Pr´eambule : observer de pr`es ou de loin ?

La description quantitative d’un ph´enom`ene physique n´ecessite en premier lieu de se donner une r´esolution, c’est-`a-dire une ´echelle d’observation. En effet, si la probl´ematique consiste `a d´ecrire quantitativement le comportement m´ecanique d’un mat´eriau naturel ou artificiel, la question du choix de l’´echelle d’observation revient `a s’interroger sur la pertinence de l’int´erˆet `a accorder `a la micro structure du mat´eriau consid´er´e. Dans le cas particulier du mat´eriau b´eton, la continuit´e et l’homog´en´eit´e macroscopique couramment admise perd tout son sens d`es que l’on s’int´eresse `a sa structure microscopique. Dans un tel contexte, deux ´echelles peuvent ˆetre d´efinies : l’´echelle microscopique et l’´echelle macroscopique. Un concept apportant des ´el´ements de r´eponse `a la question du choix de l’´echelle d’observation est celui du Volume El´ementaire Repr´esentatif (V.E.R.). Cette notion permet de d´efinir implicitement une certaine r´esolution li´ee `a la qualit´e de l’observation du comportement d’un mat´eriau donn´e. Autrement dit, la donn´ee d’un VER convenable doit permettre d’une part de conserver une certaine homog´en´eit´e spatiale pour que les ´equations aux d´eriv´ees partielles r´egissant le comportement du mat´eriau gardent un sens math´ematique et d’autre part, elle doit se positionner assez pr`es du mat´eriau pour que les gra- dients des grandeurs en jeu soient bien estim´es. Il est essentiel de bien noter que le choix d’un VER n’est pas unique et qu’il est guid´e par les besoins qui motivent le d´eveloppement d’une des- cription quantitative du comportement d’un mat´eriau. Certains cas particuliers de mat´eriau ont la bonne propri´et´e de pr´esenter un comportement macroscopique complexe et un comportement microscopique simple. Dans ces conditions, pour un VER bien choisi, il pourrait ˆetre int´eressant de construire la r´eponse macroscopique `a partir de consid´erations microscopiques. Ainsi, il est n´ecessaire de d´efinir des r`egles de passage entre les ´echelles. (Gray et Hassanizadeh, 1979a) et (Gray et Hassanizadeh, 1979b) proposent de d´efinir des fonctions poids permettant le transfert des informations entre les diff´erentes ´echelles. Le plus souvent, les op´erateurs de transfert sont construits de telle sorte que la moyenne d’une grandeur microscopique soit ´egale `a son ´equivalent macroscopique.

2.5.2 Aspects ph´enom´enologiques

L’application d’un chargement de nature quelconque sur les fronti`eres d’un domaine mat´eriel occup´e par du b´eton g´en`ere un champ de contraintes local. D`es lors qu’en un point mat´eriel du domaine, la contrainte maximale de traction d´epasse la contrainte limite en traction, il se produit une d´ecoh´esion plus ou moins diffuse selon la nature des d´efauts qui se trouvent pr´esents. Lorsque l’intensit´e du chargement augmente, la fissuration diffuse ´evolue vers de la macrofissuration. A ce stade, les d´eformations se localisent donc l`a o`u la macrofissure apparaˆıt. Cela conduit naturellement `a une perte de capacit´e de r´esistance locale du mat´eriau au voisinage de la macrofissure, provoquant une redistribution des contraintes autour du point consid´er´e. Dans cette section, il est propos´e de d´ecrire les principaux traits comportementaux du b´eton dans le cas d’un r´egime de chargement statique ou cyclique (`a bas nombres de cycles) et lorsque le stade du jeune ˆage a ´et´e d´epass´e.

