On d´ecrit ici un proc´ed´e de d´ecodage au maximum de vraisemblance applicable aux encodages stabilisateurs. Ce proc´ed´e est optimal lorsque le mod`ele du canal quantique est descriptible par des erreurs de Pauli, comme c’est le cas pour le canal quantique d´epolarisant et le canal quantique `a effacement. Il reste ap- plicable pour tout autre mod`ele de canal quantique sans ˆetre n´ecessairement optimal dans ce cas.
Il sera plus simple de travailler directement sur le groupe de Pauli effectif lors de la pr´esentation du proc´ed´e de d´ecodage. En effet, deux erreurs de Pauli qui ne diff`erent que par leur phase ont le mˆeme effet sur l’espace quantique, puisqu’une telle diff´erence n’a pour effet que d’introduire un d´ephasage sur les ´etats, et que des ´etats qui ne diff`erent que par une phase sont en r´ealit´e iden- tiques. On fera donc de nouveau usage de la d´efinition 2.10.3 des ensembles S et N (S) des erreurs de Pauli effectives correspondant au groupe stabilisateur S et `a son commutateur N(S). Le mod`ele d’erreur du canal quant `a lui sera `a l’´echelle des erreurs de Pauli effectives, c’est-`a-dire qu’on comptabilisera, pour toute erreur de Pauli effective, la somme des probabilit´es des erreurs de Pauli correspondantes. Le terme≪erreur≫dans cette section d´esignera exclusivement une erreur de Pauli effective.
Il faut commencer par souligner une particularit´e du d´ecodage qui n’existe pas dans la th´eorie des codes classiques. Plusieurs erreurs peuvent avoir la mˆeme action sur un code stabilisateur. Cela vient du fait que par d´efinition, l’ensemble des erreurs de S laissent le code stabilisateur invariant. Ainsi, le fait de compo- ser une erreur par n’importe quelle erreur de S ne modifie en rien l’action d’une telle erreur sur le code stabilisateur. Lors du d´ecodage au maximum de vraisem- blance, la tˆache ne consistera donc pas `a estimer l’erreur la plus probable, mais la classe d’erreurs la plus probable modulo S. Afin de souligner cette subtilit´e,
Le proc´ed´e de d´ecodage consiste en substance `a appliquer la transformation de Clifford inverse sur l’´etat re¸cu `a la sortie du canal, puis `a effectuer une mesure sur les n − k bits de l’´etat obtenu. Cette mesure constitue le syndrome qui livre une information sur la classe modulo S `a laquelle appartient l’erreur E qui a ´et´e introduite par le canal. Ensuite, il s’agit de retrouver la classe d’erreurs la plus probable parmi celles qui correspondent `a ce syndrome. D´efinissons donc le syndrome d’une erreur :
D´efinition 2.12.1. Soit (n, k, U ) un encodage quantique o`u U est une trans- formation de Clifford, et soit E l’isomorphisme du groupe de Pauli effectif induit par U . Le syndrome d’une erreur de Pauli effective E ∈ Pn est la s´equence :
(σ(E).σ(E(Zk+1)), ..., σ(E).σ(E(Zn)))
Le syndrome d’une erreur est donc le produit simplectique de l’erreur par la famille canonique des g´en´erateurs de S. On verra grˆace `a la description ci- dessous que le syndrome d’une erreur peut ˆetre obtenu grˆace la mesure des n −k derniers bits apr`es avoir appliqu´e U−1 sur l’´etat re¸cu.
Consid´erons donc un code stabilisateur C engendr´e par un encodage (n, k, U) o`u U est une transformation de Clifford, et notons E l’isomorphisme du groupe de Pauli effectif induit par U . On suppose que le canal quantique introduit une erreur E ∈ Pn suivant une distribution de probabilit´e P (E) connue. Cette
distribution de probabilit´e peut ˆetre connue a priori comme dans le cas du canal d´epolarisant, ou a posteriori comme dans le cas du canal `a effacement. Comme E est un isomorphisme, on peut ´ecrire toute erreur E sous la forme :
E = E(L, S)
o`u L ∈ Pk et S ∈ Pn−k. La lettre L est employ´ee pour d´esigner l’erreur situ´ee
sur les k premi`eres positions porteuses de l’information quantique et appel´ees logiques, tandis que la lettre S est employ´ee pour d´esigner l’erreur situ´ee sur les n − k derni`eres positions sur lesquelles on mesurera le syndrome.
Supposons que l’on envoie via ce canal un ´etat |ψ′i = U(|ψi ⊗ |0
n−ki) o`u
|ψi ∈ H⊗k2 repr´esente l’´etat d’un registre `a k bits que l’on cherche `a prot´eger.
Avec probabilit´e P (E), une erreur E est introduite par le canal. Lorsque l’on applique U−1 `a l’´etat re¸cu, cela correspond donc `a l’introduction de l’erreur
(L, S) sur l’´etat |ψi ⊗ |0n−ki.
Soit (x1, ..., xn−k, z1, ..., zn−k) la repr´esentation simplectique de S. S s’´ecrit
comme le produit S(X)S(Z) o`u S(X) et S(Z) sont les erreurs dont la i-`eme
coordonn´ee vaut, respectivement, X si xi = 1 et 0 sinon, et Z si zi = 1 et I
sinon. Comme S(Z)agit trivialement sur l’´etat |0
n−ki des n − k derniers bits du
registre, S envoie l’´etat |0n−ki sur l’´etat |xi o`u x = (x1, ..., xn−k).
