Chapitre 15 Ensembles d´enombrables
15.2 D´enombrabilit´e
D´efinition 15.2.1. Un ensembleE est ditd´enombrables’il est en bijection avec une partie de l’ensemble N des entiers.
Il est clairement ´equivalent de d´efinir un ensemble E comme d´enombrable s’il existe une injection deE dans N. En effet, sij est une injection de E dansN, j est une bijection de E sur j(E)⊂N.
Th´eor`eme 15.2.2. Si E est d´enombrable et infini, il est en bijection avec N.
D´emonstration : Il suffit de montrer qu’une partie A infinie de N est en bijection avec N. On d´efinit pour cela par r´ecurrence pour tout entier n un entier an ∈A par
a0 = min(A)
an+1 = min{m∈A:m > an}
PuisqueA est infini, l’ensemble {m∈A:m > an} est non vide pour toutn et l’entier an+1 bien d´efini. Alors la fonctionf deN dansAd´efinie parf(n) =an est strictement croissante, donc injective. De plus, si f n’´etait pas surjective, l’ensemble A\f(N) poss`ederait un plus petit ´el´ementb > a0, et puisque f(b)≥b, l’ensemble non vide{n:f(n)≥b}poss`ederait un plus petit ´el´ementp >0. Alors on aurait p=q+ 1, aq < b et
min{a∈A :a > aq}=aq+1 =ap > b
bien que b∈ {a ∈A:a > aq}. Cette contradiction ach`eve la d´emonstration. ¥ Th´eor`eme 15.2.3. Un ensemble non videE est d´enombrable si et seulement s’il existe une surjection de N sur E.
D´emonstration : Supposons d’abord qu’il existe une surjection g de N sur E. Alors, pour toutx∈E, l’ensembleg−1(x) est une partie non vide deN, donc poss`ede un plus petit
´el´ement f(x). Alors la fonction f :E →N est clairement injective puisque si f(x) = f(y), on ax =g(f(x)) =g(f(y)) =y. Et ceci montre que E est d´enombrable.
Inversement, siE est non vide et d´enombrable, on peut choisir une injection j deE dans N et un ´el´ement x∗ de E. Alors la fonction g d´efinie sur N par
g(n) =
½j−1(n) si n∈j(E) x∗ si n /∈j(E)
est une surjection de N sur E. ¥
Corollaire 15.2.4. Soient E et F deux ensembles, et f une surjection de E sur F. Si E est un ensemble d´enombrable, F est d´enombrable.
D´emonstration : Si E est vide, F aussi est vide, donc d´enombrable. Sinon il existe une surjection g de N sur E, et f◦g est alors une surjection de N sur F. ¥ Th´eor`eme 15.2.5. L’ensemble N×N est d´enombrable.
D´emonstration : L’application ϕ deN×N dans N d´efinie par ϕ(n, k) = (2n+ 1).2k−1
est une bijection puisque tout nombre entier non nul se d´ecompose de fa¸con unique en
produit d’un nombre impair et d’une puissance de 2. ¥
Corollaire 15.2.6. Le produit de deux ensembles d´enombrables est d´enombrable.
D´emonstration : Soient E et F deux ensembles d´enombrables, f etg des surjections de N sur E et F respectivement. Alors l’applicationf ×g d´efinie sur N×N par
(f ×g)(n, k) = (f(n), g(k))
est surjective surE×F, ce qui montre que E×F est d´enombrable puisqueN×Nl’est. ¥ Corollaire 15.2.7. L’ensemble Z des entiers relatifs et l’ensemble Q des rationnels sont d´enombrables.
D´emonstration : La fonction f d´efinie sur Z par
f(n) =n2n si n≥0
−2n−1 si n <0 est bijective de Z sur N. DoncZ est d´enombrable.
