Conditions du second ordre

Th´eor`eme 12.3.1. Soient U un ouvert de l’espace de BanachE etf une fonction de classe

C

² _{de U dans R. Si f} atteint en un point a un minimum local (resp. un maximum local), on a, pour tout h de E : f⁰⁰(a).(h, h)≥0 (resp. f⁰⁰(a).(h, h)≤0).

D´emonstration : Supposons que f atteigne en a un minimum local. On sait d´ej`a que a est un point critique def. Soith ∈E. On a, pourt r´eel assez voisin de 0,f(a+t.h)≥f(a).

D’apr`es la formule de Taylor (th´eor`eme 8.8.2), appliqu´ee `a la fonction g : t 7→ f(a+t.h)), on a

g(t) =g(0) +tg⁰(0) + t²

2g⁰⁰(0) +o(t²) donc, puisque g⁰(0) =f⁰(a).h et g⁰⁰(0) =f⁰⁰(a).(h, h),

0≤ 2 t²

³f(a+t.h)−f(a)´

= 2 t²

³t²

2f⁰⁰(a).(h, h) +o(t²)´

=f⁰⁰(a).(h, h) +o(1) ce qui donne, en passant `a la limite quand t tend vers 0 : f⁰⁰(a).(h, h)≥0.

Dans le cas d’un maximum local, on se ram`ene au cas pr´ec´edent en rempla¸cantf par−f. ¥ D´efinition 12.3.2. Soient U un ouvert de l’espace de Banach E et f une fonction de classe

C

² _{de U dans} R. On appelle col ou point-selle un point critique a de f tel que f prend, dans tout voisinage de a, des valeurs strictement sup´erieures `a f(a) et des valeurs strictement inf´erieures `a f(a).

Il r´esulte du th´eor`eme pr´ec´edent qu’en un point o`u la forme quadratique h 7→ f⁰⁰(a).(h, h) prend sur E des valeurs strictement positives et des valeurs strictement n´egatives, f ne poss`ede ni maximum local ni minimum local. Un tel point est donc un col.

N´eanmoins, l’exemple de la fonction f : (x, y) 7→ x² − y⁴ de R² dans R, qui poss`ede en (0,0) un point critique o`u la matrice hessienne H =

µ2 0 0 0

¶

est positive, mais qui v´erifie f(0, y)<0 pour touty6= 0, montre qu’on peut avoir un col sans que la condition pr´ec´edente soit v´erifi´ee.

Conditions suffisantes.

A l’exception du cas des fonctions convexes, qui atteignent leur minimum en tout point cri-tique, les conditions que nous avons obtenues jusqu’`a pr´esent sont des conditions n´ecessaires mais pas suffisantes. Nous allons chercher maintenant des conditions suffisantes pour qu’un point critique def soit un maximum ou un minimum def. Ces conditions porteront sur la diff´erentielle seconde de f, que nous sommes donc conduits `a supposer de classe

C

²_.

Th´eor`eme 12.3.3. Soient U un ouvert de l’espace de BanachE etf une fonction de classe

C

² _{de U dans R. Si a} est un point critique de f et s’il existe un δ >0 tel que f⁰⁰(a).(h, h)≥δkhk²

pour tout h de E, la fonction f atteint en a un minimum local strict.

D´emonstration : Puisque f⁰⁰ est continue, il existe unr >0 tel que la bouleB(a, r) soit contenue dansU et que kf⁰⁰(x)−f⁰⁰(a)k< δ

2

Chapitre 12 : Optimisation

La fonction g:x7→f(x)− 1

2f⁰⁰(a).(x−a, x−a)) v´erifie alors g⁰(x).h=f⁰(x).h−f⁰⁰(a)((x−a), h),

d’o`u g⁰(a) = f⁰(a) = 0 et g⁰⁰(x).(h, k) = f⁰⁰(x).(h, k) − f⁰⁰(a).(h, k). On en d´eduit que kg⁰⁰x)k ≤ δ

2, donc, en vertu de la formule de Taylor (th´eor`eme 10.5.1),

|g(x0)−g(a)−g⁰(a).(x0−a)| ≤ 1 2 sup

x∈B(a,r)|g⁰⁰(x).((x0−a),(x0−a))|

≤ 1

2kx₀−ak² sup

x∈B(a,r)kg⁰⁰(x)k pour x₀ ∈B(a, r), c’est-`a-dire

¯¯

¯¯f(x₀)−f(a)− 1

2f⁰⁰(a).((x₀−a),(x₀−a))

¯¯

¯¯≤ δ

4kx₀−ak² ou encore

f(x₀)≥f(a) + 1

2f⁰⁰(a).((x₀−a),(x₀−a))− δ

4kx₀−ak² ≥f(a) + δ

4kx₀−ak² ce qui montre que f(x₀)> f(a) pour tout pointx₀ de B(a, r) distinct de a :f atteint donc

en a un minimum local strict. ¥

On pouvait aussi remarquer que la fonctionf est strictement convexe sur B(a, r), donc est minimum au seul pointa o`u elle est critique.

