Essai de La Borderie

Description du protocole exp´erimental

Lors de ses travaux de th`ese, (LaBorderie, 1991) a r´ealis´e des essais de flexion cyclique `a bas niveau de chargement sur des poutres en b´eton arm´e. Ces essais avaient pour but de mettre en ´evidence l’effet unilat´eral li´e `a la refermeture des fissures cr´e´ees dans le b´eton lors d’un cycle trac-

tion/compression. L’essentiel des r´esultats exp´erimentaux est disponible ainsi que le protocole exp´erimental mis en œuvre. Ces essais constituent donc une r´ef´erence lorsqu’il s’agit d’´evaluer les performances d’un mod`ele de b´eton en chargement cyclique.

Les corps d’´epreuve sont des poutres en b´eton arm´e. Les effets d’´echelle ont ´et´e ´evit´es en choi- sissant les dimensions des corps d’´epreuve les plus proches possibles de celles utilis´ees dans l’in- dustrie. Les poutres ont une longueur totale de 1700 mm, 1500 mm entre appuis, une hauteur de 200 mm et une largeur de 150 mm. Les ´eprouvettes cylindriques ont ´et´e r´ealis´ees au LCPC Paris afin de caract´eriser le b´eton durci. Ainsi, 3 cylindres (16-16-32) ont ´et´e confectionn´es et destin´es `a des essais de compression et 3 cylindres (16-16-32) a des essais de traction par fendage. Par ailleurs, 3 cylindres (forme en os) de diam`etre 140 mm ont ´et´e test´es en traction directe et 3 prismes (10-10-40) ont ´et´e sujets `a des essais de flexion quatre points. L’ensemble des cages d’armature a ´et´e r´ealis´e `a l’ENS de Cachan. Celles-ci se composent de 4 aciers longitudinaux de diam`etre 12 mm et 3 cadres en zone de moment n´egatif pour ´eviter la rupture en cisaillement. Le b´eton pr´esente une r´esistance `a la traction de 2,6 MPa, un module d’Young de 30000 MPa et une r´esistance `a la compression de 40 MPa. Les aciers ont un module d’Young de 200000 MPa et une limite d’´elasticit´e de 450 MPa. Le montage d’essai est constitu´e d’une dalle rigide autour de laquelle un portique de r´eaction a ´et´e positionn´e. Un v´erin d’une capacit´e de 150 kN et d’une course maximale de 150 mm a ´et´e plac´e en zone centrale de l’´eprouvette. Le chargement est contrˆol´e en d´eplacement via le v´erin. Son ´evolution est d´ecrite sur la figure 4.27.

0 10 20 30 40 −2 −1 0 1 2x 10 −3 Pseudo temps Déplacement imposé (m)

Fig. 4.27 – D´eplacement impos´e en fonction du temps.

Il est possible de remarquer que le chargement appliqu´e comporte des cycles d’amplitude va- riable. En effet, ce type de chargement est reconnu comme ´etant caract´eristique d’un s´eisme (LaBorderie, 1991). Par ailleurs, le d´eplacement maximal prescrit est assez faible. Cela est `a rap- procher du fait que la plastification des aciers n’´etait pas souhait´ee pour ´etudier le ph´enom`ene de d´egradation du b´eton. Ce type de chargement est donc complexe et permet de tester de mani`ere avanc´ee les performances des mod`eles propos´es. A titre comparatif, deux mod´elisations ont ´et´e effectu´ees : une mod´elisation simplifi´ee et une mod´elisation locale. Les r´esultats obtenus sont pr´esent´es dans les sections suivantes. Bien que les r´esultats num´eriques pr´esent´es aient ´et´e obtenus pour un grand nombre de cycles, ces derniers sont compar´es `a la courbe enveloppe des r´esultats exp´erimentaux. Ce choix a ´et´e retenu en raison du fait que nous n’avions pas acc`es au fichier de r´esultats exp´erimentaux pour un grand nombre de cycles mais seulement pour deux cycles. Dans ses travaux, (LaBorderie, 1991) a montr´e qu’en l’absence de ph´enom`enes de fatigue, la courbe force/d´eplacement obtenue pour deux cycles enveloppe est bien celle obtenue pour un plus grand nombre de cycles.

