Performances de r´eduction d’erreur des turbo-

Dans un premier temps, on s’est int´eress´e aux performances de d´ecodage du turbo-encodeur modifi´e. On a test´e deux configurations pour l’encodeur externe correspondant `a l’encodeur de taille 8 et `a la paire d’encodeurs de tailles 2 et 5. On a d’abord utilis´e, en tant qu’encodeur externe, des blocs correspondant `

a l’encodeur de taille 8, dont la premi`ere position de sortie est envoy´ee vers le canal et les 7 autres positions vers l’encodeur interne. Trois tailles Ninde turbo-

encodeur modifi´e ont ´et´e test´es : 500, 4000 et 60000 ; ces tailles permettent d’en- coder un nombre K de bits quantiques valant respectivement 143, 1143 et 17143. Pour chacune de ces valeurs, on a compl´et´e la d´efinition du turbo-encodeur modifi´e avec un entrelaceur fix´e par un tirage al´eatoire. Les taux d’erreurs de d´ecodage et d’erreurs par bit sont repr´esent´es dans les figures 3.10 et 3.11. La taille Nin = 200000 correspondant `a K = 57143 a ´egalement ´et´e test´ee sur un

nombre plus r´eduit de points, afin d’observer la proximit´e de la courbe de taux d’erreur par bit pour K = 17143 par rapport `a la courbe asymptotique.

Les taux d’erreurs par bit montrent une caract´eristique attendue : les per- formances de d´ecodage sont meilleures avec la taille de l’encodeur, et il existe un seuil d’efficacit´e du d´ecodage situ´e autour de p = 0, 142, soit 0, 015 point en dessous de la capacit´e coh´erente pour un taux d’encodage de 1/8. En ce point, le taux d’erreur par bit est d’environ 1, 1 ∗ 10−3_{. Ces performances atteignent une}

courbe limite lorsque la taille de l’encodeur tend vers l’infini, due `a la pr´esence d’un bruit de canal irr´eductible en premi`ere position de sortie de chaque bloc de l’encodeur externe. Les taux d’erreurs de d´ecodage sont quant `a eux inhabituels, car ils augmentent avec la taille de l’encodeur contrairement aux taux d’erreurs par bit. Il s’agit ici de l’effet du bruit irr´eductible en sortie de l’encodeur ex- terne, qui introduit une probabilit´e d’´echec du d´ecodage d’autant plus grande que le turbo-encodeur est long. Le turbo-encodeur modifi´e ainsi r´ealis´e est en conclusion est mauvais code correcteur d’erreurs, mais un excellent r´educteur du taux d’erreur par bit.

On a ensuite utilis´e un encodeur externe bas´e sur la paire d’encodeurs de tailles 2 et 5. Comme d´ecrit pr´ec´edemment, ces deux encodeurs sont d´edi´es `a des taches s´epar´ees. L’encodeur de taille 2 n’est compos´e que de positions de syndrome, n’encode aucune information mais aide `a l’amorce du d´ecodage it´eratif ; une de ses positions de sortie est envoy´ee vers le canal, tandis que la seconde est envoy´ee vers l’encodeur interne. L’encodeur de taille 5 encode 1

0.01 0.1 1

0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15

Taux d’erreur de décodage

Intensité de dépolarisation

k = 143 k = 1143 k = 17143

Figure 3.10 – Taux d’erreur de d´ecodage

1e−005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15

Taux d’erreur par bit

Intensité de dépolarisation k = 143

k = 1143 k = 17143 k = 57143

position d’information, sa premi`ere position de sortie est envoy´ee vers le canal, et les 4 autres sont envoy´ees vers l’encodeur interne. On a r´ealis´e une s´erie de tests `a nombre de bits quantiques encod´es fix´e `a K = 17143. Il y a donc K = 17143 encodeurs de taille 5. Le nombre d’encodeurs de taille 2 peut quant `a lui ˆetre modul´e librement. Augmenter leur nombre facilite l’amorce du d´ecodage it´eratif, mais cela se fait au d´etriment d’une baisse du rendement du code et d’une augmentation du bruit irr´eductible qui subsiste `a la fin du d´ecodage. On a ainsi test´e un encodeur externe contenant les r´epartitions suivantes :

• K = 17143 encodeurs de taille 5 ; • 17136 − 2448 ∗ i encodeurs de taille 2 ;

o`u i est un param`etre entier con¸cu pour varier de 0, pour une r´epartition quasi- ´egale des deux encodeurs, `a 7, pour ne garder aucun encodeur de taille 2. La valeur i = 7 n’a pas ´et´e test´ee au vu des mauvaises performances du cas i = 6. Les taux d’erreurs de d´ecodage et d’erreurs par bit sont repr´esent´es dans les figures 3.12 et 3.13.

0.1 1

0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13

Taux d’erreur de décodage

Intensité de dépolarisation i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5

Figure 3.12 – Taux d’erreur de d´ecodage

On constate que les performances de d´ecodage par bit pr´esentent un seuil d’efficacit´e qui baisse lorsque le taux d’incorporation d’encodeurs de taille 2 diminue, tandis que les performances de d´ecodage en de¸c`a de ce seuil deviennent meilleures. Le taux d’incorporation correspondant `a i = 3 est celui qui pr´esente un ´ecart minimal entre le seuil de performance de d´ecodage, proche de 0, 13, et

1e−006 1e−005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14

Taux d’erreur par bit

Intensité de dépolarisation i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5

Figure3.13 – Taux d’erreur par bit

la capacit´e coh´erente, de 0, 147. Cet ´ecart est du mˆeme ordre que celui de 0, 015 point constat´e dans la construction pr´ec´edente, avec un taux d’erreur par bit au seuil l´eg`erement inf´erieur `a 10−3_{. Dans les deux constructions, les pentes des}

courbes en de¸c`a du seuil sont ´equivalentes, et se traduisent par une diminution d’un facteur 10 tous les 0, 035 point.

Dans les deux situations, on observe que le turbo-encodeur modifi´e est in- adapt´e pour faire de la correction d’erreur, avec des taux d’´echec de d´ecodage tr`es ´elev´es. Cependant, les diff´erentes constructions r´ealisent une remarquable r´eduction du taux d’erreur par bit. Elles peuvent par cons´equent ˆetre utilis´ees en tant que second ´etage r´educteur d’erreur, sur lesquelles se base, au premier ´etage, un turbo-encodeur modifi´e de distance ´epur´ee non born´ee, conform´ement `a la description faite `a la sous-section pr´ec´edente.

On peut mettre en perspective ces performances de r´eduction d’erreur en les comparant avec ce que l’on obtiendrait si, au lieu d’utiliser un turbo-encodeur modifi´e, on utilise simplement l’encodeur de taille 8 ou l’encodeur de taille 5.

Cette comparaison permet de montrer le saut de performance gagn´e grˆace `a

l’entrelaceur al´eatoire et `a l’encodeur convolutif interne de rendement 1, alors mˆeme que ces op´erations n’ajoutent aucune redondance. Les figures 3.14 et 3.15 montrent ainsi les taux d’erreurs par bit respectifs obtenus pour le simple enco- deur de taille 8 et pour le simple encodeur de taille 5.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Taux d’erreur par bit

Intensité de dépolarisation

Figure3.14 – Taux d’erreur par bit de l’encodeur de taille 8

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Taux d’erreur par bit

Intensité de dépolarisation