5.3.2.1 Loi de composition interne +π
Définition : nous définissons une loi de composition interne sur Dπ(G), notée +π, comme l’union de deux quantités possibilistes formalisée par l’expression suivante :
Définition : nous définissons la forme canonique purement possibiliste de par l’expression suivante :
C’est-à dire, plus formellement :
Avec :
les valeurs possibles de .
les possibilités associées à chaque valeur possible ai (dont l’une au moins est égale à 1).
Par hypothèse et . Les (I fixé) représentent la partition de l’univers des possibles correspondant aux valeurs de .
Contrainte de normalisation :
29 : distribution possibiliste sur G
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L’écriture de a est unique, les (resp ) sont dits valeurs canoniques (respectivement poids canonique de ). s’interprète comme une valeur susceptible de prendre la valeur avec la possibilité associée . Il s’agit ici typiquement d’une disjonction discrète et finie d’éléments de G, chacun étant associé à un degré de possibilité. Autrement dit, il s’agit de variables possibilistes sur , prenant un nombre fini de valeurs .
Propriétés de
est l’élément neutre pour . est commutative et associative. Il n’existe pas d’inverse pour .
est un demi-groupe unitaire (ou monoïde) commutatif.
Exemple
Réel/entier flou. Soit a un nombre flou tel que : il est possible que soit égal à 2, ou il est possible (0.8) que soit égal à 3. La forme de connaissance s’exprime ainsi :
s’exprime dans la base canonique avec la formule suivante :
On pourra également exprimer des combinaisons d’éléments plus ou moins possibles ou nécessaires :
où exprime la possibilité et est la nécessité de la valeur . 5.3.2.2 Loi de composition interne ×π
Définition : soient deux quantités purement possibilistes non interactives : et . Nous définissons une loi de composition interne sur notée formalisée par l’expression suivante :
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est évaluée avec une somme composée des .
Démonstration
En appliquant la loi de composition interne , on obtient :
Ce type de structure correspond au produit cartésien d’éléments de l’ensemble G (sous forme de disjonction de conjonction de valeurs de G), chacun étant affecté à une possibilité. Si et sont compatibles algébriquement, on pourra agréger leurs valeurs avec des lois de compositions internes telles que + ou *. héritera ainsi de certaines propriétés de G pour les lois + et *. On vérifie que l’on peut immerger l’ensemble G dans .
Généralisation
On déduit immédiatement la formule suivante pour n combinaisons d’éléments de :
Expression générale d’une distribution possibiliste sur G
D’une manière générale, en considérant que chaque terme est une agrégation d’éléments de G par la loi de composition interne , tout élément de est une expression de la forme :
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Cas particulier de deux opérandes exprimés dans la même base
Si deux opérandes et sont exprimés sur la même base (c’est-à-dire qu’ils sont dépendants, ou en d’autres termes leurs dépendances sont liées), alors la formule se simplifie. En effet, intuitivement, et sont issus de la même source d’incertitude, i.e. lorsque le premier opérande vaut , la seconde vaut avec le même degré de possibilité.
On pose : et (bases identiques). On a donc :
Remarque : ce cas particulier prend en compte rigoureusement les dépendances entre sources d’incertitudes afin de ne pas augmenter de manière artificielle le nombre de valeurs possibles.
Propriétés de
est associative et distributive sur . est un demi-groupe.
Considérons que peut être soit l’opération algébrique + (addition) soit l’opération algébrique * (produit). Alors hérite de certaines propriétés de G. Supposons que et sont des demi-groupes commutatifs unitaires, i.e. G possède deux éléments neutres pour + et * respectivement notés et .
+ et * sont commutatives.
L’élément neutre pour +, noté , est la variable possibiliste associant à tout élément de G la valeur .
Tout élément de possède un inverse par + : a pour inverse . Remarque : cette propriété ne serait pas valable si on considérait un élément de comme une simple distribution de
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possibilité. Elle est valable parce qu’il s’agit d’une variable possibiliste tenant compte de la dépendance des incertitudes.
est un groupe commutatif unitaire.
L’élément neutre pour *, noté , est la variable possibiliste associant à tout élément de G la valeur .
est l’élément absorbant pour *.
* est distributive sur +. La propriété de distributivité de * sur + serait perdue si l’on considérait de simples distributions de possibilité sur G (et non des variables possibilistes). Dans notre cas, grâce à l’utilisation de vecteurs, sera toujours égal à .
