Probl`emes de martingales - Convergence des trajectoires discr`etes

3.2 Convergence des trajectoires discr`etes

3.2.3 Probl`emes de martingales

En dimension supérieure, on rappelle qu’une trajectoire quantique discrète décrivant la mesure d’une observable de la forme A =Pp

i=0λiPi est d´ecrite par

ρk+1 = p X i=0 Li(ρk) T r[Li(ρk)]¹ i k+1. (3.25)

Les trajectoires quantiques continues sont, elles, décrites par ρJ t = ρ0+ Z L(ρJ s−)ds + X i∈JS{0} Z t 0 hi(ρJ s−)dWi(s) +X i∈I Z t 0 Z R gi(ρJ s−)1_0<x<v i(ρJs−) [Ni(dx, ds)− dxds] , (3.26) dans le cas où I 6= ∅ et ρJ t = ρ0+ Z L(ρJ s−)ds + p X i=1 Z t 0 Z R gi(ρJ s−)1_0<x<v_i_(ρJ s−)[Ni(dx, ds)− dxds] . (3.27) dans le cas où I =∅.

Pour montrer la convergence des trajectoires quantiques discrètes vers les trajectoires quantiques continues, les méthodes utilisées dans le cadre classique des équations de Be-lavkin ne sont pas applicables (en tout cas pas de manière aisée).

Le principal obstacle réside dans le fait qu’en dimension supérieure, la description de l’équation discrète ne se prête pas à une écriture en termes d’équations différentielles sto-chastiques discrètes.

En effet, pour mettre en place une telle description cela imposerait d’orthonormaliser la base (1^k+1₀ , . . . , 1^k+1_p ) de L²({0 . . . , p},^P^pi=0pi(ρk)δi) comme nous l’avons fait en intro-duisant les variables (Xk) pour les ´equations classiques.

Cependant, même avec une telle orthonormalisation, il faut ensuite réorganiser les termes Li(ρk) pour écrire l’équation discrète avec la base orthonormalisée. Or il n’ap-paraˆıt pas dans cette manière de procéder d’écriture pratique et utilisable pour parvenir à un résultat de convergence digeste.

En outre, même si une telle écriture était envisageable, elle ne serait pas réellement utilisable que dans deux cas d’équation continues. En effet, elle permettrait de traiter le cas où il n’y aurait que des bruits browniens à la limite ; on utiliserait alors un théorème de Donsker multidimensionnel pour obtenir la convergence des bruits discrets puis un argument du type Kurtz et Protter. Elle permettrait également de traiter le cas où il n’y a que des processus de Poisson à la limite ; il s’agirait ici de réaliser le processus discret et le processus continu dans le même espace et de comparer le processus discret à un schéma d’Euler.

Traiter ces deux cas extrêmes reviendrait donc à adapter les méthodes utilisées dans le cas classique. Or, il apparaˆıt clairement que la méthode utilisée pour le cas diffusif ne s’adapte pas pour le cas avec sauts et inversement. On peut donc en déduire qu’il semble difficile de trouver un compromis entre les deux méthodes pour traiter le cas où il y a un mélange de brownien et de Poisson.

Néanmoins, il existe un moyen d’unifier ces deux méthodes en utilisant la notion de problèmes de martingales ([Jac79],[EK86],[JS03],[CFY05]). En effet, on peut interpréter les processus limites des trajectoires quantiques (en toute dimension) comme solutions de problèmes de martingales. Comme nous le verrons un problème de martingale est associé à la donnée d’un générateur infinitésimal (générateurs des processus de Markov).

La partie suivante est consacrée à l’étude des générateurs associés aux trajectoires quantiques.

Convergence des g´en´erateurs de Markov

Dans cette section, nous allons définir les générateurs infinitésimaux qui seront en-suite associés aux trajectoires quantiques continues par l’intermédiaire des problèmes de martingales. Ces générateurs sont obtenus comme limites des générateurs des trajectoires quantiques discrètes. Nous allons maintenant les définir.