L’ensemble N∗ des entiers strictement positifs est une partie de N donc est d´enombrable, ainsi que le produitZ×N∗ et l’image de ce dernier par l’application (n, p)7→ n
p. Ceci montre
que l’ensembleQ est d´enombrable. ¥
Th´eor`eme 15.2.8. Pour tout entier k ≥1, l’ensemble Nk est d´enombrable.
D´emonstration : Ceci se v´erifie par r´ecurrence. C’est vrai, par d´efinition, si k= 1. Et si Nk est d´enombrable, Nk+1 est le produit de Nk et de N, donc est d´enombrable. ¥ Th´eor`eme 15.2.9. Si(Ej)j∈Dest une famille d´enombrable d’ensembles d´enombrables, leur r´eunionE =S
j∈DEj est d´enombrable.
D´emonstration : Puisque D est d´enombrable, il existe une surjection ϕde N sur D. Et puisque Ej est d´enombrable pour tout j ∈D, il existe pour tout n une surjection fn de N sur Eϕ(n). On peut alors d´efinir l’application g sur N×N par : g(n, k) = fn(k). Et on a clairement
g(N×N) = [
j∈D
Ej =E
ce qui montre que E est d´enombrable. ¥
Chapitre 15 : Ensembles d´enombrables
c0 . . . 47
norme de la convergence uniforme . . . . 47
normes ´equivalentes . . . 43
o(f) . . . 77
O(f) . . . 77
ordre d’un pˆole . . . 150
orthogonal . . . 58
ouvert . . . 6
partout dense . . . 8
point adh´erent . . . 8
point critique . . . 118
point d’accumulation . . . 11
point isol´e . . . 7
point r´egulier . . . 149
point singulier essentiel . . . 149
point-selle . . . 123
pˆole . . . 149
pr´ecompact . . . 24
pr´ehilbertien . . . 58
primitives . . . 73
produit d’espaces topologiques . . . 9
produit scalaire . . . 57
projecteur orthogonal . . . 62
projection orthogonale sur un convexe . 60 propri´et´e de la borne sup´erieure . . . 3
rayon de convergence . . . 136
recouvrement . . . 21
recouvrement ouvert . . . 21
relativement compact . . . 22
r´esidu . . . 151
s´eparable . . . 18
s´epar´e . . . 7
s´erie d´eriv´ee . . . 136
s´erie normalement convergente . . . 44
simplement connexe . . . 135
sous-espace orthogonal . . . 61
sous-espace topologique . . . 9
sous-recouvrement . . . 21
sous-suite . . . 11
suite convergente . . . 11
suite de Cauchy . . . 31
suite extraite . . . 11
th´eor`eme de Rolle . . . 68
th´eor`eme de sym´etrie de Schwarz . . . . 103
th´eor`eme des accroissements finis . . . 68
topologie . . . 7
uniform´ement continue . . . 18
univalente . . . 160
valeur d’adh´erence . . . 11
voisinage . . . 8
Chapitre 1 La droite r´eelle
1.1 Densit´e des rationnels ... 3
Chapitre 2 Topologie des espaces m´etrisables 2.1 Distances ... 5
2.2 Ouverts ... 6
2.3 Espaces topologiques ... 7
2.4 Int´erieur et adh´erence ... 8
2.5 Sous-espaces et produits ... 9
2.6 Suites convergentes ... 11
2.7 Applications continues ... 12
2.8 Hom´eomorphismes ... 16
2.9 Continuit´e uniforme ... 18
2.10 Espaces m´etriques s´eparables ... 18
Chapitre 3 Espaces compacts 3.1 La propri´et´e de Borel-Lebesgue ... 21
3.2 Compacts m´etrisables ... 23
3.3 Produit de compacts m´etrisables ... 25
3.4 Parties compactes de la droite r´eelle ... 25
3.5 Fonctions continues sur un compact ... 26
3.6 Espaces localement compacts ... 28
