Au chapitre pr´ec´edent, le probl`eme de m´ecanique des milieux continus a ´et´e pos´e sous sa forme forte. Sa formulation allie les ´equations d’´equilibre, les ´equations de compatibilit´e et les ´equations constitutives. Pour garantir qu’il soit bien pos´e, des conditions aux limites de type Dirichlet et Neumann doivent ˆetre adjointes. Soit Ω un sous domaine non vide de R3 occup´e par un
milieu mat´eriel, de fronti`ere r´eguli`ere ∂Ω. Cette derni`ere est suppos´ee ˆetre partionn´ee telle que ∂Ω = ∂Ωt∪∂Ωuet ∂Ωt∩∂Ωu= {0}. En notant t et u les vecteurs traction impos´ee et d´eplacement
impos´e, respectivement sur ∂Ωt et ∂Ωu, le probl`eme s’´ecrit sous sa forme forte comme suit : Trouver σ, ² et u tels que :
Divσ + b = ργ ∀M ∈ Ω ² = 1 2(∇u + ∇ut) ∀M ∈ Ω L(σ, ²; ˘α1, ..., ˘αn) = 0 ∀M ∈ Ω t = σ.n ∀M ∈ ∂Ωt u = u ∀M ∈ ∂Ωu (3.1)
L’obtention d’une solution analytique est g´en´eralement difficile dans la majorit´e des cas. Une technique permettant la construction d’une solution approch´ee est la m´ethode des ´el´ements finis. Pour ˆetre appliqu´ee, cette derni`ere n´ecessite la construction pr´ealable d’une formulation faible du probl`eme 3.1. La formulation faible du probl`eme d´ecoule naturellement du principe des puissances virtuelles. En n´egligeant les effets d’inertie, il vient :
Trouver u tel que ∀v ∈ V := {w r´egulier sur Ω|w = u sur ∂Ωu} :
R Ωσ(u) : ²(v)dV − R Ωb.vdV − R ∂Ωtt.vdS = 0 (3.2) 3.2.2 Discr´etisation
Interpolation des champs
Dans cette section, le choix d’une pr´esentation sous forme matricielle est adopt´ee pour des raisons de concision et de clart´e. Plusieurs m´ethodes peuvent ˆetre utilis´ees pour r´esoudre le probl`eme 3.2. Dans le cadre de la pr´esente ´etude, seule la m´ethode des ´el´ements finis est consid´er´ee. Pour cela, le domaine Ω est subdivis´e en une suite de sous-domaines (Ωe)e=1,...,ne appel´es ´el´ements
finis. Chaque ´el´ement fini est suppos´e poss´eder nen nœuds. Les champs de d´eplacement r´eels
et virtuels sont approch´es de mani`ere ´el´ementaire sur chaque ´el´ement fini en introduisant des fonctions de forme (Na(ξ))a=1,...,nen. Le vecteur ξ repr´esente les coordonn´ees locales de l’´el´ement
fini. Ainsi, les champs de d´eplacement sont approch´es par les champs uh et vh respectivement
comme suit :
vh(ξ, t)|Ωe = N (ξ)v(t)|Ωe (3.4) o`u N (ξ) est la matrice des fonctions de forme, d(t)|Ωe et v(t)|Ωe les vecteurs des degr´es de libert´e
associ´es au d´eplacement total (cumul´e) et au d´eplacement virtuel respectivement, t repr´esente le pseudo temps courant. Pour un ´el´ement fini donn´e, les fonctions de forme sont classiquement choisies sous une forme polynomiale de degr´e le plus faible possible et respectant la propri´et´e de partition de l’unit´e, c’est-`a-dire devant v´erifier :
Na(ξb) = δab (3.5)
La fonction de forme Nadoit donc valoir 1 au nœud a et 0 aux autres nœuds de l’´el´ement fini. La
