Projection orthogonale

Th´eor`eme 7.2.1. Soient E un espace pr´ehilbertien et A une partie convexe compl`ete non vide de E. Alors, pour tout x de E, il existe un unique point y de A, appel´e projection orthogonale dex sur A tel que d(x, A) =kx−yk.

Ce point est caract´eris´e dansA par la propri´et´e

∀z ∈A <e(hx−y, z−yi)≤0

D´emonstration : Si x ∈A, il est clair que y = x est le seul point de A qui minimise la distance `a x. De plus, on ahx−x, z−xi= 0 pour tout z ∈A. Et si pour un certain y∈A on a <e(hx−y, z−yi) ≤ 0 pour tout z ∈A, on a kx−yk<sup>2</sup> =<e(hx−y, x−yi)≤ 0, d’o`u x=y.

Si, au contraire, x /∈A, on note δ la distance dex `a A. Pour toutn∈N, on pose Cn ={z ∈A:kz−xk² ≤δ²+ 2⁻²ⁿ}

Alors la suite (C_n) est une suite d´ecroissante de ferm´es non vides de l’espace complet A. En vertu du th´eor`eme 4.2.4, il suffit de montrer que le diam`etre deC_n tend vers 0 pour montrer que l’intersection des (C_n) est un singleton{y}.

Soient doncz et w deux points de C_n. Puisque A est convexe, u = z +w

2 appartient aussi

`

a A, d’o`u on d´eduit que kx−uk ≥δ. Et le th´eor`eme 7.1.9 donne alors 2δ²+ 1

2kz−wk² ≤2kx−uk²+ 1

2kz−wk² =kx−zk²+kx−wk²

≤δ²+ 2⁻²ⁿ+δ²+ 2⁻²ⁿ

d’o`u on d´eduit quekz−wk<sup>2</sup> ≤4.2<sup>−2n</sup>, c’est-`a-direkz−wk ≤2¹⁻ⁿ, et enfin quediam(C_n)≤ 2¹⁻ⁿ. Ceci ach`eve de prouver l’existence d’un pointy ∈A tel que T

n∈NC_n ={y}, Le point y est donc le seul point de A tel que kx−yk=d(x, A).

Soit z un point de A. Par convexit´e de A, on a zt := y+t(z −y) ∈ A pour tout t ∈]0,1].

Donc

δ² ≤ kx−z_tk² =hx−y−t(z−y), x−y−t(z−y)i

=kx−yk²+t²kz−yk²−2t<e(hx−y, z−yi)

=δ²+t²kz−yk²−2t<e(hx−y, z−yi)

On en d´eduit que 2<e(hx−y, z−yi)≤tkz−yk², et puisquet peut ˆetre pris arbitrairement petit, on obtient que<e(hx−y, z−yi)≤0.

Si maintenant un point y⁰ de A v´erifie cette relation pour tout z ∈A, on a pour z =y, 0≥ <e(hx−y⁰, y−y⁰i) =<e(hx−y, y−y⁰i) +<e(hy−y⁰, y−y⁰i)

=ky−y⁰k²− <e(hx−y, y⁰−yi)≥ ky−y⁰k²

puisque y est la projection de x sur A. Ceci entraˆıne ky−y⁰k= 0 donc y=y⁰. ¥ D´efinition 7.2.2. Si A est une partie d’un espace pr´ehilbertien E, on appelle orthogonal de A et on note A^⊥ l’ensemble des vecteurs y de E orthogonaux `a tout ´el´ement de A.

Pour tout x ∈ A, x^⊥ = {y : hy, xi = 0} est le noyau de la forme lin´eaire continue (voir le th´eor`eme 7.1.7) : y7→ hy, xi, donc est un sous-espace vectoriel ferm´e de E. Il en r´esulte que

A^⊥ = \

x∈A

x^⊥ est un sous-espace vectoriel ferm´e deA.

Chapitre 7 : Espaces de Hilbert

Th´eor`eme 7.2.3. Si F est un sous-espace vectoriel ferm´e de l’espace hilbertien E, il existe pour tout x de E un unique couple (y, z) avec y ∈ F et z ∈ F^⊥ tel que x = y+z. On a alors kyk ≤ kxk et kzk ≤ kxk.

D´emonstration : Un sous-espace vectoriel ferm´e d’un espace complet est convexe et complet. Il r´esulte donc du th´eor`eme 7.2.1 que pour toutx de E existe un unique y∈F tel que kx−yk=d(x, F). On a alors, pour tout w∈ F, y+w ∈F, y−w ∈F, y+iw ∈F et y−iw∈F donc

<e(hx−y, wi) =<e(hx−y,(y+w)−yi)≤0

− <e(hx−y, wi) =<e(hx−y,(y−w)−yi)≤0

=m(hx−y, wi) =<e(hx−y,(y+iw)−yi)≤0

− =m(hx−y, wi) =<e(hx−y,(y−iw)−yi)≤0

d’o`uhx−y, wi= 0, c’est-`a-dire que z =x−y ∈F^⊥. Puisque y etz sont orthogonaux, on a kxk² =ky+zk² =kyk²+kzk², donckyk ≤ kxk et kzk ≤ kxk.