Comportement en traction simple

Une sollicitation de traction simple appliqu´ee `a un domaine mat´eriel occup´e par du b´eton a pour effet de cr´eer une certaine ´evolution complexe de la microstructure. Deux phases sont classiquement observ´ees selon les travaux de (Terrien, 1980) et (Walraven, 1980). En premier lieu, des microfissures se forment de mani`ere tout `a fait diffuse. En second lieu, lorsque le pic de r´esistance est d´epass´e, les microfissures se localisent et donnent naissance `a des macrofissures. La capacit´e de r´esistance du mat´eriau diminue clairement et ´evolue vers une contrainte r´esiduelle. Un autre point essentiel li´e au comportement en traction simple du b´eton est l’apparition de ph´enom`enes hyst´er´etiques lors de cycles de charge/d´echarge caract´eris´es par la pr´esence de boucles (cf. 2.4). Ces ph´enom`enes, fortement non lin´eaires, sont en g´en´eral interpr´et´es comme la manifestation d’un frottement entre les l`evres des fissures cr´e´ees. Enfin, il est possible de remarquer la pr´esence de d´eformations r´esiduelles lorsqu’une d´echarge compl`ete est appliqu´ee.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10−4 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 6 Déformation ε 11 Contrainte σ 11 (Pa)

Fig. 2.4 – R´eponse en traction cyclique d’un b´eton ordinaire (d’apr`es (Terrien, 1980)).

Comportement en compression simple

D’une mani`ere g´en´erale, le comportement en compression d’un b´eton n’est pas tr`es diff´erent de celui en traction. En effet, deux phases peuvent ˆetre identifi´ees : une premi`ere durant laquelle un r´eseau de microfissures se forme et une seconde durant laquelle ces derni`eres se localisent pour conduire `a l’apparition de macrofissures. Il peut ˆetre not´e la pr´esence de d´eformations r´esiduelles apr`es d´echarge. Deux points significatifs sont toutefois `a souligner. D’une part la r´eponse en compression d’un b´eton montre une ductilit´e accrue par rapport `a celle obtenue en traction et d’autre part, l’intensit´e des ph´enom`enes hyst´er´etiques est bien plus importante. Ce dernier point peut ˆetre expliqu´e qualitativement par le fait que lorsque des macrofissures sont ouvertes mais tendent `a ˆetre comprim´ees, le frottement qu’elles mobilisent entre leurs l`evres est plus intense que ce qu’il ne serait sous une condition de traction simple. L’ensemble des observations ´evoqu´ees pr´ec´edemment peut ˆetre ´etay´e par les r´esultats exp´erimentaux pr´esent´es sur la figure 2.5.

Comportement multiaxial

De mani`ere analogue `a la plupart des mat´eriaux, l’application de sollicitations triaxiales tend `a am´eliorer la r´eponse locale. En effet, (Kupfer et Gerstle, 1973) ont ´etudi´e le comportement d’un b´eton sollicit´e en bi compression. Les r´esultats exp´erimentaux obtenus par ces auteurs

−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 x 10−3 −5 −4 −3 −2 −1 0x 10 7 Déformation ε 11 Contrainte σ 11 (Pa)

Fig. 2.5 – Domaine de rupture et d’´elasticit´e d’un b´eton ordinaire sous sollicitations biaxiales (d’apr`es (Ramtani, 1990)).

sont expos´es sur la figure 2.6. Ils parviennent `a la conclusion qu’une pression lat´erale stabilise la formation de macrofissures conduisant `a la rupture de l’´eprouvette. Ainsi, il est possible de montrer exp´erimentalement que la r´eponse en compression d’un b´eton est largement influenc´ee par le niveau de confinement. Cette propri´et´e de sensibilit´e `a la pression hydrostatique joue un rˆole important dans la mod´elisation des ´el´ements de structures car le b´eton se trouvant entre les cadres est en g´en´eral plus confin´e que le b´eton d’enrobage.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 σ₁₁/f c σ 22 /f c Surface élastique Surface de rupture

Fig. 2.6 – R´eponse en bi compression d’un b´eton ordinaire (d’apr`es (Kupfer et Gerstle, 1973)).

