On pr´esente ici le processus d’erreur affectant un syst`eme S1. Ce processus cor-
respond au≪Positive Operator-Valued Measure≫(POVM), un type g´en´eralis´e
de mesure d’un syst`eme et qui peut se d´ecomposer comme un couplage avec un syst`eme S2 suivi d’une mesure projective effectu´ee sur le syst`eme S2. Un
processus d’erreur est exactement un POVM dont on oublie le r´esultat de la mesure. Cette pr´esentation d´ebouchera sur la d´efinition d’un canal quantique.
Commen¸cons donc par pr´esenter le principe d’un POVM. Soit S1un syst`eme
d’espace quantique associ´e H(1), formant avec un syst`eme S
2d’espace quantique
associ´e H(2)un syst`eme global S. On note |ψi
1l’´etat de d´epart du syst`eme S1, et
on suppose que le syst`eme S2est au d´epart dans un ´etat |ψi2fix´e et ind´ependant
de |ψi1. En premier lieu, un couplage U s’op`ere entre les syst`emes S1 et S2, de
sorte que l’´etat du syst`eme global S apr`es couplage devient U (|ψi1⊗ |ψi2).
Ce couplage est suivi d’une mesure projective effectu´ee sur le syst`eme S2 et
associ´ee `a une base orthonorm´ee (|ψji2)j∈J de H(2). Au niveau du syst`eme S,
cette mesure correspond `a la mesure projective de famille de projecteurs associ´ee (I ⊗ |ψji2hψj|2)j∈J, o`u I d´esigne l’op´erateur identit´e agissant sur le syst`eme S1.
Afin de d´ecrire l’effet de cette mesure, notons que (|ψji2)j∈J ´etant une base de
H(2), tout vecteur |ψi ∈ H(1)⊗ H(2) se d´ecompose sous la forme :
|ψi =X
j∈J
|ψji1⊗ |ψji2
o`u pour tout j ∈ J, |ψji1 est un vecteur de H(1) d´ependant de mani`ere lin´eaire
du vecteur |ψi. Par cons´equent, pour tout ´etat |ψi1 du syst`eme S1, on peut
´ecrire l’´etat U (|ψi1⊗ |ψi2) sous la forme :
U (|ψi1⊗ |ψi2) =
X
j∈J
(Ej|ψi1) ⊗ |ψji2
o`u Ej est un endomorphisme de H(1). Avec une probabilit´e ´egale `a kEj|ψi1k2,
la mesure donne ainsi le r´esultat j et met le syst`eme S dans l’´etat factoris´e Ej|ψi1
kEj|ψi1k ⊗ |ψ ji2
de sorte que le syst`eme S1 `a la fin du processus d’erreur devient
Ej|ψi1
kEj|ψi1k
avec probabilit´e kEj|ψi1k2.
Les op´erateurs Ej, d´efinis ci-dessus `a partir de U , sont nomm´es op´erateurs de
Kraus. Ils v´erifient une condition n´ecessaire et suffisante d´ecoulant du caract`ere unitaire de U . On obtient cette condition en requ´erant que, pour tout ´etat |ψi1
du syst`eme S1, U (|ψi1⊗ |ψi2) soit de norme 1. En ´ecrivant le produit hermitien
de ce dernier vecteur par lui-mˆeme, il vient : X j∈J (hψ|1Ej†) ⊗ hψj|2 X j∈J (Ej|ψi1) ⊗ |ψji2= 1
o`u Ej†est l’op´erateur adjoint de Ej et o`u hψ|1et hψj|2d´esignent respectivement
les op´erations de produit hermitien `a gauche par les vecteurs |ψi1et |ψji2. Par
orthonormalit´e de la famille (hψj|2)j∈J, cela ´equivaut `a la condition :
X
j∈J
hψ|1Ej†Ej|ψi1= 1
valable pour tout ´etat |ψi1du syst`eme S1. La condition portant sur les op´erateurs
Ej et que l’on nomme condition de Kraus s’´ecrit donc :
X
j∈J
Ej†Ej = I
En conclusion, un POVM est une op´eration plus large qu’une mesure projec- tive, en ceci qu’elle n’est pas associ´ee `a une famille de projecteurs orthogonaux (Pj)j∈J v´erifiant la conditionPj∈JPj = I mais, plus largement, `a une famille
d’op´erateurs lin´eaires (Ej)j∈J v´erifiant la condition de Kraus Pj∈JEj†Ej = I.
