Fonctions implicites

Etant donn´e une relation de la forme f(x, y) = 0 entre deux variables x et y, on cherche souvent `a “tirer” l’une des variables en fonction de l’autre. En particulier, si f est une fonction de classe

C

¹, on peut chercher `a exprimer une variable en fonction de classe

C

¹ de l’autre. Il n’y a n´eanmoins aucun espoir d’avoir en g´en´eral une solution globale au probl`eme, comme le montre l’exemple suivant :

Exemple 11.3.1. Soit f :R² →R la fonction d´efinie par f(x, y) =x²+y²−1.

Pour|x|>1, il n’y a aucune valeur deyqui satisfasse l’´equationf(x, y) = 0, et pour|x|<1, il y en a deux. Une fonction ϕ v´erifiant f(x, ϕ(x)) = 0 ne peut donc ˆetre d´efinie que sur [−1,1], et n’est pas unique. De fait, il est ais´e de voir qu’il existe deux solutions continues, la fonction x7→√

1−x² et la fonctionx7→ −√

1−x². De plus, aucune de ces deux solutions n’est d´erivable ni en −1 ni en1.

On va n´eanmoins donner un th´eor`eme qui permet de “tirer” localement y en fonction diff´erentiable dex.

Th´eor`eme 11.3.2. (Th´eor`eme des fonctions implicites) Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E ×F et f une fonction de classe

C

¹ _{de U dans F. Si, pour}

un point (x₀, y₀) de U, on a f(x₀, y₀) = 0 et si la diff´erentielle partielle ∂f

∂y(x₀, y₀) est un

´el´ement inversible de

L

_(F), il existe un voisinage V de x0, un voisinage W de y0, et une fonction ϕ de classe

C

¹ _{de V dans W tels que V ×W ⊂ U, que y0 = ϕ(x0)} et que, pour (x, y)∈V ×W,

f(x, y) = 0 ⇐⇒ y =ϕ(x)

Si, de plus, la fonction f est de classe

C

², il en est de mˆeme de ϕ.

D´emonstration : Soit Ψ l’application `a valeurs dans E×F d´efinie sur U par Ψ(x, y) = (x, f(x, y))

On a alors Ψ(x₀, y₀) = (x₀,0) et la diff´erentielle de Ψ en (x₀, y₀) vaut Ψ⁰(x₀, y₀).(u, v) =

µ u,∂f

∂x(x₀, y₀).u+ ∂f

∂y(x₀, y₀).v

¶

c’est-`a-dire, en notant A= ∂f

∂x(x₀, y₀)∈

L

_{(E, F) et B =} ^∂f

∂y(x₀, y₀)∈

L

_(F),

Ψ⁰(x₀, y₀).(u, v) = (u, A.u+B.v) o`uB est inversible dans

L

_(F), et puisque l’´equation

(u⁰, v⁰) = (u, A.u+B.v) se r´esout en

(u, v) = (u⁰, B⁻¹(v⁰−A.u⁰))

on voit que Ψ⁰(x₀, y₀) est inversible dans

L

_{(E ×F}). On d´eduit alors du th´eor`eme 11.1.3 qu’il existe un voisinage U⁰ de (x₀, y₀) dans U et un voisinage U⁰⁰ de (x₀,0) dans E ×F tels que Ψ soit un diff´eomorphisme deU⁰ sur U⁰⁰. On peut donc trouver un voisinage V₀ de x₀ et un voisinage W de y₀ tels que V₀ ×W ⊂ U⁰. Alors Ψ(V₀ ×W) est ouvert et, pour (x, y)∈V₀×W, on a

f(x, y) = 0 ⇐⇒ Ψ(x, y) = (x,0) ⇐⇒ (x, y) = Ψ⁻¹(x,0) D´esignons parϕ la fonction d´efinie par

Ψ⁻¹(x,0) = (x, ϕ(x)) qui est de classe

C

¹ sur l’ouvert

V ={x : (x,0)∈Ψ(V₀×W)}.