On considère donc une trajectoire quantique (ρ_k) obtenue par mesures répétées d’une observable A =P

i=0λiPi dont l’état initial est ρ0. On rappelle que A peut s’écrire sous la forme A = λ0+X I∈I λiPi+X j∈J λjPj, où I ={i ∈ {1, . . . , p}/pi 00 6= 0} et J = {1, . . . , p} \ I.

On consid`ere h = 1/n le temps d’interaction. A partir de la chaˆıne de Markov (ρk) d´efinie sur l’espace (ΣN^⋆

,C, P ) (cf chapitre 1 section 1.4.2), on d´efinit le processus (ρn(t) = ρ[nt]). Ce processus satisfait

P [ρn(0) = ρ] = 1 (3.28)

P [ρn(s) = ρk, k/n≤ s < (k + 1)/n] = 1 (3.29) P [ρk+1 ∈ ΓM⁽ⁿ⁾k ] = Πn(ρk, Γ) (3.30) o`u Πn(ρ, .) est le noyau de transition de la chaˆıne de Markov (ρk). Il est donn´e par

Πn(ρ, Γ) =

i=0

pⁱ(ρ)δ_Li(ρ)(Γ) (3.31)

pour tout bor´elien de Γ ∈ Bor(MN +1(C)) (on rappelle que H0 ≃ CN +1 et que les ´etats forment un sous ensemble compact de M_{N +1}(C)).

On définit le générateur de Markov du processus (ρn(t)) de la manière suivante. On no-tera C2

`a valeurs dans R. Pour toute fonction f ∈ C2

c et tout ´etat ρ sur H0, on pose Anf (ρ) = n

(f (µ)− f(ρ))Πn(ρ, dµ).

L’opérateur An est le générateur de Markov de (ρn(t)). On a alors pour tout f ∈ C2 c et pour tout état ρ

Anf (ρ) = n

i=0

f (Li(ρ))− f(ρ)pⁱ(ρ).

Dans l’article [Pel08c] concernant ce sujet, on fait une identification entre E = MN +1(C) et R^p où p = 2^{(N +1)}². Cette identification est un artifice plutôt technique et n’apparaˆıt pas dans les résultats finaux (mis à part sous la forme d’une remarque sur laquelle nous reviendrons dans ce rapport).

Pour déterminer les générateurs des trajectoires quantiques continues, on considère la limite deAnquand n tend vers l’infini. On a la proposition suivante basée sur la description des asymptotiques décrites dans la section 2.2.1 du chapitre 2.

Proposition 3.3 (Proposition 2 de [Pel08c]) Soit (ρJ

n(t)) la trajectoire quantique ob-tenue par mesures répétées d’une observable A de la forme

A = λ0 +X I∈I λiPi+X j∈J λjPj et soit AJ

n son générateur de Markov. On a les résultats de convergence suivants. 1. Si I ={1, . . . , p}, on a pour tout f ∈ C2 c : lim n→∞sup ρ∈S AJ nf (ρ)− AJf (ρ) _(3.32)

où AJ est un opérateur infinitésimal défini par A^Jf (ρ) = Dρf L(ρ) + Z E f ρ + µ − f(ρ) − Dρf (µ) Π(ρ, dµ). (3.33) Le terme Π désigne un noyau de transition défini par

Π(ρ, dµ) = p X i=1 vi(ρ)δgi(ρ)(dµ). 2. Si I 6= {1, . . . , p}, on a pour tout f ∈ C2 c(E) : lim n→∞sup ρ∈S AJ nf (ρ)− A^Jf (ρ) (3.34)

où AJ est un opérateur infinitésimal défini par A^Jf (ρ) = D_ρf (L(ρ)) +¹ 2 X i∈JS{0} D_ρ²f (h_i(ρ), h_i(ρ)) + Z E [f (ρ + µ)− f(ρ) − Dρf (µ)] Π(ρ, dµ), (3.35) Le terme Π désigne un noyau de transition défini par

Π(ρ, dµ) =X

i∈I

v_i(ρ)δ_g_i_(ρ)(dµ).