Enfin, si on a une autre d´ecomposition de x en somme d’un vecteur y⁰ deF et d’un vecteur z⁰ de F^⊥, on a y+z = y⁰ +z⁰, donc y−y⁰ = z⁰ −z. Le vecteur y−y⁰ appartient `a F et z<sup>0</sup> −z ∈ F<sup>⊥</sup>. Donc y−y<sup>0</sup> est orthogonal `a lui-mˆeme, c’est-`a-dire est nul. On conclut que

y=y⁰ et z =z⁰. ¥

Th´eor`eme 7.2.4. SiF est un sous-espace vectoriel ferm´e d’un espace hilbertien,F<sup>⊥⊥</sup> =F. D´emonstration : Puisque tout vecteur de F est orthogonal `a tout vecteur de F^⊥, on a F ⊂F^⊥⊥.

Inversement, si x est un vecteur de F^⊥⊥, x se d´ecompose en y+z, avec y ∈ F et z ∈ F^⊥. Puisquex et y sont orthogonaux `a F<sup>⊥</sup>, z =x−y appartient `aF^⊥ et est orthogonal `a F<sup>⊥</sup>; il est donc orthogonal `a lui-mˆeme, c’est-`a-dire nul. Doncx =y∈F. ¥ Th´eor`eme 7.2.5. Soit X un sous-espace vectoriel de l’espace hilbertien E. Alors X est dense si et seulement si X^⊥ ={0}.

D´emonstration : Si X est dense et si y ∈X^⊥, on a X ⊂ y^⊥. Et puisque y^⊥ est ferm´e, il contient l’adh´erence deX, c’est-`a-dire E; en particulier y ∈y<sup>⊥</sup>, d’o`u y = 0. Ceci montre que X^⊥ ={0}.

Inversement, si X n’est pas dense, son adh´erence est un sous-espace vectoriel ferm´e F distinct de E, et tout vecteur z de F^⊥ appartient `a X<sup>⊥</sup>. Si on avait F<sup>⊥</sup> = {0}, on aurait F =F<sup>⊥⊥</sup> ={0}<sup>⊥</sup> =E, contrairement `a l’hypoth`ese. DoncX<sup>⊥</sup> 6={0}. ¥ Th´eor`eme 7.2.6. SiF est un sous-espace vectoriel ferm´e de l’espace hilbertienE, il existe une unique application lin´eaire continueP de E dans E de norme 1, telle que, pour tout x de E, P(x) appartienne `a F et, pour tout x de F, P(x) =x. Cette application est appel´ee projecteur orthogonal sur F.

D´emonstration : Pour tout x de E, il existe un unique couple (y, z) dans F ×F^⊥ tel que x = y+z. Posons P(x) = y. On a P(x) ∈ F, et si x ∈ F on a y = x et z = 0, donc P(x) =x.

Si x et x⁰ sont deux vecteurs de E, et λ ∈C, si x =y+z et x⁰ =y⁰+z⁰, avec y et y⁰ dans F, z et z⁰ dans F^⊥, on a

x+λx⁰ = (y+λy⁰) + (z+λz⁰)

et puisque y+λy⁰ ∈F et z+λz⁰ ∈F^⊥, on conclut que

P(x+λx⁰) =y+λy⁰ =P(x) +λP(x⁰) donc que P est lin´eaire.

Enfin, si P₁ v´erifie les mˆemes conditions, soient z ∈ F^⊥ et y = P₁(z) ∈ F. Alors, pour tout t ∈ R on a P₁(z + ty) = P₁(z) + tP₁(y) = (1 + t)y. On doit avoir pour tout t, kz+tyk² − kP1(z+ty)k² ≥0. Et

kz+tyk²− kP₁(z+ty)k² =kzk²+t²kyk²−(1 +t)²kyk²

=kzk²−(1 + 2t)kyk²

qui ne peut ˆetre positif pour tout t que si kyk = 0. Il en r´esulte que P₁ est nul sur F^⊥. Et si x=y+z avec y∈F et z ∈F^⊥, on a

P₁(x) =P₁(y) +P₁(z) =P₁(y) =y=P(x)

ce qui montre que P1 co¨ıncide avec P. ¥

Th´eor`eme 7.2.7. (Riesz) Si f est une forme lin´eaire continue sur l’espace de Hilbert E, il existe un unique y ∈ E tel que, pour tout x de E, on ait f(x) = hx, yi. De plus, on a kyk=kfk.