Puisque, pourx∈V, on a (x, ϕ(x))∈V₀×W, on obtient queV ⊂V₀ et queϕ(x)∈W. On en conclut que pour (x, y)∈V ×W, on a

f(x, y) = 0 ⇐⇒ y =ϕ(x)

Si la fonction f est de classe

C

², il en est de mˆeme de Ψ, et donc aussi de Ψ⁻¹ sur U⁰⁰ d’apr`es le th´eor`eme 11.2.2. On en d´eduit alors que ϕ est de classe

C

² _{sur V.}

Ceci ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.

¥ Th´eor`eme 11.3.3. Soient E etF deux espaces de Banach, U un ouvert deE×F etf une fonction de classe

C

¹ _{deU dans F}. Si, pour un point(x₀, y₀)de U, on af(x₀, y₀) = 0et si la diff´erentielle partielle ∂f

∂y(x₀, y₀)est un ´el´ement inversible de

L

_(F), la fonction implicite ϕd´efinie au voisinage de (x₀, y₀) par le th´eor`eme pr´ec´edent a pour diff´erentielle en x₀ :

ϕ⁰(x₀) =− µ∂f

∂y(x₀, y₀)

¶−1

◦∂f

∂x(x₀, y₀)

D´emonstration : On a, pour x voisin de x0, f(x, ϕ(x)) = 0. Il en r´esulte, puisque l’application g : x 7→ f(x, ϕ(x)) est constante au voisinage de x₀ qu’on a g⁰(x₀) = 0, donc :

∂f

∂x(x, ϕ(x)) + ∂f

∂y(x, ϕ(x))◦ϕ⁰(x) = 0 et en particulier, pour x=x₀,

∂f

∂y(x₀, y₀)◦ϕ⁰(x₀) =−∂f

∂x(x₀, y₀)

d’o`u r´esulte imm´ediatement la formule annonc´ee. ¥

Chapitre 11 : Fonctions implicites et inversion locale

Cas de la dimension finie.

Dans le cas o`u E et F sont de dimension finie, donc respectivement isomorphes `aRⁿ et R^p, on obtient en particulier les ´enonc´es suivants :

Th´eor`eme 11.3.4. SoientU un ouvert deR^n+p et f une fonction de classe

C

¹ _{deU dans}

R^p. Si f(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n+p) = 0et si le d´eterminant jacobien D(f₁, f₂, . . . , f_p) D(x_n+1, x_n+2, . . . , x_n+p)

ne s’annule pas en (x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n+p), il existe un voisinage V de (x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n) dans Rⁿ, un voisinage W de (x^∗_n+1, x^∗_n+2, . . . , x^∗_n+p) dans R^p et une fonction ϕ de classe

C

¹ _{de V}

dans W telle que, sur V ×W, l’ensemble {x = (x₁, x₂, . . . , x_n+p) ∈ V ×W : f(x) = 0} co¨ıncide avec le graphe deϕ.

Th´eor`eme 11.3.5. Si U est un ouvert de Rⁿ⁺¹ et f une fonction de classe

C

¹ _de

U dans R, si ∂f

∂x_n+1(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n+1) 6= 0, il existe un voisinage V de (x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n) et une fonction ϕ de classe

C

¹ _{de V dans R} satisfaisant ϕ(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n) = x^∗_n+1, f(x₁, x₂, . . . , x_n, ϕ(x₁, x₂, . . . , x_n)) = 0 et, pour j = 1,2, . . . , n,

∂ϕ

∂x_j(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n) =−

∂f

∂xj

(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n)

∂f

∂xn+1

(x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n)

Corollaire 11.3.6. Soient U un ouvert de R^n+p et f une fonction de classe

C

¹ _{de U}

dans R^p. Si, en un point x^∗ = (x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n+p) de U, la matrice jacobienne J_f de f est de rang p, il existe un voisinage U⁰ de x^∗ dans U, un ouvert V de Rⁿ et une application ψ de classe

C

¹ _{de V dans U}⁰ telle que le rang de ψ⁰ soit ´egal `a n en tout point deV et que ψ(V) =U⁰∩ {x :f(x) = 0}.