Voila donc les différentes expressions concernant les générateurs limites. Ceux-ci vont nous permettre de décrire les processus limites dans la section suivante.

Probl`emes de martingales

Dans cette section, on présente comment définir un modèle stochastique, en théorie de la mesure quantique de type continu, à partir de la solution d’un problème de martingale. Pour tout processus (ρt), on notera Ft^ρ = σ(ρs, s ≤ t). Dans notre situation la notion de problème de martingale s’exprime de la fa¸con suivante.

Définition 3.4 Soit I et J deux sous ensembles formant une partition de {1, . . . , p}, soit AJ le générateur correspondant, défini dans la proposition 3.3 et soit ρ0 un état sur H0.

Soit (Ω,F, P ) un espace de probabilit´e. Alors le processus (ρt) est solution du probl`eme de martingale (AJ, ρ0) si le processus

f := f (ρ_t)− f(ρ0)− Z t

0 AJf (ρ_s)ds est une Ft^ρ martingale pour tout f ∈ C2

On dira que le probl`eme de martingale admet une unique solution si toutes les solutions ont mˆeme loi.

Dans cette définition, il est important de préciser que définir une solution pour un problème de martingale nécessite de définir également un espace de probabilité (Ω,F, P ). Les solutions des problèmes de martingale, dans notre situation, sont donc données par les équations différentielles décrites dans la section 2.3.5.

Théorème 3.4 (Proposition 3 et Théorème 3 de [Pel08c]) Soit (Ω,F, P ) un es-pace de probabilité sur lequel vivent un mouvement brownien p + 1 dimensionnel (Wt) = (W0(t), . . . , Wp(t)) et p processus de Poisson (Ni), i = 1, . . . , p mutuellement indépendants et indépendants du mouvement brownien.

Alors dans le cas I 6= ∅, le processus (ρJ t) solution de ρJ t = ρ0+ Z L(ρJ s−)ds + X i∈JS{0} Z t 0 hi(ρJ s−)dWi(s) +X i∈I Z t 0 Z R gi(ρJ s−)1_0<x<v_i₍_ρJs−) [Ni(dx, ds)− dxds] . (3.36) est la solution du probl`eme de martingale pour (AJ, ρ0) dans le cas o`u

AJf (ρ) = Dρf (L(ρ)) +¹ 2 X i∈JS{0} D_ρ²f (hi(ρ), hi(ρ)) + Z E [f (ρ + µ)− f(ρ) − Dρf (µ)] Π(ρ, dµ). Dans le cas I =∅, le processus (ρJ

t) solution de ρJ t = ρ0+ Z L(ρJ s−)ds + p X i=1 Z t 0 Z R gi(ρJ s−)1_0<x<v i(ρJs−) [Ni(dx, ds)− dxds] . est la solution du probl`eme de martingale pour (AJ, ρ₀) dans le cas o`u

AJf (ρ) = Dρf (L(ρ)) + Z

[f (ρ + µ)− f(ρ) − Dρf (µ)] Π(ρ, dµ).

Dans ce théorème il y a deux choses à vérifier. Premièrement que la solution de l’équation différentielle stochastique répond bien au problème de martingale et deuxième-ment que le problème de martingale admet une unique solution.

Concernant la première partie il s’agit d’une conséquence de la formule d’Ito pour les processus stochastiques. La deuxième partie vient du fait que la solution de l’équation différentielle est unique (cf [EK86]).

Nous allons finir cette sous-section par quelques remarques.