Chapitre 4 Espaces complets 4.1 Suites de Cauchy ... 31
4.2 Compl´etude ... 32
4.3 Compacit´e et compl´etude ... 34
4.4 Prolongement d’une application uniform´ement continue ... 35
4.5 Points fixes des contractions ... 36
Chapitre 5 Espaces connexes 5.1 Connexit´e ... 37
5.2 Compacts connexes ... 39
5.3 Espaces localement connexes ... 41
Chapitre 6 Espaces norm´es 6.1 Normes ... 43
6.2 Espaces norm´es de dimension finie ... 45
6.3 Exemples d’espaces norm´es ... 47
6.4 Applications lin´eaires continues ... 48
6.5 Applications bilin´eaires continues. ... 52
6.6 Perturbations lipschitziennes de l’identit´e. ... 53
6.7 Le th´eor`eme de Hahn-Banach ... 54
Chapitre 7 Espaces de Hilbert
7.1 Produit scalaire ... 57
7.2 Projection orthogonale ... 60
Chapitre 8 Fonctions d´erivables 8.1 Fonctions r´eelles d´erivables ... 65
8.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables ... 66
8.3 Extremums ... 67
8.4 Le th´eor`eme des accroissements finis ... 68
8.5 Fonctions d´erivables `a valeurs dans un espace de Banach ... 70
8.6 In´egalit´e des accroissements finis ... 71
8.7 Primitives ... 73
8.8 Formule de Taylor ... 74
Chapitre 9 Fonctions diff´erentiables 9.1 Notations de Landau ... 77
9.2 Diff´erentiabilit´e ... 79
9.3 Op´erations sur les fonctions diff´erentiables ... 81
9.4 Op´erations sur les fonctions de classe
C
1 ... 839.5 Le th´eor`eme des accroissements finis ... 84
9.6 Limites de fonctions diff´erentiables ... 86
9.7 Fonctions `a valeurs dans un espace de dimension finie ... 88
9.8 Fonctions diff´erentiables sur un produit ... 89
9.9 Applications bilin´eaires continues. ... 91
9.10 Fonctions d´efinies sur un espace de dimension finie. ... 92
9.11 Matrice jacobienne ... 94
Chapitre 10 Diff´erentielles du second ordre 10.1 Diff´erentielle seconde ... 97
10.2 Op´erations sur les fonctions de classe
C
2 ... 9810.3 D´eriv´ees partielles secondes ... 99
10.4 Le th´eor`eme de sym´etrie de Schwarz ...100
10.5 Formule de Taylor ...103
10.6 Fonctions convexes ...105
Chapitre 11 Fonctions implicites et inversion locale 11.1 Diff´eomorphismes ...109
11.2 Second ordre ...112
11.3 Fonctions implicites ...114
Chapitre 12 Optimisation 12.1 Extremums sur un ouvert ...117
12.2 Extremums li´es ...120
12.3 Conditions du second ordre ...123
Chapitre 13 Fonctions holomorphes 13.1 Formes diff´erentielles ...129
13.2 Int´egrales curvilignes ...130
13.3 Formes diff´erentielles ferm´ees ...132
13.4 Ouverts simplement connexes ...135
13.6 Fonctions holomorphes ...138
13.7 Exponentielle ...139
13.8 Indice par rapport `a un lacet ...141
13.9 Holomorphie et analyticit´e ...142
13.10 In´egalit´es de Cauchy ...146
13.11 Limites de fonctions holomorphes ...147
13.12 Logarithme d’une fonction ...147
Chapitre 14 Le th´eor`eme des r´esidus 14.1 Singularit´es isol´ees ...149
14.2 Fonctions m´eromorphes ...151
14.3 Le th´eor`eme des r´esidus ...152
14.4 Calculs d’int´egrales ...154
14.5 D´eriv´ee logarithmique ...158
Chapitre 15 Ensembles d´enombrables 15.1 L’ensemble des entiers ...161
15.2 D´enombrabilit´e ...162