Comportement unilat´eral

En lien avec sa nature quasi-fragile, le b´eton est sujet `a l’effet unilat´eral. Ce dernier peut ˆetre d´efini comme la capacit´e d’un b´eton `a restaurer (au moins en partie) sa rigidit´e initiale selon le type de sollicitations qui lui est appliqu´e. La plupart des r´esultats exp´erimentaux portent sur l’´etude uniaxiale de cet effet. Une mani`ere de le mettre clairement en ´evidence est de faire subir `a un volume de b´eton un cycle de chargement de type traction/compression. Les r´esultats exp´erimentaux d’un tel essai sont pr´esent´es sur la figure 2.7. Le ph´enom`ene de restauration de la rigidit´e initiale peut ˆetre qualitativement expliqu´e par le fait que les macrofissures cr´e´ees

en traction tendent `a ˆetre referm´ees suite `a la sollicitation de compression. Ainsi, bien que le mat´eriau soit intrins`equement endommag´e par la traction, il se comporte en compression de mani`ere quasi ind´ependante de son histoire en traction.

−300−6 −200 −100 0 100 200 300 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2x 10 6 Déformation ε 11 (µdef) Contrainte σ 11 (Pa)

Fig. 2.7 – Mise en ´evidence de l’effet unilat´eral (d’apr`es (LaBorderie, 1991)).

2.5.3 Outils de pr´ediction

Classification

Du fait de la tr`es forte utilisation du mat´eriau b´eton dans la construction des ouvrages en g´enie civil, le besoin de d´ecrire et surtout de pr´evoir son comportement est naturellement apparu. Les ´evidences exp´erimentales pr´esent´ees pr´ec´edemment montrent clairement la complexit´e du comportement du b´eton. De mani`ere succincte, ce mat´eriau pr´esente les traits de caract`ere suivants :

– une dissym´etrie de comportement en traction et en compression, – la pr´esence de d´eformations permanentes,

– la pr´esence d’effets unilat´eraux,

– l’apparition de ph´enom`enes hyst´er´etiques locaux, – une sensibilit´e `a la pression hydrostatique.

Dans cette section, il est propos´e de pr´esenter un ´etat de l’art des outils permettant de d´ecrire le comportement d’un b´eton. La litt´erature est riche de nombreuses propositions faites par diff´erents auteurs. Dans le but de rendre la plus claire possible cette pr´esentation, il y a lieu de classer l’information disponible. Le tableau 2.4 pr´esente la classification adopt´ee dans cette section. Pour terminer l’expos´e, il sera possible de justifier les actions de recherche entreprises dans le cadre de cette ´etude afin de mieux appr´ehender le comportement du b´eton.

M´ecanique lin´eaire de la rupture

La m´ecanique lin´eaire de la rupture est l’une des premi`eres th´eories d´evelopp´ees visant une description analytique du champ de contraintes au voisinage d’une singularit´e cin´ematique. Ce cadre th´eorique requiert l’identification d’une cin´ematique particuli`ere associ´ee au mode de chargement donnant naissance `a une fissure. Classiquement, trois modes sont distingu´es : le mode I qui fait r´ef´erence `a une ouverture pure, le mode II `a un glissement dans le plan du chargement et le mode III `a un glissement anti-plan. Une hypoth`ese fondamentale de m´ecanique lin´eaire est que le mat´eriau est suppos´e rester ´elastique au loin de la singularit´e. Ainsi, la solution en contrainte

Classe Mod`ele R´ef´erences significatives

M´ecanique lin´eaire (Lemaˆıtre et Chaboche, 1985) de la rupture

M´ecanique non lin´eaire

Mod`eles de de la rupture

fissuration Th´eorie de la (Ngo et Scordelis, 1967)

fissuration discr`ete (Nilson, 1968) Th´eorie de la (Rashid, 1968) fissuration distribu´ee (Willam et al., 1987)

(Bazant, 1986)

(Crisfield et Wills, 1989) Mod`ele de Reynouard (Reynouard, 1974) Elastoplasticit´e Mod`ele de Frantzeskakis (Frantzeskakis, 1987)

Mod`ele de Lubliner (Lubliner et al., 1989) (Lubliner, 1990) Mod`ele de Mazars (Mazars, 1984) Mod`ele de Laborderie (LaBorderie, 1991)