Tout élément de dont aucune valeur possible n’est nulle possède un inverse par * : a pour inverse avec . Un tel élément sera dit « nécessairement non nul ». Par contre aucun élément de « possiblement nul » (i.e. dont au moins une valeur possible est nulle) n’est inversible par *. Ainsi ne possède pas une structure de corps. est un demi-groupe commutatif.
possède une structure d’anneau commutatif unitaire.
Si est un corps, avec produit externe d’une distribution possibiliste d’éléments d’un corps par un élément d’un corps (loi de composition de ) possède une structure d’espace vectoriel sur ( peut par exemple être ).
Exemples
(1) Soient et deux nombres flous. Il est possible que soit égal à 2, ou il est possible (0.8) que soit égal à 3. Il est possible que soit égal à 1, ou il est possible (0.5) que soit égal à 2.
La forme de connaissance s’exprime ainsi :
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et s’expriment dans la base canonique avec les formules suivantes, avec :
En appliquant la loi de composition interne ×, on obtient : = (2/1. XI,1+ π 3/0.8. XI,2) ×π (1/1. X J,1+ π 2/0.5. XJ,2)
= (2×π1) / (1 min 1).X I,1. XJ,1 + π (2×π2)/(1 min 0.5).XI,1. XJ,2+ π (3×π1) (0.8 min 1).XI,2. XJ,1 + π (2×π3) / (0.8 min 0.5).XI,2. XJ,2
(2) Dans le cas où est l’opérateur algébrique addition (« + »), on obtient :
= 3/1.XI,1. XJ,1 + π 4/0.5. XI,1. XJ,2 + π 4/0.8. XI,2. XJ,1 + π 5/0.5. XI,2. XJ,2
« » a donc trois valeurs possibles : 3, 4 ou 5 avec pour possibilités respectives : 1, 0.8 et 0.5.
(3) Dans le cas où est l’opérateur algébrique multiplication (« * »), on obtient : = 2/1.XI,1. XJ,1 + π 4/0.5. XI,1. XJ,2 + π 3/0.8. XI,2. XJ,1 + π 6/0.5. XI,2. XJ,2
« a * b » a donc quatre valeurs possibles : 2, 3, 4 ou 6 avec pour possibilités respectives : 1, 0.8, 0.5 et 0.5.
(4) Si deux opérandes sont exprimés dans la même base, i.e. si leurs possibilités sont dépendantes, de sorte que lorsque vaut 2 (resp. 3), alors b vaut 1 (resp. 2) avec le même degré de possibilité. et b ont pour valeurs, dans la base canonique :
= 2/1. XI,1 +π 3/0.8. XI,2
= 1/1. XI,1 +π 2/0.5. XI,2
Les résultats des calculs donnent :
= [2 (possibilité 1) ou 3 (possibilité 0.8)] ×π [1 (possibilité 1) ou 2 (possibilité 0.8)] = (2 ×π 1) / 1.XI,1.XI,1 +π (2 ×π 2) / 0.8.XI,2.XI,1)×π (3 ×π 1) / 0.5. XI,1.XI,2 +π (3 ×π 2) / 0.5.XI,2.XI,2
Or, X.X = X et i1 ≠ i2 XI,i1. XI,i2 = 0v ; on a donc pour résultat : = (2 ×π 1) / 1. XI,1 × (3 ×π 2) / 0.5. XI,2
Il y a donc seulement deux résultats possibles et non trois. Nous avons inclus la possibilité d’exprimer les sources d’incertitudes liées entre elles.
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(5) Dans le cas où × π est l’opérateur algébrique addition (« + »), on obtient : = 3 / 1. XI,1 + π 5 / 0.5. XI,2
C’est-à-dire : = 3 (possibilité 1) ou 5 (possibilité 0.5).
(6) Dans le cas où est l’opérateur algébrique multiplication (« * »), on obtient : = 2 / 1. XI,1 + π 6 / 0.5. XI,2
C’est-à-dire : a * b = 2 (possibilité 1) ou 6 (possibilité 0.5). (7) Autre exemple :
= (2×2) / 1. XI,1 +π (3×9) / 0.8. XI,2
Dans le cas où × est l’opérateur algébrique addition (« + »), on obtient : = 4 / 1. XI,1 +π 5 / 0.8. XI,2 =
Dans le cas où × est l’opérateur algébrique multiplication (« * »), on obtient : = 4 / 1. XI,1 +π 9 / 0.8. XI,2 =