Formes diff´erentielles ferm´ees

Th´eor`eme 13.3.1. Soient U un ouvert deC etω une forme diff´erentielle ferm´ee surU. Si Rest un rectangle compact contenu dans U, l’int´egrale R

∂Rω est nulle

D´emonstration : Chaque point z de R poss`ede un voisinage ouvert V<sub>z</sub> contenu dans U sur lequel ω est exacte. D’apr`es le th´eor`eme 3.2.1, il existe un nombre ρ > 0 tel que pour tout w de R le disque D(w, ρ) soit inclus dans l’un des ouverts (V_z)_z∈R; il existe alors un entier n tel que diam(R)

n < ρ. Et si l’on subdivise le rectangle R en les n² rectangles R_j homoth´etiques `a R, d’int´erieurs deux-`a-deux disjoints, obtenus en divisant en n parties ´egales les cˆot´es de R, on voit que chacun d’entre eux est de diam`etre diam(R)

n , donc contenu dans un disque de rayon ρ sur lequel ω est exacte.

R

R_j

On a donc R

∂Rjω = 0. De plus, chacun des cˆot´es des R_j qui n’appartient pas au bord de R apparaˆıt comme ´el´ement du bord de deux rectangles adjacents R_j1 et R_j2 avec des orientations oppos´ees. Il en r´esulte que

Z

∂R

ω= X

1≤j≤n²

Z

∂Rj

ω = 0

¥ Corollaire 13.3.2. Si D est un disque ouvert de C et ω une forme diff´erentielle ferm´ee sur D, alors ω est exacte.

Ceci r´esulte imm´ediatement des deux th´eor`emes pr´ec´edents.

Corollaire 13.3.3. Siω est une forme diff´erentielle sur l’ouvertU de C, alors ω est ferm´ee si et seulement si l’int´egrale deω le long du bord de tout rectangle compact Rcontenu dans U est nulle.

D´emonstration : Si ω est ferm´ee, son int´egrale le long de ∂R est nulle par le th´eor`eme 13.3.1. Inversement, si l’int´egrale de ω le long du bord de tout rectangle compact contenu dans U est nulle, il r´esulte du th´eor`eme 13.2.6 que ω est exacte sur tout disque ouvert D

contenu dansU, donc ferm´ee sur U. ¥

Proposition 13.3.4. Soient R un rectangle compact de C et ω une forme diff´erentielle continue suur R et ferm´ee sur l’int´erieur de R. Alors l’int´egrale de ω le long du bord de R est nulle.

D´emonstration : Notons a le centre de R. Pour t ∈]0,1[, l’image R_t du rectangle R par l’homoth´etie de centre a et de rapport t est contenue dans l’int´erieur de R; on a donc

R

∂Rtω = 0 d’apr`es le th´eor`eme 13.3.1. Et on d´eduit ais´ement de la continuit´e uniforme de ω sur le compact R que R

∂Rω = lim_t→1R

∂Rtω = 0. ¥

Corollaire 13.3.5. Si ω est une forme diff´erentielle sur l’ouvert U de C, a un point de U et si ω est ferm´ee sur U \ {a}, alors ω est ferm´ee sur U.

D´emonstration: Il suffit de montrer que l’int´egrale deω le long du bord de tout rectangle compact R contenu dans U est nulle. Si a n’appartient pas `a R, ceci r´esulte du th´eor`eme 13.3.1, puisque alors R est inclus dans U \ {a}. Si a appartient au bord de R, ceci r´esulte du th´eor`eme pr´ec´edent.

Enfin, sia est int´erieur `a R, on peut partager R en deux rectangles adjacentsR<sub>1</sub> etR<sub>2</sub> par une parall`ele `a un cˆot´e men´ee par le point a.

a R

R₁ R₂

Il r´esulte de ce qui pr´ec`ede queR

∂R1ω =R d´efinis sur[a, b]et `a valeursU, ayant mˆemes extr´emit´es, etω une forme diff´erentielle ferm´ee sur U. On suppose que contenu enti`erement dans D_t. D’apr`es le corollaire 13.3.2, ω est exacte sur D_t. Il en r´esulte que R

Chapitre 13 : Fonctions holomorphes

γ₀ γ₁

I_t β I_s γ₀(t) γ₀(s) γ₁(t) γ₁(s)

on voit que Φ(s) = Φ(t) si|s−t|< ε, c’est-`a-dire que Φ est localement constante sur [a, b]. Et comme [a, b] est connexe, Φ est constante sur [a, b]. DoncR

γ0ω−R

γ1ω= Φ(b) = Φ(a) = 0. ¥ Lemme 13.3.7. Soient γ : [a, b] → C un arc continu et ρ > 0. Il existe alors un arc γ₁ : [a, b] → C de classe

C

¹ par morceaux ayant mˆemes extr´emit´es que γ et tel que kγ₁−γk< ρ.