question de la discr´etisation de la g´eom´etrie reste encore `a ˆetre ´evoqu´ee. En effet, la g´eom´etrie peut ˆetre a priori interpol´ee de mani`ere totalement ind´ependante des champs de d´eplacement. Toutefois, la litt´erature montre que l’utilisation d’´el´ements finis isoparam´etriques contribue `a la stabilit´e de la m´ethode. Cela signifie que les interpolations g´eom´etriques sont choisies de mani`ere identiques aux interpolations retenues pour les champs de d´eplacement. La g´eom´etrie de chaque ´el´ement est donc interpol´ee comme suit :
xh(ξ)|Ωe = N (ξ)x|Ωe (3.6)
o`u x repr´esente le vecteur des coordonn´ees nodales associ´ees `a l’´el´ement Ωe. A l’aide de l’ex-
pression 3.3, le champ de d´eformation approch´e s’´ecrit naturellement : ²h(ξ, t)|Ωe = 1
2(∇u
h(ξ, t) + ∇uh(ξ, t)t)|
Ωe (3.7)
Il peut ˆetre not´e que seuls les op´erateurs gradient agissent uniquement sur les fonctions de forme. Ainsi, le champ de d´eformation s’´ecrit :
²h(ξ, t)|Ωe = B(ξ)d(t)|Ωe (3.8)
o`u B(ξ) est la matrice traduisant la relation de compatibilit´e restreinte `a l’´el´ement fini courant. De mani`ere plus pr´ecise, la matrice de compatibilit´e peut ˆetre calcul´ee comme suit :
B(ξ) = dN (ξ) dξ J
−1(ξ) (3.9)
o`u J−1(ξ) est la matrice jacobienne calcul´ee `a partir des interpolations g´eom´etriques. Construction du probl`eme discr´etis´e
Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, les d´ependances des quantit´es d’int´erˆet au pseudo temps et aux coordonn´ees courantes de l’´el´ement fini sont omises. La forme faible du probl`eme aux limites 3.2 peut ˆetre discr´etis´ee en tenant compte des diff´erentes approximations pr´esent´ees dans le section pr´ec´edente. D’une mani`ere plus pr´ecise, l’´equation discr´etis´ee du probl`eme peut s’´ecrire sous la forme g´en´erique suivante :
n
A
e=1(f
Int,e− fExt,e) = 0 (3.10)
o`u fInt,e et fExt,e sont respectivement les vecteurs de forces internes et externes et A est l’op´erateur d’assemblage. D’apr`es l’´equation 3.2, les vecteurs de forces internes et externes s’ex- priment en notations matricielles par :
fExt,e = Z Ωe NtbvtdV + Z ∂Ωt,e NttvtdS (3.11)
fInt,e= Z
Ωe
Btσ(²h)vtdV (3.12)
En reportant les ´equations 3.11 et 3.12 dans l’´equation 3.10, on obtient : Z Ωe Btσ(²h)vtdV = Z Ωe NtbvtdV + Z ∂Ωt,e NttvtdS (3.13)
En remarquant que cette ´equation doit ˆetre v´erifi´ee pour tous les d´eplacements virtuels cin´ematiquement admissibles, on obtient le probl`eme discr´etis´e suivant :
Trouver dh tels que : n A e=1( R ΩeB tσ(dh)dV −R ΩeN tbdV −R ∂Ωt,eN ttdS) = 0 (3.14)
Les int´egrales sont calcul´ees num´eriquement, g´en´eralement `a l’aide de la formule de quadrature de Gauss. En effet, cette technique d’int´egration est adapt´ee `a ce cas d’application en raison du caract`ere polynomial des fonctions de forme. Une solution exacte peut ˆetre obtenue.