D´emonstration: Puisque la matrice jacobienneJf(x^∗) est de rangp, il existe une matrice carr´ee inversible d’ordre p extraite de J_f(x^∗). Quitte `a changer l’ordre des coordonn´ees, on supposera que la matrice carr´ee form´ee des p derni`eres colonnes de Jf(x^∗) est inversible.

Alors, le d´eterminant de cette matrice (p×p) est non nul, c’est-`a-dire que, au point x^∗, D(f₁, f₂, . . . , f_p)

D(xn+1, xn+2, . . . , xn+p) 6= 0

Il r´esulte donc du th´eor`eme pr´ec´edent qu’existent des voisinages respectifs V et W de (x^∗₁, x^∗₂, . . . , x^∗_n) et (x^∗_n+1, x^∗_n+2, . . . , x^∗_n+p) et une fonction ϕ de classe

C

¹ _{de V dans R}^p

dont le graphe co¨ıncide avec l’ensemble (V ×W)∩f⁻¹(0).

On pose alors U⁰ =V ×W et, pour (x₁, x₂, . . . , x_n)∈V,

ψ(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn, ϕ(x1, x2, . . . , xn))

Il est clair, avec ces d´efinitions, que ψ est de classe

C

¹ _{et que ψ(V}) est le graphe de ϕ, c’est-`a-dire (V ×W)∩f⁻¹(0).

De plus, la matrice carr´ee (n×n) form´ee desnpremi`eres lignes de la matrice jacobienneJψ

de ψ est la matrice identit´e. Ceci entraˆıne que J_ψ est de rang au moins n. Et comme ψ est d´efinie sur un ouvert deRⁿ, ce rang est au plus ´egal `a n.

Ceci signifie qu’au voisinage de x^∗ l’ensemble f⁻¹(0) poss`ede une param´etrisation de classe

C

¹ par un ouvert de Rⁿ.

12

OPTIMISATION

Le but de ce chapitre est de r´esoudre des probl`emes du genre suivant : ´etant donn´e un ouvert U d’un espace de Banach, une fonction diff´erentiable f de U dans R et une partie X de U, trouver le maximum (resp. le minimum) de f sur X, c’est-`a-dire trouver un point a de X tel que f(x) ≤ f(a) (resp. f(a) ≤ f(x)) pour tout point x de X et la valeur de f en a. Bien entendu, la recherche des minimums de f sur X est ´equivalente `a la recherche des maximums de−f sur X.

On dira que a est un maximum strict def surX si on a f(x)< f(a) pour tout pointx 6=a de X, un minimum strict de f sur X si on a f(x)> f(a) pour tout point x6=a de X.

On dira enfin quef atteint ena∈X un maximum local (resp. un minimum local) surX, s’il existe un voisinage ouvertV de atel que la restriction `a V def atteigne ena son maximum (resp. son minimum) sur X∩V.

On parlera d’extremum pour d´esigner indiff´eremment un maximum ou un minimum.

12.1 Extremums sur un ouvert

Th´eor`eme 12.1.1. Soient E un espace de Banach, U un ouvert de E et f une fonction diff´erentiable de U dans R. Si f atteint en a un maximum ou un minimum local, la diff´erentielle def s’annule en a.

D´emonstration : Quitte `a remplacer l’ouvert U par un voisinage ouvert de a, on peut supposer que f poss`ede en a un extremum. Et quitte `a remplacer f par −f, on supposera que f ateint en a son maximum sur U.

Alors, pour tout vecteur h de E, la fonction d´erivable g_h d´efinie sur le voisinage ouvert W_h :={t:a+th∈U} de 0 dans R par

g_h(t) =f(a+th)

v´erifie g_h(t) ≤g_h(0) pour tout t de W_h, donc, d’apr`es le th´eor`eme 8.3.1, on a d

dtg_h(0) = 0,

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