D´emonstration : La fonction γ est uniform´ement continue sur [a, b]. Il existe donc un entier m tel que

|s−t|< b−a

m =⇒ |γ(s)−γ(t)|< ρ/2 On posera alorst_j =a+ j

m(b−a) pour 0≤j ≤m. Siγ₁ est la fonction : [a, b]→Ctelle que γ₁(t_j) =γ(t_j) pour 0 ≤j ≤m et qui est affine sur chaque [t_j, t_j+1], γ₁ a mˆemes extr´emit´es que γ. De plus, si t_j ≤t≤t_j+1,

|γ₁(t)−γ(t)| ≤ |γ₁(t)−γ(t_j)|+|γ(t_j)−γ(t)| ≤ t−t_j

t_j+1−t_j |γ(t_j+1)−γ(t_j)|+|γ(t_j)−γ(t)|

< ρ/2 +ρ/2 =ρ

Donckγ₁−γk< ρ. ¥

Th´eor`eme 13.3.8. Soient U un ouvert deC,ωune forme ferm´ee surU etγ : [a, b]→U un arc continu. Il existe un nombreA ∈C, qu’on noteraR

γω, tel que, pour tout arc γ₂ de classe

C

¹ par morceaux v´erifiant γ2(a) =γ(a), γ2(b) =γ(b) et kγ2−γk<inf_t∈[a,b]d(γ(t), U^c) on aitR

γ2ω =A.

D´emonstration : On a δ := inf_t∈[a,b]d(γ(t), U^c) > 0. Il existe, d’apr`es le lemme pr´ec´edent, un arc γ₁ de classe

C

¹ par morceaux, ayant mˆemes extr´emit´es que γ et satisfaisant kγ1−γk < δ

3, et on pose A := R

γ1ω. Si γ₁^∗ est un autre arc de classe

C

¹

par morceaux ayant mˆemes extr´emit´es que γ et satisfaisant kγ₁^∗ −γk < δ

3, on aura pour toutt ∈[a, b],

d(γ₁(t), U^c)≥d(γ(t), U^c)− |γ₁(t)−γ(t)| ≥δ− kγ₁−γk> δ− δ 3 = 2δ

3

et kγ₁^∗−γ₁k ≤ kγ₁^∗ −γk+kγ₁−γk < 2δ

3, donc R

γ1ω = R

γ₁^∗ω, d’apr`es le lemme 13.3.6.

Si maintenant γ2 est un arc de classe

C

¹ par morceaux ayant mˆemes extr´emit´es que γ et satisfaisant kγ₂−γk< δ, on peut trouver d’apr`es le lemme pr´ec´edent un arc γ₁^∗, de classe

On en d´eduit, par le lemme 13.3.6, que R

γ2ω =R

γ^∗₁ ω =A. ¥

Th´eor`eme 13.3.9. Soient U un ouvert de C, ω une forme diff´erentielle ferm´ee sur U, γ et γ₀ deux arcs continus : [a, b] → U ayant mˆemes extr´emit´es et satisfaisant kγ₀−γk < homotopes s’ils ont mˆeme origine et mˆeme extr´emit´e et s’il existe une application continue h, appel´ee homotopie, de [a, b]×[0,1] dans U telle que

∀t ∈[a, b] h(t,0) =γ₀(t) et h(t,1) =γ₁(t)

∀s ∈[0,1] h(a, s) =γ₀(a) =γ₁(a) et h(b, s) =γ₀(b) =γ₁(b) On v´erifie que ceci d´efinit une relation d’´equivalence sur les arcs :[a, b]→U.

D´efinition 13.4.2. Un ouvert U de C est dit simplement connexe s’il est connexe et si deux arcs `a valeurs dans U de mˆemes extr´emit´es sont toujours homotopes dans U.

Proposition 13.4.3. Un ouvert convexe de C est simplement connexe.

D´emonstration : On sait d´ej`a qu’une partie convexe est connexe. Si γ₀ et γ₁ sont deux arcs de mˆemes extr´emit´es, et si on pose, pour 0≤t ≤1 et a≤s≤b,

h(t, s) =sγ₁(t) + (1−s)γ₀(t)

on v´erifie sans peine que h est une homotopie entre γ₀ et γ₁. ¥

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