Endommagement Mod`ele de Simo (Simo et Ju, 1995)

Mod`ele de Desmorat (Desmorat et al., 2006)

Mod`ele de Matallah (Matallah et LaBorderie, 2009) (Rossi et Richer, 1987)

Approche (Rossi et al., 1997)

probabiliste Mod`ele de Rossi (Rossi et Wu, 1992)

(Rossi et al., 1996) (Rossi et Ulm, 1997) Mod`ele `a discontinuit´e M´ethode des discontinuit´es (Oliver, 1996a)

fortes (Oliver, 1996b)

explicite M´ethode XFEM (Dolbow et al., 2001)

(Moes et Belytschko, 2002) Tab. 2.4 – Classification des mod`eles significatifs de b´eton propos´es dans la litt´erature.

d’un tel probl`eme est connue sous le nom de solution de Westergaard et peut s’exprimer de mani`ere enti`erement analytique sous la forme suivante :

  

Mode I : σ22= KI(a, σ22∞)fI(r, θ)

Mode II : σ12= KII(a, σ12∞)fII(r, θ)

Mode III : σ₁₃= K_III(a, σ∞

13)fIII(r, θ)

Dans ces expressions, (Ki)i=I,II,III sont les facteurs d’intensit´e de contrainte, a est le demi rayon

de la fissure, (σ∞

ij)i,j=1,2,3 sont les contraintes du champ au loin de la singularit´e, (fi)i=I,II,III

sont des fonctions poids qui d´ependent de r et θ, coordonn´ees polaires centr´ees sur la pointe de la fissure du point auquel le champ est recherch´e.

Muskhelishvili g´en´eralise la solution de Westergaard en montrant que les facteurs d’intensit´e de contrainte pouvaient s’´ecrire de mani`ere g´en´erique sous la forme suivante :

K = σ∞√πaf (2.52)

o`u f est un facteur de forme d´ependant de la g´eom´etrie de la fissure, du type de chargement et de la g´eom´etrie de la structure.

La m´ecanique lin´eaire de la rupture offre aussi des ´el´ements de r´eponse quant aux conditions d’initiation de la propagation d’une singularit´e. Plusieurs approches existent, les premi`eres furent propos´ees par Griffith. L’id´ee directrice est de consid´erer que le m´ecanisme de propagation d’une fissure est en r´ealit´e la manifestation d’une dissipation d’´energie. Autrement dit, tant que le so- lide est capable d’emmagasiner l’´energie potentielle issue du chargement, alors la singularit´e est stable, aucune dissipation n’a lieu. En revanche, d`es que la capacit´e d’emmagasiner de l’´energie du mat´eriau est d´epass´ee, alors la singularit´e devient instable et la propagation s’amorce. Ce postulat conduit naturellement `a d´efinir un indicateur de l’´energie emmagasin´ee : le taux de res- titution d’´energie G. A cette grandeur est associ´e un taux de restitution d’´energie critique GC, au

del`a duquel la singularit´e devient instable. Une approche similaire fond´ee sur des consid´erations plus statiques consiste `a introduire une caract´eristique du mat´eriau appel´ee facteur d’intensit´e de contrainte critique KC. Ainsi, connaissant le facteur d’intensit´e de contrainte associ´e au mode

consid´er´e, la comparaison avec le facteur critique permet de d´eterminer le r´egime de propaga- tion. Il est possible de montrer qu’il existe des ´equivalences entre les quantit´es G_C et K_C, en introduisant la densit´e d’´energie de surface γ qui repr´esente la densit´e d’´energie n´ecessaire pour cr´eer la d´ecoh´esion d’une aire unitaire. Enfin, il est possible de noter que d’autres approches fond´ees sur les int´egrales de Rice et Bui existent.

