Dans ce cas, on se restreint à des coefficients et à des variateurs tous deux possibilistes. Il s’agit donc de distributions purement possibilistes continues. Soit DπC( ). est de la forme :
Avec trapézoïde de mode , de noyau et de support . Remarques :
Si i , alors le variateur possibiliste est un rectangle de support (et noyau) que nous noterons ou bien
Si i , alors le variateur possibiliste est un triangle de noyau nul et de support que nous noterons
Si i , alors on se ramène au cas d’une quantité discrète de valeur que nous noterons ou δ0 (« Dirac »)
Ce type de distribution est une disjonction possibiliste de valeurs incertaines (au sens possibiliste du terme). On peut le décrire également comme un type de distributions de
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possibilité « multimodale » dans le sens où peut prendre un certain nombre de valeurs principales .
Calculs avec la loi de composition interne ×π
Soient et deux quantités purement possibilistes : et avec : et On a :
Les opérations se réalisent sur l’ensemble , avec les opérations algébriques +, -, * et /. La somme de deux trapèzes est invariante par somme et produit (moyennant une approximation pour ce dernier). Il nous faut donc évaluer l’expression suivante :
L’arithmétique de distributions possibilistes trapézoïdales est équivalente à l’arithmétique d’intervalles pour chaque alpha-coupe. La propagation de telles distributions à travers des opérations arithmétiques (via le principe d’extension de Zadeh) ont une invariance beaucoup plus large qu’en théorie des probabilités, où seule la loi normale est invariante par addition. Les valeurs obtenues pour les noyaux et supports résultants des quatre opérations arithmétiques +, -, * et / sont les suivantes :
Addition (« + ») : Soustraction (« - ») :
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Produit (« * ») :
. Nous utilisons le signe « » car si le noyau et le support résultants sont exacts, la forme de trapèze n’est pas exactement conservée (les pentes « s’arrondissent »). L’approximation en trapèze est d’autant meilleure que la différence entre noyau et support est petite devant la valeur principale [Bouchon-Meunier, 1993].
Division (« / ») : , sachant que n’est pas défini lorsque prend la valeur 0. La même remarque que pour le produit est valable dans ce cas.
Remarque : pour les opérations algébriques « produit » et « division », nous avons choisi d’approximer le résultat par un trapèze grâce à une approximation tangentielle. Cette approximation est valable moyennant l’hypothèse que l’amplitude des variations de valeurs est faible en regard de ces valeurs. Une autre approximation, dite « sécante », qui ne nécessite pas cette hypothèse [Dubois et Prade, 1980], n’est pas utilisée ici par souci de clarté.
Propriétés des formes trapézoïdales symétriques (T,+,*)
On peut définir une véritable structure algébrique des formes trapézoïdales symétriques de mode , de noyau et de support (i.e. , qui sont stables pour les lois de compositions + et *.
+ et * sont commutatives et associatives. * est distributive sur +.
L’élément neutre pour +, noté δ0, est la variable possibiliste 0.T(0,0) (variateur « Dirac » en 0). δ0 est également l’élément absorbant pour *.
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L’élément neutre pour *, noté δ1, est la variable possibiliste 1.T(0,0) (variateur « Dirac » en 1)
Attention, il n’y a pas d’inverse ni pour + ni pour * :
o Si , on définit , avec .
o Si avec ), on définit , avec .
Si l’on considère que et sont très proches de 0, alors on peut considérer que tout élément de T possède un inverse par +. Dans ce cas, possède une structure d’anneau commutatif unitaire. avec . le produit externe d’une distribution trapézoïdale par une valeur de (loi de composition de × T( ) → T( )) possède alors une structure d’espace vectoriel sur .
Généralisation
On déduit immédiatement la formule suivante pour n combinaisons d’éléments de n :
Expression générale d’une distribution possibiliste continue sur
D’une manière générale, en considérant que chaque terme est une agrégation d’éléments de par la loi de composition interne ×π, tout élément de DπC ( ) est une expression de la forme : Propriétés de (DπC( ), )
Les différences entre les propriétés de DπC( ) et celles de Dπ( ) concernent les éléments neutres et les inverses pour + et *.
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En effet, l’élément neutre pour + est la variable possibiliste associant à tout élément de la valeur « environ 0 ». En fait, il existe une infinité d’éléments neutres car le support d’un trapézoïde contient une infinité d’éléments sur On les note indistinctement 0DπC( ). En pratique, on définira un majorant du support de trapézoïde centré sur 0, définissant le seuil à ne pas dépasser pour que l’expression « environ » conserve son sens. Dans ce cas, le support des valeurs en jeu dans les calculs seront « petits » devant les valeurs principales.
En ce qui concerne l’existence d’un inverse pour +, la combinaison de et – entraine une combinaison de trapézoïdes ne donnant pas 0 mais un trapézoïde centré sur 0 et dont les largeurs du noyau et du support sont doublées, ce qui donne : , i.e. l’élément neutre est « environ 0 » pour chaque alternative possibiliste. En pratique, on pourra définir un majorant du support des trapézoïdes de sorte à ce que ceux résultant des calculs, aient un support suffisamment petit par rapport aux valeurs principales pour que l’expression « environ » conserve son sens. Par hypothèse, les noyaux et supports des valeurs en jeu seront donc « petits » devant les valeurs principales.
Le même raisonnement est valable pour les éléments neutres pour *, notés 1DπC( ),qui sont les variables possibilistes associant à tout élément de la valeur « environ 1 ». La propriété de distributivité de * sur + est conservée.
Tout élément de DπC( ) dont aucune valeur possible est « environ égale à zéro » possède également un inverse par * : a pour inverse avec . Un tel élément sera dit « nécessairement non nul ». Par contre aucun élément de DπC( ) « possiblement environ égal à zéro » (i.e. dont au moins une valeur possible est environ égale à zéro) n’est inversible par *. Ainsi (DπC( ), +, *) ne possède pas une structure de corps.
(DπC( ), +, *) possède une structure d’anneau commutatif unitaire.
(DπC( ), +, .) avec . produit externe d’une distribution possibiliste d’éléments de par un élément (loi de composition de DπC( ) → DπC( )) possède une structure d’espace vectoriel sur .
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