Processus d'initialisation de spin

Si l'on souhaite initialiser l'état de spin et favoriser p⇑, il est crucial d'introduire un dés-équilibre entre x⇑ et x⇓ (voir Eq. 2.98). On peut favoriser un état de spin en excitant préfé-rentiellement une transition (x⇑ 6= x_⇓) via une polarisation circulaire mais à la condition que

Ȧ

^

ı- _ı^+

L L

^

ı- _ı^+

R R

ƚĂƚƉŽŵƉĠ

ŽƉƚŝƋƵĞŵĞŶƚ

Figure 2.18.  Représentation du phénomène de pompage optique de spin dans la boîte quantique. La pompe polarisée circulairement droit excite la transition |⇓i → |⇓⇑↓i. L'émission spontanée peut relaxer le système dans l'état |⇓i ou un retournement de spin peut changer l'état de spin du trion |⇓⇑↓i → |⇑⇓↑i. Une fois dans l'état |⇑⇓↑i, le système a de forte chance de se relaxer dans l'état |⇑i. Cette état ne peut pas être excité par la pompe polarisée circu-lairement gauche et le temps de retournement de spin étant beaucoup plus long que tous les temps caractéristiques des transitions, on néglige les transi-tions de retournement de spin dans les niveaux fondamentaux. En pompant en polarisation circulaire |Ri. on pompe l'état de spin |⇑i. En pompant en polarisation circulaire gauche |Li., c'est l'état |⇓i qui est initialisé.

2.5. Modélisation d'une boîte quantique chargée en microcavité avec uctuations de spin  6= 1, c'est à dire, γg

sf 6= γt

sf. Or, en absence de champ magnétique, les trous sont notamment moins sensibles à l'interaction avec les spins nucléaires que les électrons, et auront un taux de retournement de spin plus faible [169]. Cette diérence de temps de vie avait d'ailleurs permis à Gérardot et al.[21], dans le groupe de R. Warburton, de démontrer le pompage op-tique d'un spin de trou en absence de champ magnéop-tique. Le principe de ce pompage opop-tique du spin est illustré sur la gure 2.18 : Il consiste à exciter une transition optique avec une polarisation circulaire. Plusieurs cycles d'excitation ont lieu jusqu'au renversement de l'état du spin de l'électron qui mène au niveau fondamental non excité par émission spontanée. Comme le temps de vie du trou est plus grand que le temps de vie de l'electron (γg

sf << γt sf soit  << 1), l'état de spin reste initialisé dans l'état fondamental non excité. La démonstra-tion du phénomène de pompage dans l'article de Gerardot et al a été caractérisée par une absence de signal d'absorption lorsque la polarisation est circulaire. En polarisation linéaire, le signal d'absorption de la boîte réapparaît (voir chapitre 1 pour plus de détails).

Pour étudier ce processus plus en détail, on se place donc maintenant dans le cas où la polarisation incidente est circulaire droite (|Ri) et nous avons donc |bin

L|² = 0impliquant que n_L= 0 donc x⇑ = 0. L'expression de l'ecacité de polarisation devient alors :

P = ^{(1 − )x⇓}

4 + (1 + 3)x⇓ (2.101)

Dans la limite basse puissance, nous considérons x⇓ = 0 et nous retrouvons l'équilibre thermodynamique du système avec P = 0. A haute puissance, x⇓ >> 1 et l'ecacité de polarisation tend alors vers P → 1−

1+3. On peut alors distinguer trois cas particuliers : - Si  = 1, c'est à dire γt

sf = γ_sf^g , nous avons γ⇑→⇓ = γ⇓→⇑, se traduisant par p⇑ = p⇓ et P = 0 quel que soit les valeurs de x⇑ et x⇓. Les deux branches sont également occupées.

- Si  >> 1, c'est à dire γg

sf >> γt

sf, nous avons P → −0.33 soit 2p⇑ = p⇓. La branche ⇓ est deux fois plus occupée que la branche ⇑ car lorsque la boîte quantique est excité dans l'état |⇓⇑↓i, le système ne peut rester que dans la branche ⇓.

- Si  << 1, c'est à dire γg

sf << γ_sf^t , nous avons également P → 1 soit p⇑ = 1 démontrant une polarisation totale du spin. L'état de spin est alors initialisé dans l'état |⇑i [21].

