valeurs et , on a :
.
Remarque : la démarche dans le cas probabiliste est analogue au cas possibiliste. La principale différence réside dans le fait que les probabilités s’agrègent par des « produits ».
L’expression suivante :
est évaluée avec une somme composée des
Démonstration
Les événements « » et « » étant par hypothèse indépendants deux à deux. On obtient :
Ce type de structure correspond au produit cartésien d’éléments de l’ensemble G (sous forme de disjonction de conjonction de valeurs de G), chacun étant affecté à une probabilité. Si et sont compatibles algébriquement, on pourra agréger leurs valeurs avec des lois de
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compositions internes telles que + ou *. héritera ainsi de certaines propriétés de G pour les lois + et *. On vérifie que l’on peut immerger l’ensemble G dans .
Généralisation
On déduit immédiatement la formule suivante pour n combinaisons d’éléments de :
NB : les grands symboles produits n’ont pas la même signification ( , * et .) ; c’est pourquoi nous avons séparé les produits.
Expression générale d’une distribution probabiliste sur G
D’une manière générale, en considérant que chaque terme est une agrégation d’éléments de G par la loi de composition interne , tout élément de est une expression de la forme :
Cas particulier de deux opérandes exprimés dans la même base
Si les deux opérandes sont exprimés sur la même base (c’est-à-dire que leurs probabilités sont dépendantes), alors la formule se simplifie. En effet, intuitivement, a et b sont issus de la même source d’incertitude, i.e. lorsque le premier opérande vaut a1 (respectivement b1), la seconde vaut b1 (respectivement b2) avec le même degré de probabilité.
On pose :
et
Remarque : cela revient au cas général mais avec des probabilités et des bases identiques : quelque soit i entier naturel, , et . On a alors la situation suivante : lorsque vaut , alors vaut .
En d’autres termes, et . Avec la formule de Bayes, on en déduit que (NB : et
) :
128 Et : Donc : On a alors :
Ce cas particulier prend en compte rigoureusement les dépendances entre sources d’incertitudes afin de ne pas augmenter de manière artificielle le nombre de valeurs probables.
Propriétés de
possède les mêmes propriétés que , les valeurs possibles (chacune associée à un degré de possibilité) étant remplacées par des valeurs probables (chacune associée à un degré de probabilité).
Supposons que et sont des demi-groupes commutatifs unitaires, i.e. G possède deux éléments neutres pour + et * respectivement notés et .
On note les éléments neutres pour et respectivement et . Les propriétés essentielles sont les suivantes :
possède une structure d’anneau commutatif unitaire.
Si est un corps, avec produit externe d’une distribution probabiliste d’éléments d’un corps K par un élément d’un corps (loi de composition de
) possède une structure d’espace vectoriel sur ( peut par exemple être ).
Exemples
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et b s’expriment dans la base canonique avec les formules suivantes, avec :
En appliquant les résultats obtenus précédemment, on obtient :
× p b = (2 / 0.7. XI,1 +p 3 / 0.3. XI,2) ×p (1/0.5. X J,1 + p 2/0.5. X J,2)
× p b = (2 ×p 1) / 0.35. XI,1.XJ,1+ p (3 ×p 1) / 0.15. XI,2.XJ,1 +p (2 ×p 2) / 0.35.XI,1.XJ,2 +p (3 ×p
2) / 0.15.XI,2.XJ,2
(2) Dans le cas où ×p est l’opérateur algébrique addition (« + »), on obtient :
+ b = 3 / 0.35. XI,1.XJ,1+p 4 / 0.15. XI,2.XJ,1 +p 4 / 0.35.XI,1.XJ,2 +p 5 / 0.15.XI,2.XJ,2 « » a donc trois valeurs probables : 3, 4 ou 5 avec pour probabilités respectives : 0.35, 0.5 et 0.15.
(3) Dans le cas où ×p est l’opérateur algébrique multiplication (« * »), on obtient : = 2 / 0.35. XI,1.XJ,1+p 3 / 0.15. XI,2.XJ,1 +p 4 / 0.35.XI,1.XJ,2 +p 6 / 0.15.XI,2.XJ,2 « » a donc quatre valeurs probables : 2, 3, 4 ou 6 avec pour probabilités respectives : 0.35, 0.15, 0.35 et 0.15.
(4) Le cas de valeurs à probabilités dépendantes s’exprime dans la même base et revient à exprimer des valeurs conditionnelles. Exemple : a vaut 2 (probabilité 0.7) lorsque b vaut 1 et a vaut 3 (probabilité 0.3) lorsque b vaut 2. a et b sont alors exprimées avec la base canonique de la manière suivante :
= 2/0.7. X I,1 +p 3/0.3. XI,2 = 1/0.7. X I,1 +p 2/0.3. XI,2
NB : les probabilités conditionnelles sont alors : P(a=2/b=1) = 1 ; P(b=1/a=2)=1 ; P(a=3/b=2) = 1 ; P(b=2/a=3)=1.
Or, X.X = X et i1 ≠ i2 X I, i1. X I, i2= 0v ; on a donc pour résultat : ×p = (2 ×p 1) / (0.7) . XJ,1 +p (2 ×p 3) / (0.3) . XJ,2
Les cas (2 × p1) d’une part et (2 ×p 3) d’autre part forment une partition des résultats possibles. La somme de leurs probabilités est égale à 1.
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(5) Dans le cas où ×p est l’opérateur algébrique addition (« + »), on obtient : = 3 / (0.7) . XJ,1 +p 5 / (0.3) . XJ,2
C’est-à-dire : = 3 (probabilité 0.7) ou 5 (probabilité 0.3).
(6) Dans le cas où ×p est l’opérateur algébrique multiplication (« * »), on obtient : = 2 / (0.7) . XJ,1 +p 6 / (0.3) . XJ,2
C’est-à-dire : a * b = 2 (probabilité 0.7) ou 6 (probabilité 0.3). (7) Autre exemple :
×p = (2×2) / 0.7.XJ,1 +p (3×3) / 0.3.XJ,2
Dans le cas où ×p est l’opérateur algébrique addition (« + »), on obtient : + = 4 / 0.7.XJ,1 +p 6 / 0.3.XJ,2 =
Dans le cas où ×p est l’opérateur algébrique multiplication (« * »), on obtient : * = 4 / 0.7.XJ,1 +p 9 / 0.3.XJ,2 =
Cela signifie que l’on n’a réalisé qu’un seul tirage de a dans une loterie.