Mod´elisation simplifi´ee

L’interface acier/b´eton a ´et´e consid´er´ee comme ´etant parfaite. Une mod´elisation multifibre a donc ´et´e r´ealis´ee en consid´erant 18 ´el´ements poutre maill´es par des quadrangles en section. Un seul ´el´ement dans l’´epaisseur a ´et´e consid´er´e. Cette approche peut donc ˆetre assimil´ee `a une approche de type multi-couches. Les conditions aux limites r´esident en des appuis simples ainsi qu’un d´eplacement vertical impos´e `a mi-trav´ee. L’´evolution de ce dernier a ´et´e d´efinie selon la description r´ealis´ee sur la figure 4.27. Les param`etres mat´eriaux sont donn´es en annexe 1 dans les tableaux A.15 et A.16 pour le b´eton et l’acier respectivement. Les r´esultats obtenus en terme de courbe de r´eaction et de cartographie d’endommagement sont montr´es sur les figures 4.28 et 4.29 respectivement. −2 −1 0 1 2 x 10−3 −3 −2 −1 0 1 2 3 4x 10 4 Flèche à mi−travée (m) Force (N) Résultats numériques Données expérimentales

Fig. 4.28 – Courbe force/fl`eche obtenue pour la poutre test´ee par (LaBorderie, 1991) - approche simplifi´ee.

Fig. 4.29 – Cartographie d’endommagement obtenue pour la poutre test´ee par (LaBorde- rie, 1991) - approche simplifi´ee.

En observant les r´esultats issus de la mod´elisation simplifi´ee, il apparaˆıt que la pr´ediction est sa- tisfaisante. Les r´esultats quantitatifs num´eriques sont globalement contenus dans l’enveloppe exp´erimentale. Par ailleurs, la cartographie d’endommagement pr´esente deux zones endom- mag´ees. Ces derni`eres ont ´et´e sujettes `a de la traction de mani`ere altern´ee, ce qui explique cette forme. Du point de vue exp´erimental, le faci`es pr´esente des fissures exp´erimentales pr`es des v´erins. Bien que d´ecrit de mani`ere tr`es diffuse, ce constat a ´et´e retrouv´e.

Mod´elisation locale

Dans le but d’´evaluer les possibilit´es offertes par le mod`ele de b´eton propos´e pour traiter le cas des chargements cycliques altern´es, une mod´elisation massive a ´et´e r´ealis´ee. Des ´el´ements finis de type quadrangle `a quatre nœuds ont ´et´e utilis´es. Le chargement consid´er´e a ´et´e l’enveloppe du chargement d´ecrit sur la figure 4.27 pour limiter les coˆuts de calculs prohibitifs. Cela semble justifi´e ´etant donn´e l’absence de ph´enom`ene de fatigue. En effet, dans un tel cas, le nombre de cycles n’a pas d’influence sur l’enveloppe de la r´eponse obtenue. Les param`etres mat´eriaux sont donn´es en annexe 1 dans les tableaux A.17 et A.18 pour le b´eton et l’acier respectivement. La cartographie d’endommagement obtenue en fin de chargement ainsi qu’une comparaison de la r´eponse force/d´eplacement avec l’exp´erience sont pr´esent´ees sur les figures 4.30 et 4.31 respecti- vement. Il peut ˆetre observ´e que la cartographie d’endommagement ne permet pas de distinguer clairement les fissures. Ces observations ont ´egalement ´et´e mentionn´ees dans (Matallah et La- Borderie, 2009). En effet, dans l’´etude publi´ee par ces auteurs, une distinction est r´ealis´ee entre endommagement et fissures. Il apparaˆıt nettement que les zones endommag´ees ne pr´esentent

pas obligatoirement de fissures. Le mod`ele propos´e dans le cadre de la pr´esente ´etude ne permet

Fig. 4.30 – Cartographie d’endommagement en fin de chargement obtenue pour la poutre test´ee par (LaBorderie, 1991) - approche locale.

pas une telle distinction. N´eanmoins, une typologie d’endommagement similaire est retrouv´ee. Enfin, il est `a noter que la pr´esente cartographie d’endommagement peut ˆetre rapproch´ee de celle obtenue `a l’aide des mod`eles simplifi´es.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10−3 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 Déplacement (m) Force (N) Données expérimentales Résultats numériques

Fig. 4.31 – Courbe force/d´eplacement obte- nue pour le poutre test´ee par (LaBorderie, 1991) - approche locale. −3 −2 −1 0 1 2 3 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Déplacement (mm) Force (kN)

Fig. 4.32 – Mise en ´evidence de l’effet uni- lat´eral partiel - approche locale.