L’application de E dans E⁰ qui `ay associe la forme lin´eaire x7→ hx, yi est un isomorphisme antilin´eaire de E sur E⁰.

D´emonstration : Notons, pour y ∈ E, f_y la forme lin´eaire x 7→ hx, yi. D’apr`es la d´efinition d’un produit scalaire, l’applicationy7→f<sub>y</sub> est antilin´eaire de E dans E<sup>0</sup>. D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a

|f_y(x)|=|hx, yi| ≤ kxk.kyk

d’o`ukf<sub>y</sub>k ≤ kyk. De plus, puisquef<sub>y</sub>(y) =hy, yi=kyk<sup>2</sup>, on a kf<sub>y</sub>k ≥ kyk. D’o`ukf_yk=kyk. Si f_y =f_z, on a f_y−z =f_y −f_z = 0, donc ky−zk=kf_y−zk= 0, c’est-`a-direy =z.

Il reste uniquement `a d´emontrer que toute forme lin´eaire continue f sur E est de la forme f_y pour un certain y. Si f = 0, il est clair que y = 0 convient. Si f 6= 0, le noyau H de f est un hyperplan ferm´e de E. Soit a /∈ H. On pose α = f(a) et si on note b la projection orthogonale de a sur H, le vecteur y = α¯

ka−bk²(a−b) est orthogonal `a H puisque a−b l’est. En particulier,hb, a−bi= 0, donc : ha, a−bi=ha−b, a−bi=ka−bk². De plus,

ha, yi= α

ka−bk²ha, a−bi=α

Il en r´esulte que f_y(a) = f(a). Donc f et f_y co¨ıncident sur a, et sur H puisqu’elles y sont nulles toutes deux. Et puisque tout vecteur de E est somme d’un vecteur de H et d’un multiple de a, f et f_y co¨ıncident sur E, c’est-`a-diref =f_y. ¥

Chapitre 7 : Espaces de Hilbert

Remarque 7.2.8. (espaces de Hilbert r´eels)

Si le corpsKest le corps des r´eels, on peut d´efinir les produits scalaires de mani`ere analogue avec les propri´et´es :

i)hx, yi=hy, xi

ii)hλx, yi=λhx, yi pour λ∈R

Alors les principaux r´esultats sur les espaces de Hilbert (in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, projection sur un convexe ferm´e, d´ecomposition en sous-espaces orthogonaux,. . .) sont conserv´es. En particulier, l’application qui `a un vecteurxassocie la forme lin´eaire :y7→ hx, yi est une isom´etrie surjective de l’espace de Hilbert sur son dual.

8

FONCTIONS D´ ERIVABLES

8.1 Fonctions r´ eelles d´ erivables

D´efinition 8.1.1. Une fonction f d´efinie sur un ouvert U de R et `a valeurs dans R est dite d´erivable en un point x₀ de U si le quotient f(x)−f(x₀)

x−x₀ poss`ede une limite quand x tend versx<sub>0</sub> (par valeurs distinctes de x<sub>0</sub>). La limite est alors appel´ee d´eriv´ee de f en x<sub>0</sub>. La fonctionf est dite d´erivable sur U si elle est d´erivable en tout point de U. Dans ce cas, on appellefonction d´eriv´ee de f la fonction d´efinie sur U qui `a tout point x de U associe la d´eriv´ee de f enx.

Notation 8.1.2. On note usuellement f⁰(x₀) ou df

dx(x₀) la d´eriv´ee de f en x₀.

Plus g´en´eralement on peut d´efinir, quand elles existent, la d´eriv´ee `a droite f<sub>d</sub><sup>0</sup>(x<sub>0</sub>) et la d´eriv´ee `a gauche f_g⁰(x0) d’une fonction f en x0 par

f_d⁰(x₀) = lim

x→x0,x>x0

f(x)−f(x₀) x−x0

et f_g⁰(x₀) = lim

x→x0,x<x0

f(x)−f(x₀) x−x0

Proposition 8.1.3. Toute fonction localement constante est d´erivable, et sa d´eriv´ee est nulle.

Ceci d´ecoule imm´ediatement de la d´efinition, puisque, si f est localement constante, le quotient f(x)−f(x₀)

x−x₀ est nul pour x voisin mais distinct de x₀. ¥ Proposition 8.1.4. Toute fonction affine est d´erivable surR.

Si f(x) =mx+p, on a

f(x)−f(x0) x−x₀ =m

pour x 6= x₀, et il en r´esulte imm´ediatement que f est d´erivable en tout point, et que sa

fonction d´eriv´ee est constante, de valeur m. ¥