3.2.3 Sch´ema de r´esolution global
La r´esolution d’un tel probl`eme peut ˆetre abord´ee `a l’aide d’une approche de type it´eratif incr´emental. Cette derni`ere comprend deux phases : une premi`ere phase durant laquelle les contraintes sont d´etermin´ees `a partir d’une solution initiale en d´eplacement et une seconde phase qui consiste `a r´esoudre les ´equations d’´equilibre pour obtenir une nouvelle solution meilleure que la pr´ec´edente. Ce proc´ed´e est r´eit´er´e pour chaque pas de chargement ext´erieur jusqu’`a ce qu’un crit`ere de convergence soit v´erifi´e. Soit x un point de Gauss et [0, T ] l’ensemble dans lequel varie le pseudo temps t. Cet intervalle peut ˆetre discr´etis´e tel que :
[0, T ] =
m
[
n=1
[tn−1, tn] (3.15)
o`u par convention t0= 0 et tm= T . La premi`ere ´etape de la r´esolution peut donc ˆetre formul´ee
comme suit : ´
Etant donn´es : ²hn(x) = ²h(x, tn), ˘αn(x) = ˘α(x, tn)
Trouver : ²h
n+1(x), ˘αn+1(x), σn+1(x)
Tels que : les conditions d’admissibilit´e soient v´erifi´ees
(3.16)
Le d´etail des algorithmes utilis´es pour r´ealiser cette ´etape de r´esolution est pr´esent´e dans la suite de ce chapitre, appliqu´e au cas particulier des mod`eles constitutifs propos´es. D`es lors que les contraintes ont ´et´e trouv´ees en chacun des points d’int´egration, les ´equations d’´equilibre 3.10 doivent ˆetre r´esolues pour d´eterminer une nouvelle solution en d´eplacement. Le probl`eme peut donc ˆetre formul´e comme suit :
´
Etant donn´es : σn+1(x) = σ(x, tn+1)
Trouver : ²h,(i)n+1(x) Tel que : r(dh,(i)n+1, .) = An
e=1(f Int,e(dh,(i) n+1, .) − fExt,e) = 0 dh,(i)n+1(x) = dh,(i)(x, t n+1) (3.17)
Pour r´esoudre cette ´equation, comme mentionn´e pr´ec´edemment, une m´ethode it´erative de type Newton est g´en´eralement utilis´ee. Si `a l’it´eration (i) les ´equations d’´equilibre ne sont pas v´erifi´ees,
alors il s’agit de trouver une valeur am´elior´ee de la d´eformation totale ²h,(i+1)n+1 (x). Pour cela, il y a lieu de trouver un d´eplacement incr´emental uh,(i+1)n+1 , d’actualiser le d´eplacement total d(i+1)n+1 (x) puis de recalculer la d´eformation totale ²h,(i+1)n+1 (x). Pour cela, les ´equations d’´equilibre doivent ˆetre lin´earis´ees : r(i+1)n+1 = r(i)n+1+ An e=1 ∂fInt,e(dh,(i)n+1, .) ∂dh,(i)n+1 u h,(i+1) n+1 (3.18)
L’op´erateur tangent ∂fInt,e(d
h,(i)
n+1,.)
∂dh,(i)n+1
peut ˆetre d´etermin´e `a partir du module tangent issu des ´equations constitutives. Autrement dit, ce dernier est ´evalu´e par :
∂fInt,e(dh,(i)n+1, .) ∂dh,(i)n+1 |Ωe =
Z
Ωe
BtC(i+1)(²h,(i+1)n+1 , σh,(i+1)n+1 )BdV (3.19)
o`u C(i+1) = ∂σ
h,(i+1) n+1
∂²h,(i+1)n+1
est le module tangent fonction des variables internes. Dans bien des cas d’applications, il est pr´ef´er´e de le maintenir constant au module ´elastique initial. Cette strat´egie n´ecessite davantage d’it´erations mais augmente la robustesse des calculs. Lorsque le d´eplacement incr´emental uh,(i+1)n+1 est calcul´e, le d´eplacement total peut ˆetre actualis´e dh,(i+1)n+1 = dh,(i)n+1+uh,(i+1)n+1 pour que les nouvelles d´eformations totales soient d´etermin´ees. Le sch´ema de r´esolution est pr´esent´e de mani`ere synth´etique par l’algorigramme 1.
Entr´ee : Maillage, chargement, param`etres num´eriques et mat´eriaux Sortie : D´eplacements nodaux, contraintes
pour n ← 1 `a nincr faire fExt
n+1 = fExtn + ∆fExtn ;
pour i ← 1 `a niter faire
Calcul des d´eformations; Calcul des contraintes;
Calcul des efforts internes fInt,(i+1)n+1 ; Calcul du r´esidu r(i+1)n+1 ;
si ||r(i+1)n+1 || ≥ ²Tol alors
Calcul de l’incr´ement de d´eplacements uh,(i+1)n+1 ; dh,(i+1)n+1 = dh,(i)n+1+ uh,(i+1)n+1 ;
i=i+1; sinon Sortir; fin fin fin