On constate que la s´equence x correspond au syndrome de l’erreur E = E(L, S). En effet, pour tout i ∈ [[k + 1; n]], on a :
σ(E(L, S)).σ(E(Zi)) = σ(L, S).σ(Zi)
Ainsi en fonction de l’erreur E introduite par le canal, l’´etat obtenu apr`es application de U−1 `a l’´etat re¸cu par le canal appartient `a l’un des espaces
H⊗k2 ⊗ {|xi} o`u x ∈ {0, 1}n−k. La famille des projecteurs orthogonaux sur ces
espaces est la famille associ´ee `a la mesure des n − k derniers bits du registre, comme cela a ´et´e pr´esent´e dans la d´efinition 2.2.3. En effectuant la mesure des n−k derniers bits du registre, le r´esultat x de la mesure r´ev`ele ainsi le syndrome de l’erreur E.
Une fois le syndrome x mesur´e sur les n − k derni`eres positions, on est alors int´eress´e par connaˆıtre l’erreur L la plus vraisemblable sur les k premi`eres positions du registre, afin d’appliquer ensuite la correction L−1sur ces positions
du registre. On cherche donc une erreur ˆL maximisant la probabilit´e que l’erreur E du canal s’´ecrive sous la forme E( ˆL, S) o`u la partie en X de la repr´esentation simplectique de S correspond `a la s´equence x :
ˆ L ∈ argmax L∈Pk X S(Z)∈{I,Z}n−k P (E(L, S(X)S(Z))) o`u S(X) est l’erreur dont la i-`eme coordonn´ee vaut X si x
i = 1 et I si xi = 0.
R´esumons donc le proc´ed´e :
D´efinition 2.12.2. Soit un canal quantique de loi de probabilit´e d’erreur P (E)
o`u E ∈ Pn. On rappelle que P (E) d´esigne ainsi la somme des probabilit´es
d’occurrence d’une erreur de Pauli appartenant `a l’erreur de Pauli effective E. Soit (n, k, U ) un encodage quantique o`u U est une transformation de Clifford, et soit C le code stabilisateur qu’il engendre. Le d´ecodage au maximum de classe de vraisemblance d’un ´etat U (|ψi⊗{0n−k}) ∈ C, o`u |ψi ∈ H⊗k2 , envoy´e
par le canal consiste `a effectuer successivement ces trois ´etapes : • L’application de U−1 `a l’´etat re¸cu en sortie du canal
• La mesure de la s´equence x des n−k derniers bits de cet ´etat, conform´ement `a la d´efinition 2.2.3
• L’estimation de l’erreur la plus probable sur les k premiers bits : ˆ L ∈ argmax L∈Pk X S(Z)∈{I,Z}n−k P (E(L, S(X)S(Z)))
o`u S(X) est l’erreur dont la i-`eme coordonn´ee vaut X si x
i = 1 et I si
xi= 0.
Ce proc´ed´e permet de r´etablir, avec probabilit´e maximale, l’´etat |ψi porteur de l’information quantique en appliquant ˆL−1= ˆL sur les k premi`eres positions du
registre.
Un tel proc´ed´e de d´ecodage est applicable ´egalement aux mod`eles de canaux quantiques dont la loi de probabilit´e n’est pas d´efinie uniquement sur les erreurs de Pauli. En effet, si l’on suppose qu’une erreur quelconque E est introduite par
le canal quantique, on peut toujours s´eparer les erreurs de Pauli formant U†EU
en fonction de leur syndrome x. Si l’on note S(x)l’erreur de P⊗(n−k)form´ee de
X aux positions o`u xi= 1 et de I aux positions o`u xi= 0, on a ainsi :
U†EU = X x∈{0,1}n−k X L∈P⊗k X S(z)∈{I,Z}⊗(n−k) cL⊗(S(x)◦S(z))L ⊗ (S(x)◦ S(z))
Apr`es avoir appliqu´e U−1 `a l’´etat re¸cu en sortie du canal, l’´etat obtenu n’ap-
partient pas n´ecessairement `a l’un des espaces H⊗k2 ⊗ {|xi} o`u x ∈ {0, 1}n−k,
mais `a une combinaison lin´eaire d’´etats de ces espaces. En effectuant toutefois la mesure des n − k derniers bits et en notant x le syndrome mesur´e, on obtient alors un ´etat factoris´e sur le registre des k premiers bits et le registre des n − k derniers bits, dont l’´etat sur les k premiers bits correspond `a l’´etat |ψi affect´e de l’erreur : X L∈P⊗k X S(z)∈{I,Z}⊗(n−k) cL⊗(S(x)◦S(z))L
Alors, en connaissant la loi de probabilit´e de l’erreur E introduite par le canal quantique, et par cons´equent la loi de probabilit´e conditionnelle de l’erreur ci- dessus sachant le r´esultat x de la mesure, on recherche l’erreur la plus probable affectant le registre des k premiers bits dans cette situation. Cela ne garantit cependant pas que l’´etat |ψi puisse ˆetre r´etabli, quand bien mˆeme la bonne erreur sur le registre des k premiers bits a ´et´e trouv´ee, car dans le cas g´en´eral, il reste toujours la possibilit´e que cette erreur soit non inversible.