R´esumons cette description par la d´efinition suivante.
D´efinition 2.4.1. Soit S un syst`eme d’espace quantique associ´e H. Une famille d’op´erateurs de Kraus est une famille (Ej)j∈J d’applications lin´eaires sur H
v´erifiant la condition de Kraus : X
j∈J
Ej†Ej = I
Un Positive Operator Valued Measure (POVM) sur S de famille d’op´erateurs de Kraus associ´es (Ej)j∈J est une op´eration probabiliste agissant
de la mani`ere suivante. Si |ψi est l’´etat du syst`eme au d´ebut de l’op´eration, le POVM donne le r´esultat j ∈ J et donne au syst`eme l’´etat Ej|ψi
kEj|ψik avec une probabilit´e ´egale `a hψ|Ej†Ej|ψi = kEj|ψik2.
Le processus d’erreur qui affecte un syst`eme est similaire `a celui qui entre
en jeu dans un POVM. Le syst`eme S1 qui subit une erreur entre en interaction
avec un syst`eme S2 repr´esentant l’environnement du syst`eme S1. Le couplage
qui a lieu entre les deux syst`emes ainsi que la mesure projective sur l’environ- nement sont des op´erations non contrˆol´ees et inconnues, dont on ne connaˆıt que les op´erateurs de Kraus correspondants grˆace `a des exp´eriences r´ep´et´ees sur le syst`eme S1 qui r´ev`elent des propri´et´es statistiques concernant le processus
d’erreur. En revanche, le r´esultat de la mesure projective sur l’environnement
est quant `a lui perdu. Par exemple, on peut imaginer que le syst`eme S1 est
une boite et que l’environnement S2 est l’atmosph`ere. Dans un tel cas, la me-
sure projective qui s’effectue sur S2 peut provenir de la simple interaction entre
les mol´ecules de l’air du syst`eme S2 avec une personne pr´esente sans que cette
personne ne soit consciente de la mesure effectu´ee.
On retient ainsi la d´efinition de deux notions : celle d’une erreur qui agit sur un syst`eme, ainsi que celle d’un canal quantique qui transforme l’´etat d’un syst`eme par l’application d’une erreur conform´ement `a une certaine loi de pro- babilit´e.
D´efinition 2.4.2. Une erreur sur un syst`eme S d’espace quantique associ´e H
est un endomorphisme de H. L’action d’une erreur E sur un ´etat |ψi est d´efinie dans le cas o`u |ψi /∈ Ker E et correspond `a la transformation |ψi 7→
E|ψi kE|ψik.
Un canal quantique sur S est donn´e par une famille d’op´erateurs de Kraus (Ej)j∈Jsur H appel´ee famille d’erreurs associ´ee au canal quantique. Il trans-
forme tout ´etat |ψi du syst`eme S en un ´etat Ej|ψi
kEj|ψik, o`u Ejest tel que Ej|ψi 6= 0, conform´ement `a la loi de probabilit´e P (Ej||ψi) = kEj|ψik2.
Lorsque les erreurs quantiques agissent sur un registre `a n symboles, elles ont un poids correspondant au nombre maximal de positions du registre sur lesquelles elles agissent simultan´ement. Pour les mod`eles de canaux quantiques courants que l’on pr´esente, les familles d’erreurs associ´ees ont une distribution de poids int´eressante. Afin d’introduire formellement un tel poids, consid´erons une base (E(0), ..., E(k2
−1)) des erreurs quantiques agissant sur un registre `a 1
symbole, o`u k ≥ 1 d´esigne la taille de l’alphabet sur lequel est d´efini le symbole, et telle que E(0) correspond `a l’op´erateur identit´e. Toute erreur quantique agis-
sant sur un registre `a n symboles peut alors se d´ecomposer sur la famille des erreurs (E(0), ..., E(k2−1))⊗n, ce qui permet d’identifier son poids.