Remarque 12.3.4. La condition ci-dessus entraˆıne que l’espace E est isomorphe `a un espace hilbertien r´eel.

D´emonstration : On a, en effet,

δkhk² ≤f⁰⁰(a).(h, h)≤ kf⁰⁰(a)k khk²

Alors l’application (h, k) 7→ hh, ki = f⁰⁰(a).(h, k) est bilin´eaire sym´etrique et v´erifie hh, hi ≥δkhk² >0 pour h 6= 0. C’est donc un produit scalaire et la norme pr´ehilbertienne

|||.|||associ´ee v´erifie

δkhk² ≤ |||h|||² ≤ kf⁰⁰(a)k.khk²

ce qui montre que les normes k.k et |||.||| sont ´equivalentes, et E est complet pour la norme pr´ehilbertienne |||.|||, puisqu’il l’est pour la norme initiale k.k. ¥

Dans le cas o`u E est de dimension finie, on a l’´enonc´e suivant :

Th´eor`eme 12.3.5. Soient U un ouvert de l’espace de dimension finie E et f une fonction de classe

C

² _{de U dans R. Si a} est un point critique de f et si f⁰⁰(a).(h, h) >0 pour tout h non nul de E, la fonction f atteint en a un minimum local strict.

D´emonstration : Soit S la sph`ere unit´e de E, qui est compacte. Puisque l’application q : h 7→ f⁰⁰(a).(h, h) est continue de E dans R, elle atteint sur S sa borne inf´erieure δ, qui est strictement positive puisque q est strictement positive sur S. Alors, pour h 6= 0 on a

1

Corollaire 12.3.6. Soient U un ouvert de l’espaceRⁿ et f une fonction de classe

C

² _de

U dansR. Siaest un point critique def et si la matrice hessienneHf(a)est d´efinie positive, la fonction f atteint en a un minimum local strict.

D´emonstration : Il r´esulte du th´eor`eme 10.4.5 que, si (h₁, h₂, . . . , h_n) sont les

quantit´e qui est strictement positive pour h 6= 0, par l’hypoth`ese que H<sub>f</sub>(a) est d´efinie positive. Et ceci ach`eve la d´emonstration, compte tenu du th´eor`eme pr´ec´edent. ¥ Lemme 12.3.7. Soit A= (a<sub>i,j</sub>) une matrice sym´etrique r´eelle (n×n). Alors A est d´efinie positive si et seulement si, pour toutp= 1,2, . . . , n le d´eterminant donc ramen´e `a montrer que le d´eterminant de A est strictement positif. Et puisqu’il existe, si A est d´efinie positive, une base orthonorm´ee form´ee de vecteurs propres, le d´eterminant deA est ´egal au produit des valeurs propres, qui sont toutes r´eelles et strictement positives.

Doncdet(A)>0. Et ceci montre la positivit´e des ∆p.

Inversement, si les ∆_p sont tous strictement positifs, on construit par r´ecurrence une suite (a_p) de vecteurs de Rⁿ et une suite (ρ_j) de r´eels telles que :

i) a_p−e_p est combinaison lin´eaire des a_j pour j < p : a_p =e_p −Pp−1 j=1α_p,ja_j

Chapitre 12 : Optimisation

ii) les a_j sont deux-`a-deux orthogonaux pour le produit scalaire d´efini par A. :

ta_jAa_k = 0 pour j 6=k.

ρ_j . On doit alors montrer queρp >0 pour poursuivre la construction.