Il est possible d’observer que la r´eponse globale en terme de force/d´eplacement est en ad´equation avec les donn´ees exp´erimentales. Toutefois, si la poutre est charg´ee de mani`ere plus importante, il apparaˆıt que l’effet unilat´eral partiel ne suffit plus : un effet unilat´eral total est requis. Cette remarque est ´etay´ee par le r´esultat pr´esent´e sur la figure 4.32. En effet, pour illustrer le caract`ere partiel de l’effet unilat´eral, la mˆeme simulation a ´et´e r´ealis´ee mais `a un niveau de chargement plus important (35 kN). Une d´echarge a ´et´e r´ealis´ee jusqu’`a atteindre un d´eplacement `a mi- trav´ee de signe oppos´e. Il peut ˆetre constat´e que la refermeture des fissures ne s’effectue plus de mani`ere pertinente, une perte d’environ 10 kN est constat´ee. Cela permet donc de mettre en lumi`ere le fait que, dans le cas des chargements d’intensit´e importante, un effet unilat´eral partiel ne suffit plus.

Les r´esultats, non seulement qualitatifs mais aussi quantitatifs, apparaissent comme satisfai- sants par rapport `a l’exp´erience. N´eanmoins, comme cela a ´et´e signal´e, ces constats sont en partie dus au fait que la poutre est faiblement charg´ee et que la prise en compte d’un unilat´eral partiel suffit. Cela n’est plus vrai d`es lors que le chargement devient plus important.

4.5.3 Bilan

Dans cette section, deux ´el´ements de structures en b´eton arm´e ont ´et´e analys´es. En premier lieu, une ´etude simplifi´ee d’une poutre en b´eton arm´e test´ee en flexion trois points cyclique r´ep´et´ee par (Ragueneau, 1999) a ´et´e pr´esent´ee. Dans le but de comparer les mod`eles simplifi´es avec et sans prise en compte d’une interface imparfaite, deux cas de simulation ont ´et´e r´ealis´es : sans et avec interface imparfaite. Il apparaˆıt que les r´esultats exp´erimentaux sont globalement retrouv´es. En r´ealit´e, ces derniers sont encadr´es par les r´esultats num´eriques obtenus dans les deux cas mentionn´es. Par ailleurs, les cartographies d’endommagement correspondantes sont diff´erentes. Les fissures sont davantage visibles dans le cas o`u l’interface acier/b´eton est imparfaite. Pour ´evaluer la sensibilit´e de la r´eponse aux incertitudes qui entˆachent les donn´ees d’entr´ee du mod`ele, une ´etude probabiliste a ´et´e conduite. En outre, l’intervalle de confiance `a 90 % a ´et´e calcul´e. Il apparaˆıt que la r´eponse exp´erimentale n’est contenue `a l’int´erieur ni en phase ´elastique ni en phase de tension stiffening. En revanche, en phase de plastification des aciers, les donn´ees exp´erimentales sont bien contenues dans l’intervalle de confiance `a 90 %. Sur la base de cet exemple d’´el´ement de structure, des ´el´ements de validation des mod`eles simplifi´es propos´es ont donc ´et´e obtenus. En second lieu, dans le but de tester les possibilit´es offertes dans le cas de chargements cycliques altern´es, une poutre soumise `a de la flexion trois points a ´et´e analys´ee. Deux simulations ont ´et´e conduites, une premi`ere `a l’aide de mod`eles simplifi´es avec interface parfaite et une seconde `a l’aide de mod`eles locaux. D’une mani`ere g´en´erale, il apparaˆıt que les r´esultats num´eriques quantitatifs obtenus `a l’aide des deux approches sont en accord avec l’exp´erience. N´eanmoins, dans le cas de l’approche locale, il est apparu que la r´eponse num´erique pr´esente une sensibilit´e importante `a la finesse du maillage choisie. De plus, l’effet unilat´eral partiel ne suffit plus si le chargement est augment´e de mani`ere plus importante que celui prescrit dans les travaux de (LaBorderie, 1991). Les cartographies d’endommagement obtenues dans les deux cas de simulation sont voisines et peuvent ˆetre rapproch´ees de celles de (Matallah et LaBorderie, 2009). N´eanmoins, contrairement au cas du mod`ele propos´e par (Matallah et LaBorderie, 2009), aucune distinction entre zones endommag´ee et fissur´ee n’est possible avec le mod`ele de b´eton propos´e. Cela explique, au moins en partie, pourquoi les fissures n’ont pu ˆetre visualis´ees avec pr´ecision. Les r´esultats acquis sur la base de cet exemple permettent d’apporter quelques ´el´ements de validation des mod`eles propos´es dans le cas de chargements cycliques r´ep´et´es et altern´es.