M´ecanique non lin´eaire de la rupture

D`es lors que le mat´eriau ´etudi´e n’est plus ´elastique fragile, la m´ecanique lin´eaire de la rupture ne s’applique plus. De mani`ere plus pr´ecise, pour un mat´eriau capable de dissiper de l’´energie via des m´ecanismes locaux de plastification, l’existence d’une zone plastique en pointe de fis- sure apparaˆıt. La m´ecanique non lin´eaire de la rupture tente donc d’apporter des ´el´ements de r´eponse lorsqu’il s’agit de traiter le cas de tels mat´eriaux. Deux approches essentielles ont ´et´e d´evelopp´ees : une approche locale fond´ee sur l’estimation de la zone plastique en pointe de fis- sure et une approche plus globale qui consiste `a consid´erer le comportement du mat´eriau comme ´etant ´elastique non lin´eaire.

La premi`ere approche est fond´ee sur les travaux d’Irwin qui propose d’introduire une gran- deur caract´erisant la topologie de la zone plastique : le rayon plastique ρ. Dans le cas sp´ecifique

du mode I, cet auteur avance une expression corrig´ee pour le facteur d’intensit´e de contrainte qui prend la forme suivante :

K = σ∞pπ(a + ρ)f (2.53)

Les travaux de Dugdale-Barenblatt ont contribu´e fortement `a la construction d’une solution analytique en plasticit´e plane. Au sens du crit`ere de Tresca, il est possible de d´eterminer une expression du rayon plastique sous la forme :

ρ = π 16 K2 I σ2 Y (2.54) o`u σY est la limite ´elastique initiale du mat´eriau consid´er´e au sens du crit`ere de Tresca.

La seconde approche, plus globale, consiste `a se donner une loi d’´ecrouissage non lin´eaire de la forme :

σij ∝ ²1/M_ij (2.55)

o`u M est un param`etre mat´eriau `a identifier. Le crit`ere de stabilit´e de la singularit´e qui doit ˆetre consid´er´e s’appuie sur l’int´egrale de Rice dont une d´efinition peut ˆetre trouv´ee dans (Lemaˆıtre et Chaboche, 1985).

Th´eorie de la fissuration discr`ete

Cette approche est fond´ee sur les travaux de (Ngo et Scordelis, 1967) et (Nilson, 1968). Son principe consiste `a consid´erer que les arˆetes des ´el´ements massifs sont des fronti`eres de rupture potentielle. Ainsi, une ´equation constitutive g´erant la relation entre le vecteur traction et le saut de d´eplacement est introduite sous la forme suivante :

t = Cf.[u] (2.56)

o`u t est le vecteur traction sur la fronti`ere de rupture, Cf est un module d’adoucissement et [u] est le vecteur saut de d´eplacement `a la fronti`ere. La mise en œuvre num´erique de cette approche est sujette `a de nombreuses difficult´es. D’une part, au cours d’un calcul, l’´evolution des connectivit´es entre les ´el´ements pose des difficult´es de gestion et d’autre part, les r´esultats obtenus sont grandement d´ependants du maillage. Bien que des techniques sp´ecifiques aient ´et´e d´evelopp´ees pour rem´edier `a ces difficult´es comme par exemple le remaillage, l’utilisation de cette approche reste tr`es coˆuteuse en temps de calcul et fortement d´ependante de la discr´etisation. Th´eorie de la fissuration distribu´ee : smeared crack theory

Ce cadre th´eorique a ´et´e initialement propos´e par (Rashid, 1968). Par la suite, de nombreux au- teurs ont contribu´e au d´eveloppement de la notion de fissuration distribu´ee comme par exemple (Willam et al., 1987), (Bazant, 1986) et (Crisfield et Wills, 1989). Le domaine mat´eriel Ω consid´er´e est suppos´e poss´eder une certaine distribution de fissures. L’hypoth`ese des petites perturbations est retenue. L’incr´ement de d´eformation totale ∆² peut ˆetre partionn´e en deux termes de mani`ere additive : un terme li´e aux fissures ∆²f et un terme li´e au mat´eriau sain ∆²m. Ainsi, il vient :

∆² = ∆²f + ∆²m (2.57)

Les fissures sont regroup´ees en n familles selon leur orientation spatiale qui est caract´eris´ee par un vecteur normal n et tangent t. Ainsi, en consid´erant un sous domaine de Ω poss´edant n familles de fissures, il est possible de d´efinir le vecteur saut de d´eplacement :