Lorsque  << 1, il est possible d'initialiser l'état de spin et nous allons étudier ici la ré-ectivité en polarisation circulaire en fonction de la puissance incidente et du paramètre  = ^γ

g sf

γt

sf, pour comprendre théoriquement le phénomène de pompage de spin. Pour es-timer la réectivité pour n'importe quelle puissance, il faut eses-timer x⇓ par convergence (voir section 2.3.5). D'après les équations de la section 2.4.3, on en déduit la réectivité R⇓ =     1 −^2κtop κ 1 1−i∆+ ^2C 1+x⇓ 1 1−i∆0     2

et la réectivité R⇑ est quant à elle donnée par R⇑ =   1 − ^2κtop κ 1 1−i∆    2

( cavité vide car la transition |⇑i → |⇑⇓↑i est transparente aux photons |Ri). On en déduit également p⇑et p⇓à l'aide des équations 2.99 et 2.100, puis la réectivité totale R = p⇑R⇑+ p⇓R⇓.

On peut ainsi calculer la réectivité pour plusieurs valeurs de  = ^γgsf

γt

sf en fonction de la puissance incidente comme présenté sur la gure 2.19. Sur cette gure, nous avons tracé l'amplitude du pic de réectivité de la boîte quantique à ω = ωc = ω_d en fonction de la puissance incidente. Sur chacune des courbes, nous retrouvons la limite basse puissance et

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Puissance (pW) ∆∆∆∆ R εεεε=1 εεεε=0.1 εεεε=0.01 εεεε=0.001 Circulaire

Figure 2.19.  Courbes de l'amplitude de la réectivité à ω = ωd en polarisation circulaire en fonction de la puissance incidente pour diérentes valeurs de  calculées avec le modèle analytique (en rouge) ou le modèle numérique exact (en bleu). On constate un très bon accord entre les deux modèles lorsque  << 1. Ces courbes montrent que plus  est petit, plus la boîte quantique sera transparente à basse puissance.

la limite haute puissance à travers la présence de deux plateaux. Entre ces deux régimes, l'amplitude de la réponse optique de la boîte quantique décroit progressivement avec la puissance. On constate sur cette gure, que cette décroissance progressive de l'amplitude dépend de  puisqu'elle se produit à d'autant plus basse puissance que  est faible.

Pour comprendre mieux le phénomène de pompage, nous pouvons calculer les probabili-tés d'occupation des quatres états du système associées à ces courbes de non linéarité par l'intermédiaire des équations suivantes :

p|⇑i = p⇑p(g| ⇑) et p|⇓i = p⇓p(g| ⇓)

p_|⇑⇓↑i = p_⇑p(t| ⇑) et p|⇓⇑↓i = p_⇓p(t| ⇓) (2.102) A partir de ces équations, nous avons calculé les probabilités d'occupation dans le cas où  = 1 (présenté sur la gure 2.20) et le cas où  = 0.01 (présenté sur la gure 2.21). Sur ces deux gures, on remarque qu'à basse puissance, seuls les deux états fondamentaux du système sont occupés avec p|⇑i = p|⇓i = 0.5 ce qui est caractéristique de la limite basse puissance et associé au plateau sur les courbes de non linéarité de la gure 2.19. En revanche, les variations des probabilités d'occupation à mesure que la puissance augmente, sont diérentes pour  = 1 et  = 0.01.

Lorsque  = 1, nous dépeuplons progressivement l'état |⇓i vers l'état |⇓⇑↓i par excitation de la transition |⇓i → |⇓⇑↓i via les photons |Ri jusqu'à la saturation caractérisée par p|⇓i = p|⇓⇑↓i = 0.25. Pour la branche |⇑i , seul l'état |⇑i est occupé à p|⇑i = 50%car lorsque l'état excité |⇑⇓↑i est peuplé par l'intermédiaire d'un retournement de spin de l'électron (|⇓⇑↓i → |⇑⇓↑i, l'émission spontanée dépeuple très rapidement cet état vers l'état |⇑i. La diminution de la réectivité observée sur la gure 2.19 pour  = 1 est donc due à la saturation

2.5. Modélisation d'une boîte quantique chargée en microcavité avec uctuations de spin 10⁰ 10² 10⁴ 10⁶ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Puissance (pW) P ro b a b il it é d 'o c c u p a ti o n