La première concerne l’unicité en loi du problème de martingale et l’identification entre E = MN +1(C) et R2(N +1)2

. Classiquement, dans la littérature concernant les générateurs de Markov, on définit ces générateurs de la manière suivante

Af(ρ) = 2(N +1)2 X i=1 bi(ρ)^{∂f (ρ)} ∂ρi +¹ 2 2(N +1)2 X i,j=1 aij(ρ)^{∂f (ρ)} ∂ρi∂ρj + Z R2(N +1)²  f(ρ + µ) − f(ρ) − 2(N +1)2 X i=1 µ_i^{∂f (ρ)} ∂ρi   Π(ρ, dµ), (3.37)

où la matrice a(.) = (aij(.)) est semi définie positive et mesurable et où les bi(.), i = 1, . . . , 2(N +1)2

sont des fonctions mesurables. Ici le noyau de transition est d´efini sur R2(N +1)2 , il satisfait

Π(ρ, dµ) =X

i∈I

vi(ρ)δ_g_i_(ρ)(dµ).

Il faut remarquer que dans cette ´ecriture les fonctions giet vi sont des fonctions d´efinies sur R2(N +1)2

`a valeurs dans R2(N +1)2 .

Si on développe les termes Df et D2f dans l’expression des générateurs de Markov limites, alors il est évident que l’on obtient une expression similaire à celle-ci.

Etudions donc la forme de la solution du probl`eme de martingale dans une telle confi-guration.

Pour résoudre le problème de martingale associé à ce type de générateur, on considère un espace (Ω,F, P ) sur lequel vivent alors un mouvement brownien 2(N +1)2

dimensionnel (Wt) et p processus de Poisson Ni, i = 1 . . . , p mutuellement indépendants et indépendants de W . On pose la matrice σ(.) telle que σ(.)σt(.) = a(.), on pose b(.) = (b1(.), . . . , b₂(N +1)2(.)) et on définit l’équation différentielle stochastique

ρJ t = ρ₀+ Z t 0 b(ρJ s−)ds + Z t 0 σ(ρJ s)dW_s +X k∈I Z t 0 Z R gk(ρJ s−)1_0<x<v_k_(ρJ s−)[Nk(dx, ds)− dxds] . (3.38) Ici le processus (ρJ

t) est `a valeurs dans R2(N +1)2 .

Il est donc int´eressant de remarquer que l’on a besoin ici d’un mouvement brow-nien 2(N +1)2

dimensionnel dépendant de la dimension de H0, alors que dans l’expression précédente, on travaillait avec un mouvement p + 1 dimensionnel qui dépendait du nombre de valeurs propres de l’observable A de H.

Ainsi, nous avions p ≤ K. Le paramètre K est en réalité imposé par les conditions de l’expérience physique alors que le paramètre 2(N +1)2

(même si N correspond à la dimension deH0) est purement mathématique.

La deuxième remarque concerne le fait que le théorème 3.4 redonne l’expression des équations classiques. On retrouve immédiatement l’expression dans le cas avec sauts si on applique ces résultats en dimension 2 avec une observable diagonale, alors que l’on a une expression faisant intervenir deux browniens dans l’équation diffusive. En réalité on peut observer ici que les coefficients devant le mouvement brownien satisfont h0 = −h1

et retrouver la même expression. Fermons ici ces parenthèses qui relèvent plus de simples constatations que de fait profonds.

Convergence des trajectoires discr`etes

Introduisons ici les outils permettant de conclure quant à la convergence des processus (ρn(t) vers les solutions des équations différentielles stochastiques. Nous allons ici procéder

de manière plus classique en théorie de la convergence des processus. Nous allons, en effet, montrer que les lois fini-dimensionnelles des trajectoires quantiques discrètes convergent vers les lois fini-dimensionnelles des solutions des équations différentielles stochastiques. Puis pour conclure nous montrerons que les trajectoires quantiques sont des processus relativement compacts (propriété de tension).

Rappelons que l’on a définit les modèles continus à partir de la donnée de générateurs infinitésimaux provenant de la convergence des générateurs des trajectoires quantiques discrètes. Il est donc naturel que la convergence des processus discrets vers les proces-sus continus s’appuie sur la convergence de ces générateurs. Le résultat, concernant les générateurs, associé à l’unicité de la solution (en loi) du problème de martingale va nous permettre de montrer la convergence des lois fini-dimensionnelles. Nous résumons ici les résultats concernant le théorème 4 et les propositions 5 et 6 de l’article [Pel08c].

