convolutif formel
Dans un turbo-encodage classique, les propri´et´es que satisfait l’encodage convo- lutif interne sont le caract`ere r´ecursif et le caract`ere syst´ematique afin d’obtenir une distance minimale conforme au th´eor`eme 1.11.2. Etant donn´e que le ca- ract`ere syst´ematique implique le caract`ere non catastrophique, le bon fonction- nement de l’algorithme de d´ecodage it´eratif est alors garanti de fait. Dans le cadre du formalisme commun, on va red´efinir ces trois propri´et´es, et introduire une quatri`eme propri´et´e nomm´ee anti-r´ecursivit´e.
Les d´efinitions pr´esent´ees ´etablissent un lien entre le poids en entr´ee et le poids en sortie de l’encodeur convolutif formel, et se restreignent `a l’ensemble des erreurs en entr´ee dont le poids de syndrome est nul. Cela permet ainsi dans le mod`ele classique de se restreindre aux erreurs qui s’´ecrivent comme un ´el´ement du code. Dans le mod`ele de l’encodage quantique, les d´efinitions se d´eclinent en revanche de mani`ere plus complexe dans la mesure o`u on autorise `a l’erreur en entr´ee d’avoir des coordonn´ees ´egales `a I ou Z sur les positions du syndrome, puisque ces erreurs ont un effet trivial. Par cons´equent, le probl`eme de rechercher un encodeur convolutif formel poss´edant de telles propri´et´es devient plus difficile dans le mod`ele quantique.
Exposons les motivations ayant conduit `a l’introduction de la notion d’anti- r´ecursivit´e. Il a ´et´e prouv´e dans [41] que dans le cadre quantique, un enco- deur convolutif r´ecursif est n´ecessairement catastrophique, et donc a fortiori non syst´ematique. Or, dans le cadre classique, le caract`ere syst´ematique de l’en- codeur convolutif interne garantit que toute erreur de sortie de poids d du turbo- encodeur est n´ecessairement l’image par l’encodeur convolutif interne d’une er- reur de poids inf´erieur `a d ; cette propri´et´e permet ainsi de contrˆoler en partie
le nombre d’erreurs de poids d donn´e en sortie, et repr´esente avec le caract`ere r´ecursif un ´el´ement essentiel de la preuve de la distance minimale du turbo- encodeur. Sans le caract`ere syst´ematique dans le cadre quantique, il devient ainsi n´ecessaire de rechercher une contrainte alternative si l’on veut mettre en place un mod`ele de turbo-encodeur dont la distance minimale correspond `a celle du mod`ele classique. Cette th`ese introduit donc le concept d’encodeur convolutif formel anti-r´ecursif qui permet, en se combinant avec le caract`ere r´ecursif, de pallier `a l’absence du caract`ere syst´ematique. Cette notion ressemble au premier abord `a une notion d’encodeur convolutif formel r´ecursif dans laquelle les rˆoles de l’entr´ee logique et de la sortie sont invers´es. L’id´ee ayant permis d’introduire cette notion est n´ee en recherchant un encodeur convolutif quantique r´ecursif dont l’encodeur de base est le plus simple possible. Cette recherche a abouti `a l’encodeur de base que l’on donne dans la section 3.5, est de taux k/n = 1 et ne poss`ede donc pas de positions de syndrome, et a la propri´et´e ´el´egante d’ˆetre ´egal `a son propre inverse `a une interversion pr`es sur ses positions d’entr´ee lo- gique. L’introduction de la notion d’anti-r´ecursivit´e est ainsi n´ee en cherchant `
a exploiter cette propri´et´e de sym´etrie. Cependant, `a la diff´erence du caract`ere r´ecursif, le caract`ere anti-r´ecursif laisse toute libert´e `a la valeur de l’erreur en entr´ee aux positions du syndrome. La n´ecessit´e de relˆacher la contrainte en ces positions est un point technique que l’on mettra en ´evidence dans la preuve de la distance minimale du turbo-encodeur formel.
L’impossibilit´e de r´eunir `a la fois les caract`eres r´ecursif et non catastro- phique dans le mod`ele quantique pose quant `a lui probl`eme pour l’algorithme de d´ecodage, et on ne peut pallier au caract`ere catastrophique de l’encodeur convolutif qu’en proposant un changement du sch´ema g´en´eral du turbo-encodeur comme on le pr´esente dans la section 3.5. L’incompatibilit´e de ces deux ca- ract`eres n’a donc pas de r´epercussion dans cette section, ni dans la distance minimale d’un turbo-encodeur formel.
D´efinition 3.3.1. Un encodeur convolutif formel de taille N et param`etres
[n, k, m], bas´e sur un encodeur formel (n + m, k + m, E), est dit :
• syst´ematique si, pour toute erreur d’entr´ee E ∈ Gm+N n de poids de
syndrome nul, |EN(E)| ≥ |E|L.
• r´ecursif si, pour toute erreur E ∈ GN
d’entr´ee de l’encodeur infini E∞de
poids de syndrome nul, si |E|M = 0 et |E|L= 1 alors |E∞(E)| = ∞.
• catastrophique s’il existe une erreur E ∈ GN
d’entr´ee de l’encodeur infini E∞ de poids de syndrome nul, v´erifiant |E∞(E)| < ∞ et |E|L= ∞.
• anti-r´ecursif si, pour toute erreur P ∈ Gn de poids 1, le poids de
EN−1(In, ..., In, P, Im) tend vers l’infini lorsque N → ∞.
Contrairement `a la d´efinition 1.7.3, on n’a conserv´e ici dans la d´efinition du caract`ere syst´ematique que la propri´et´e reliant le poids de l’entr´ee logique au poids de la sortie. Le fait que la partie logique de l’entr´ee se trouve recopi´ee dans la sortie n’est en effet pas n´ecessaire afin d’obtenir le r´esultat donn´e au
th´eor`eme 3.4.1. Observons ´egalement que lorsqu’on qualifie un encodeur formel (n + m, k + m, E) d’un des adjectifs pr´ec´edents, on suppose implicitement la valeur du triplet [n, k, m] connue, ou plus simplement la valeur de m connue. Cela sera le cas `a chaque fois qu’un encodeur formel sera ´ecrit sous la forme (n + m, k + m, E).
Etendons la d´efinition du caract`ere r´ecursif aux encodeurs convolutifs formels invers´es.
D´efinition 3.3.2. Un encodeur convolutif formel invers´e de param`etres [n, k, m], bas´e sur un encodeur formel invers´e (n′ + m′, k′+ m′, E′), est dit r´ecursif si,
pour toute erreur E′∈ GN
d’entr´ee de l’encodeur invers´e infini E∞, si |E′|M = 0
et |E′|
L = 1 alors |E′∞(E′)| = ∞.
Le lemme suivant exprime l’´equivalence entre le caract`ere anti-r´ecursif d’un encodeur convolutif formel et le caract`ere r´ecursif de son encodeur convolutif formel invers´e r´eciproque. Il d´ecoule imm´ediatement des d´efinitions pr´ec´edentes et du lemme 3.2.1, qui relie la structure convolutive directe et la structure convo- lutive invers´ee.
Lemme 3.3.1. Un encodeur formel (n + m, k + m, E), o`u m est implicitement connu, est anti-r´ecursif si et seulement si l’encodeur formel invers´e r´eciproque de (n + m, k + m, E) est r´ecursif.
Ce lemme sera l’argument de base lors de la d´emonstration de la seconde borne de la section 4.4 portant sur les encodeurs convolutifs internes anti- r´ecursifs.