Décisions à partir d’informations imparfaitement définies

3.1.6.5 Intégrale de Choquet [Choquet, 1953]

Définition (préférence au sens de l’intégrale de Choquet) : On dit que est préféré à ssi :

3.1.6.6 Conclusion sur les méthodes d’agrégation

Les méthodes d’agrégation présentent l’avantage de produire un optimum (pré-ordre total). Les méthodes de calcul sont simples et elles fournissent une grande variété de méthodes. Toutefois, ces méthodes additives présentent l’inconvénient d’être compensatoires et qu’il est de ce fait difficile de donner la priorité à un critère particulier. Enfin, ces méthodes obligent à comparer des critères de natures différentes, ce qui rend parfois les interprétations délicates en fonction des nombreuses méthodes pouvant être utilisées [Rolland, 2013].

3.1.7 Décisions à partir d’informations imparfaitement définies

Comme nous l’avons vu dans l’état de l’art, les informations imparfaitement définies peuvent être représentées de manière simple via la théorie des possibilités et celle des sous-ensembles flous : l’incertitude épistémique, l’imprécision (incomplétude et logique floue, par exemple modélisation de variables linguistiques). Pour composer des propositions floues, on utilise la logique floue qui est une extension de la logique booléenne. Nous présenterons en premier lieu les opérations ensemblistes de base permettant de calculer les fonctions d’appartenance résultant d’une conjonction ou d’une disjonction de propositions floues. En second lieu, nous étudierons les opérateurs d’agrégation qui, étendus aux sous-ensembles flous, permettent de réaliser un « consensus » entre variables et ainsi de prendre des décisions.

3.1.7.1 Opérations ensemblistes

Les sous-ensembles flous sont décrits par leur fonction d’appartenance. Il s’agit généralement d’une fonction trapézoïde continue de vers définie par un noyau et un support. Pour combiner de telles variables et en déduire leur fonction d’appartenance, on réalise des

66

opérations ensemblistes sur les sous-ensembles flous telles que l’union et l’intersection. Les fonctions d’appartenance résultantes de telles opérations sont définies grâce à une t-norme (norme triangulaire) et une t-conorme.

Une t-norme est une fonction qui vérifie les propriétés suivantes :

 (commutativité)

 (associativité)  et (monotonie)  (élément neutre égal à 1)

Une t-norme T correspond à un opérateur d’intersection entre deux sous-ensembles flous. En effet, si A et B sont deux sous-ensembles flous sur , on en définit un troisième appelé C, qui est l’intersection de A et B. Soit . On a :

De la même manière, on définit une t-conorme comme une fonction qui vérifie les propriétés suivantes :

 (commutativité)

 (associativité)  (monotonie)  (élément neutre égal à 0)

Une t-conorme T’ correspond à un opérateur d’union entre deux sous-ensembles flous. En effet, si A et B sont deux sous-ensembles flous sur , on en définit un troisième appelé D, qui est l’union de A et B. Soit . On a :

Les t-normes (intersection) et les t-conormes (union) les plus courantes sont présentées dan le tableau suivant :

Tableau 5 : t-normes et t-conormes les plus utilisées (source : [Bouchon-Meunier, 1993]) Nom t-norme (intersection) t-conorme (union)

67 Probabiliste Lukasiewicz Hamacher (avec γ> 0) Drastique L’opérateur logique correspondant au complément (« non ») a pour valeur de vérité 1-x. Avec les opérations ensemblistes que nous venons d’étudier, il est possible de composer des données numériques imprécises et/ou des variables linguistiques. Une variable linguistique est représentée par un triplet [Bouchon-Meunier, 1993] dans lequel V est une variable (e.g. la température) définie sur un ensemble X (e.g. ), et est un ensemble fini ou infini de sous-ensembles flous de X. Soient deux variables linguistiques et . On peut ainsi combiner des variables linguistiques avec des opérateurs de conjonction (intersection « et ») et de disjonction (union « ou »).

3.1.7.2 Implications floues

Soit une règle floue de la forme « si V est A alors W est B ». Dans ce cas, le problème est de savoir comment inférer la règle si « V est à peu près A ». Soit . La variable floue V appartient à l’ensemble flou A avec un degré de validité . La variable floue W appartient à l’ensemble flou B avec un degré qui dépend donc du degré de validité de la prémisse. On définit alors la fonction d’appartenance de la relation d’implication floue R entre X et Y qui s’exprime en fonction des fonctions d’appartenance de la prémisse et

de la conclusion :

La fonction n’est pas unique. Elle est définie de telle sorte que si A et B sont précis, l’implication floue est identique à l’implication de la logique booléenne classique. Le tableau suivant illustre les fonctions d’implications floues les plus courantes :

68

Tableau 6 : valeurs de vérité des différents types d’implication floue (source : [Bouchon-Meunier, 1993])

Nom Valeur de vérité de l’implication floue

Reichenbach Willmott Rescher-Gaines ^{1 si} Kleene-Dienes Brouwer-Gödel ^{1 si} Goguen Lukasiewicz Mamdami Larsen

La prémisse d'une règle floue peut être formée de conjonctions et disjonctions de propositions floues. L'ensemble des règles ainsi obtenues est appelée matrice des décisions. Chaque règle est calculée grâce aux valeurs de vérité de son implication floue ci-dessus. Enfin, l’ensemble des résultats obtenus sont agrégés en un résultat final grâce à une t-conorme (opérateur « ou »). On obtient alors un sous-ensemble flou correspondant au résultat final. Il reste à prendre la décision finale en agrégeant ce sous-ensemble flou en une valeur unique.

3.1.7.3 Les opérateurs d’agrégation en logique floue

Un opérateur d’agrégation est une fonction qui permet de passer d’un ensemble de valeurs plus ou moins précises ou certaines à une décision unique (i.e. trouver une valeur exacte, un « consensus » entre valeurs floues) [Gacôgne, 1997]. Ce processus est appelé « défuzzification ». Il existe un grand nombre d’opérateurs d’agrégation floue. Ils sont basés sur le principe suivant : soit x une variable définie sur un ensemble X (e.g. ). Soient A et B deux ensembles flous définis sur X. L’agrégation a pour forme :

69

Les deux principales méthodes de défuzzification sont la méthode moyenne des maxima (MM) et la méthode du centre de gravité (COG).

La défuzzification COG (centre de gravité) [Mamdani, 1974] définit la sortie comme correspondant à l'abscisse du centre de gravité de la surface de la fonction d'appartenance caractérisant l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions. En d’autres termes, c’est l’abscisse du centre de gravité de la surface sous la courbe résultat.

Soit x . Soit C l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions.

L’inconvénient de cette méthode est sa lenteur d’exécution. Pour palier ce problème, Sugeno [Sugeno, 1985] a proposé un opérateur similaire si ce n’est qu’il consiste à calculer la sortie comme la somme pondérée des conclusions de chaque règle (milieu du noyau de l'ensemble flou correspondant) dont le poids est le degré de vérité de la règle.

La défuzzification MM (moyenne des maximums) définit la sortie comme étant la moyenne des abscisses des maxima de l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions. En d’autres termes, c’est la moyenne des valeurs de sortie les plus vraisemblables.

Soit

3.1.7.4 Décisions dans le cadre de la théorie de Dempster-Shafer

La probabilité pignistique est une mesure utilisée pour l’aide à la décision : la fonction de masse m est alors convertie en fonction de probabilité définie sur . Quelque soit le singleton , l’expression de la probabilité pignistique est :

avec étant le cardinal du sous-ensemble A. La décision est prise lorsque est maximum.

70