D´efinition 2.4.3. Toute erreur quantique E agissant sur un registre `a n sym- boles peut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire :
E = X
v∈[[0;k2−1]]n
cvE(v1)⊗ ... ⊗ E(vn)
o`u pour tout v ∈ [[0; k2−1]]n, c
v ∈ C. Le poids de l’erreur quantique E est le
telle que cv 6= 0 :
max{|{i ∈ [[1; n]], vi6= 0}|, v ∈ [[0; k2− 1]]n, cv6= 0}
Cette d´efinition de poids est ind´ependante du choix de la base d’erreurs (E(0), ..., E(k2
−1))⊗n:
Propri´et´e 2.4.1. Soient (E(0), ..., E(k2
−1)) et (F(0), ..., F(k2
−1)) deux bases de
l’espace quantique associ´e `a un registre `a 1 symbole, telles que E(0)= F(0) = I
o`u I d´esigne l’op´erateur identit´e. Le poids d’une erreur quantique E agissant sur un registre `a n symboles est identique selon qu’on d´ecompose E sur la premi`ere ou la deuxi`eme base.
D´emonstration. On d´ecompose la premi`ere base sur la deuxi`eme, en ´ecrivant pour tout i ∈ [[0; k2− 1]] : E(i)= k2 −1 X j=0 ai,jF(j) o`u pour tout j ∈ [[0; k2− 1]], a
i,j∈ C. Soit alors E une erreur quantique agissant
sur un registre `a n symboles, et ´ecrivons :
E = X
v∈[[0;k2−1]]n
cvE(v1)⊗ ... ⊗ E(vn)
Alors chaque terme non nul cvE(v1)⊗...⊗E(vn)de la somme se d´ecompose sur la
base (F(0), ..., F(k2
−1))⊗n, en rempla¸cant chaque E(vi)6= I parPk2−1
j=0 avi,jF
(j).
On obtient de la sorte une somme partielle o`u tous les coefficients non nuls
correspondent `a des s´equences v′ qui contiennent au moins autant de 0 que v.
Ainsi, le poids de l’erreur E telle que d´ecompos´ee sur la base (F(0), ..., F(k2
−1))
est inf´erieur ou ´egal au poids obtenu avec la base (E(0), ..., E(k2
−1)).
Par le raisonnement r´eciproque, en ´ecrivant d’abord E dans la deuxi`eme base et en d´ecomposant le r´esultat sur la premi`ere base, on obtient l’´egalit´e des poids issus des deux ´ecritures de E.
Deux exemples de canal quantique sont le canal d´epolarisant et le canal `a effacement. La mani`ere la plus simple de les d´ecrire est la suivante.
D´efinition 2.4.4. Le canal d´epolarisant de probabilit´e d’erreur p est le canal quantique ayant pour famille d’erreurs associ´ee
(p1 − pI,pp/3X , pp/3Y, pp/3Z
o`u I, X , Y, Z sont les quatre erreurs dites de Pauli, donn´ees dans la d´efinition 2.9.1 : I =1 00 1 X =0 11 0 Y =0 −ii 0 Z =10 −10
Le canal d´epolarisant de probabilit´e d’effacement p est un canal quantique dont l’action sur un ´etat |ψi ∈ H2est de le transmettre intact avec probabilit´e 1 − p,
Une d´efinition du canal d´epolarisant est ´egalement possible en termes de famille d’erreurs associ´ee, en consid´erant que ce canal agit non pas sur H2mais
sur un espace quantique plus grand, de dimension au moins 3, g´en´er´e par |0i, |1i et un ´etat |ei. Il est toutefois plus simple de le consid´erer de la mani`ere d´ecrite ci-dessus.