∆[ξ] = n X i=1 ∆[ξ]i = n X i=1 ((∆[ξ].n_i)n_i+ (∆[ξ].t_i)t_i) (2.58)

En consid´erant un volume V comme ´etant une mesure du sous domaine de Ω ´etudi´e, la relation cin´ematique liant le tenseur des d´eformations des fissures avec le saut de d´eplacement peut ˆetre postul´ee selon la forme suivante :

∆²f = 1 V n X i=1 Z Si [ξ]⊗n_idS = n X i=1 n_i⊗∆ef_i (2.59)

Dans l’expression 2.59, Si repr´esente l’aire fissur´ee associ´ee `a la famille de fissures i et

⊗ repr´esente le produit tensoriel sym´etris´e. Cette expression fait apparaˆıtre le fait que la d´eformation associ´ee aux fissures est en fait la somme de contributions ´el´ementaires ∆ef_i sur chaque famille. Ces derni`eres sont appel´ees d´eformations de discontinuit´e. Le vecteur des trac- tions peut, de mani`ere analogue au vecteur saut de d´eplacement, ˆetre d´efini comme suit :

∆sf_i = n X i=1 ∆sf_i = n X i=1 ((∆sf.n_i)n_i+ (∆sf.t_i)t_i) (2.60)

o`u ∆sf est le vecteur traction global. Le tenseur des contraintes de Cauchy peut ˆetre introduit au travers de la relation statique suivante :

∆sf_i = ∆σ.n_i (2.61)

Les ´equations constitutives du mat´eriau sain et des fissures doivent maintenant ˆetre introduites. Pour le b´eton sain, un tenseur de rigidit´e d’ordre 4 est donc introduit :

∆σ = Dm: ∆²m (2.62)

Dans l’expression 2.62, Dm est le tenseur de rigidit´e du mat´eriau sain. L’´equation constitutive des fissures s’exprime en termes de vecteur traction et de d´eformation de fissure :

∆s = Df.∆ef_i (2.63)

o`u Df _{est le tenseur de rigidit´e de la fissure dans son plan. En utilisant les ´equations 2.57, 2.61}

et 2.62, il vient : ∆σ = Dm: (∆² − n X i=1 n_i⊗Df −1.∆σ.n_i) (2.64) Apr`es quelques calculs analytiques, la loi de comportement du b´eton fissur´e peut ˆetre exprim´ee sous la forme suivante :

∆σ = (I + Dm :

n

X

i=1

n_i⊗Df −1⊗ n_i)−1: Dm : ∆² (2.65) L’´equation constitutive 2.65 peut ˆetre mise sous la forme simplifi´ee suivante :

∆σ = Dmf : ∆² (2.66)

Pour illustrer la forme pratique que prend la relation 2.65, une seule fissure plane est consid´er´ee. En projetant l’expression 2.66 sur une base du sous domaine d’´etude, il vient :

µ ∆sn ∆st ¶ = µ DI 0 0 DII ¶ Ã ∆²fn ∆²f_t ! (2.67) Dans cette expression, (Di)i=I,II repr´esentent les termes de rigidit´e dans le rep`ere local `a la

analytique `a cette ´equation en supposant les termes de rigidit´e normale et tangentielle constants par rapport au pseudo temps. La mise en œuvre des approches fond´ees sur le cadre th´eorique qui vient d’ˆetre bri`evement expos´e est d´elicate. En effet, de nombreuses difficult´es de convergence tendent `a apparaˆıtre, ce qui peut, au moins en partie, ˆetre expliqu´e par le fait que cette approche n’est pas formul´ee dans un cadre thermodynamique consistant, assurant la stabilit´e num´erique et la coh´erence physique.

Mod`ele d’une seule fissure fixe. La th´eorie de la fissuration distribu´ee a ´et´e adapt´ee au fil des ann´ees `a diff´erents cas de distribution de fissures. Le cas le plus simple est connu sous le