ŝƌĐƵůĂŝƌĞZ͕ɸсϭ

Figure 2.20.  Courbes des populations des quatres états de la boîte quantique en fonction de la puissance en polarisation circulaire lorsque  = 1

progressive de la transition optique associée à la polarisation |Ri de la boîte quantique. Dans le cas où  << 1, on observe sur la gure 2.21, une augmentation de la probabilité d'occupation de l'état |⇑i et une diminution de la probabilité d'occupation de l'état |⇓i à mesure que la puissance augmente jusqu'à atteindre p⇑ ∼ 1 et p⇓ ∼ 0. Les niveaux excités sont quant à eux quasiment inoccupés avec des probabilités d'occupation proches de 0. Ces tendances s'expliquent parfaitement avec le phénomène d'initialisation décrit précédement : un photon |Ri excite la transition |⇓i → |⇓⇑↓i. Un saut de spin permet de passer de l'état |⇓⇑↓i vers |⇑⇓↑i et l'émission spontanée de l'état |⇑⇓↑i vers l'état |⇑i. Comme γg

sf << γt sf, le système reste dans |⇑i. Lorsque  = 0.01, la réectivité diminue donc à cause de la boîte quantique qui devient de plus en plus transparente aux photons |Ri à mesure que l'état |⇑i est initialisé. Cette initialisation se produit à plus basse puissance que la saturation de la boîte quantique et il en résulte que le seuil de non-linéarité (puissance à partir de laquelle la réectivité décroit) est beaucoup plus faible lorsque  = 0.01 que lorsque  = 1.

Sur la gure 2.19, nous avons comparé les courbes de non linéarité calculées à partir du modèle analytique et à partir du calcul exact numérique. On constate un très bon accord notamment lorsque  < 1 qui s'explique par le fait qu'on ne peuple presque pas les états excités et que nous avons donc très peu de uctuations quantiques. ( dans ce cas x⇓ est très faible).

Sur cette gure, on observe donc que lorsque le taux de retournement de spin de la par-ticule résidente est plus grand que celui de la parpar-ticule générée ( << 1) et que lorsque l'excitation est polarisée circulairement, la population est transférée dans sa totalité sur le niveau fondamental transparent à l'excitation. Si cette condition est remplie, il est possible d'initialiser le spin dans l'état |⇑i ou |⇓i suivant la polarisation circulaire d'excitation comme

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Puissance (pW) P o p u la ti o n n(trion/up) n(ground/up) n(trion/down) n(ground/down) Circulaire L W;ƚƌŝŽŶͬƵƉͿ W;ŐƌŽƵŶĚͬƵƉͿ W;ƚƌŝŽŶͬĚŽǁŶͿ W;ŐƌŽƵŶĚͬĚŽǁŶͿ ŝƌĐƵůĂŝƌĞZ͕ɸсϬ͘Ϭϭ WƵŝƐƐĂŶĐĞ;ƉtͿ

Figure 2.21.  Courbes des populations des quatres états de la boîte quantique en fonction de la puissance en polariation circulaire lorsque  = 0.01.

démontré par Gerardot et al [21].

2.6. Conclusion

Nous avons présenté un modèle analytique permettant de simuler un exciton dans une boîte quantique (considéré comme un système à deux niveaux) dans un premier temps, puis un trion dans une boîte quantique dans un second temps (considéré comme un système à quatre niveaux). Nous avons comparé ce modèle analytique à un modèle numérique exact démontrant un excellent accord dans le régime basse puissance (en absence de déphasage pur) et dans le régime haute puissance. Entre ces deux régimes, l'accord entre les deux modèles est moins satisfaisant mais le modèle analytique permet de calculer rapidement les spectres de réectivité et de non-linéarité d'un système donné et d'extraire l'ordre de grandeur du nombre critique de photons associé à cette nonlinéarité.

La n de ce chapitre explique théoriquement, dans le cadre d'une boîte quantique en microcavité, l'expérience d'initialisation de Gerardot et al [21] où un faisceau incident polarisé circulairement peut initialiser le spin conné à l'intérieur de la boîte quantique. Nous avons notamment démontré qu'une signature expérimentale de cette initialisation peut être obtenue via des mesures de spectroscopie résonante en polarisations circulaires et linéaires.