Mais la matrice T_p de (a₁, a₂, . . . , a_p) dans la base (e₁, e₂, . . . , e_p) est triangulaire : elle comporte des 1 sur la diagonale et des 0 au-dessous de la diagonale. Le produit scalaire sur R^p associ´e `a A s’exprime donc dans la nouvelle base par A<sup>0</sup><sub>p</sub> =<sup>t</sup>T<sub>p</sub>A<sub>p</sub>T<sub>p</sub>. Et puisque les vecteursa<sub>j</sub> sont deux-`a-deux orthogonaux, cette matrice A⁰_p s’´ecrit :

A⁰ =

Et puisque la matrice A⁰_n est une matrice diagonale `a termes strictement positifs, elle est d´efinie positive, et la matriceA=An =^t(Tn)⁻¹A⁰_n(Tp)⁻¹ est elle aussi d´efinie positive. ¥ Corollaire 12.3.8. Soient U un ouvert de l’espace Rⁿ et f une fonction de classe

C

² _de

U dans R. Si a est un point critique de f et si les d´eterminants

∆p =

sont strictement positifs pour1≤p≤n, la fonctionf atteint ena un minimum local strict.

D´emonstration: Ceci r´esulte imm´ediatement du lemme 12.3.7 et du corollaire 12.3.6. ¥

En particulier, si n= 2, les conditions pr´ec´edentes deviennent

Application 12.3.9. D´eterminer les extremums locaux de la fonction d´efinie sur R² par : f(x, y) =x⁴+y⁴−y³+x²−2y²−6x+ 3y

Les d´eriv´ees partielles premi`eres de f valent :

 croissante, donc prend la valeur 6 au plus une fois ; et comme on a clairementp(1) = 6, tout point critique def poss`ede une abscisse ´egale `a 1. De plus 4y³−3y²−4y+3 = (y²−1)(4y−3).

On en d´eduit l’existence de trois points critiques : (1,−1), (1,3

4) et (1,1).

Les d´eriv´ees partielles secondes de f valent :



−3, puisque H_f est d´efinie positive en ces points, et que (1,3

4) est un col pour f.

Il est ais´e de v´erifier que

−y³+x³−2y²−6x+ 3y=o(x⁴+y⁴)

quand k(x, y)k → ∞, donc de voir que lim_{k(x,y)k→∞}f(x, y) = +∞. Il en r´esulte que l’ensemble {(x, y) :f(x, y)≤0} est un compact, sur lequel f atteint son minimum. Donc f atteint son minimum en un point deR². Ce point est alors l’un des points critiques trouv´es plus haut. C’est donc le point (1,−1), o`u f vaut −7, qui est le point de minimum global de f sur R².

Chapitre 12 : Optimisation

13

FONCTIONS HOLOMORPHES

Avant de d´efinir la notion de fonction holomorphe, nous allons faire quelques rappels sur la notion d’int´egrale curviligne et la notion de s´erie enti`ere. Pour la plupart, les r´esultats

´enonc´es sont suppos´es connus et ne seront pas red´emontr´es.

Dans toute la suite, on noteraD(z, r) (resp. ˜D(z, r)) le disque ouvert (resp. ferm´e) de centre z et de rayonr du plan complexeC. On notera ´egalementD(r) (resp. ˜D(r)) le disque ouvert (resp. ferm´e) de centre 0 et de rayonr.

13.1 Formes diff´ erentielles

D´efinition 13.1.1. Uneforme diff´erentiellesur l’ouvertU deCest une application continue ω de U dans l’espace

L

_R(C,C) des applications R-lin´eaires de C dans C.

Si f est une fonction de classe

C

¹_{, on note df} l’application qui `a z ∈ U associe f⁰(z) ∈

L

_R(C,C). Une forme diff´erentielle ω est dite exacte s’il existe une fonction f de classe

C

¹, appel´ee alors primitive de ω, telle que ω =df.

Si on notex,y,z, ¯z, les fonctions qui `az =x+iy associent respectivement sa partie r´eelle, sa partie imaginaire, lui-mˆeme et son conjugu´e, et si ω est une forme diff´erentielle, on a, en notant P et Q les fonctions continues P :z 7→ω(z).1 et Q:z 7→ω(z).i,

ω =P dx+Q dy = P −iQ

2 dz+ P +iQ 2 dz¯ En particulier, si f est de classe

C

¹

df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂y dy = 1 2(∂f

∂x −i∂f

∂y)dz+ 1 2(∂f

∂x +i∂f

∂y)dz¯ On convient donc de noter

∂f

∂z = 1 2(∂f

∂x −i∂f

∂y) et ∂f

∂z¯ = 1 2(∂f

∂x +i∂f

∂y) et on adf = ∂f

∂z dz+ ∂f

∂z¯d¯z.

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