Théorème 3.5 Soit ρ0 un état sur H0. Soit AJ le générateur infinitésimal du processus de Markov (ρJ

t) solution de l’´equation diff´erentielle stochastique

ρJ t = ρ0+ Z L(ρJ s−)ds + X i∈JS{0} Z t 0 hi(ρJ s−)dWi(s) +X i∈I Z t 0 Z R gi(ρJ s−)1_0<x<v_i₍_ρJs−) [Ni(dx, ds)− dxds] . Soit (ρJ

n(.)) la trajectoire quantique discrète correspondant à cette équation (celle dont le générateur permet, à la limite, de définir AJ). Soit Fn

t le filtration naturelle associ´ee au processus (ρ_n(t)).

Alors le processus (ρJ

n(.)) est (Fn

t) adapt´e et pour tout m≥ 0, pour tout 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tm ≤ t < t + s, pour toutes fonctions (θi)i=1,...,m et pour toute fonction f in C2

c on a : lim n→∞E " f (ρJ n(t + s))− f(ρJ n(t))− Z t+s t AJf (ρJ n(s)) Ym i=1 θi(ρJ n(ti)) # = 0. (3.39) De plus le processus (ρJ

n(.)) est relativement compact.

En conclusion, comme le probl`eme de martingale (AJ, ρ0) admet une unique solution, la trajectoire quantique discr`ete (ρJ

n(.)) converge en loi vers la trajectoire quantique continue (ρJ

t).

Donnons quelques éléments permettant de montrer la convergence en loi à partir des conditions satisfaites par la trajectoire quantique discrète (ρJ

t).

La condition (3.39) provient de fa¸con naturelle de la convergence des générateurs (la démonstration de ce résultat est facilitée par le caractère uniforme de la convergence des générateurs). C’est cette propriété qui exprime la convergence des lois fini-dimensionnelles de (ρJ

n(t)). La relative compacit´e nous permet alors de conclure `a la convergence en lois des processus.

Cette démarche est classique dans ce type de conclusion, dans les cas classiques ces propriétés sont également satisfaites mais elles n’interviennent pas directement dans les preuves.

En effet, comme la suite de processus (ρJ

t) est relativement compact, si (Yt) d´esigne un procesus limite d’une suite extraite de (ρJ

n(t)), alors la convergence en loi de la sous suite extraite et la condition (3.39) impliquent n´ecessairement

E " f (Yt+s)− f(Yt)− Z t+s t AJf (Ys) Ym i=1 θi(Yti) # = 0, (3.40)

pour tout m ≥ 0, pour tout 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tm ≤ t < t + s, pour toutes fonctions (θi)i=1,...,m et pour toute fonction f in C2

La condition (3.40), satisfaite par le processus (Yt), entraˆıne le fait que ce processus est un processus de Markov et qu’il est solution du problème de martingale (AJ, ρ0). En conséquence, par unicité du problème de martingale, les processus (Yt) et (ρJ

t) ont mˆeme loi. Ainsi toute sous suite extraite de (ρJ

n(t)) ,qui converge en loi, converge en loi vers (ρJ

t). La propriété de relative compacité entraˆıne la convergence en loi de la suite (ρJ

n(t)) vers (ρJ

t). Remarque La solution du problème de martingale associée à (AJ, ρ0) est un processus de Markov par rapport à sa filtration naturelle. Cela vient naturellement du fait que AJ

définit un générateur de Markov et que le problème de martingale associé à ce générateur admet une unique solution (cf [EK86]).

Ceci conclue la première partie correspondant à un exposé des notions utilisées dans l’ensemble de nos résultats. La deuxième partie est consacrée à la présentation de 5 articles qui reprennent en détails tous les résultats exposés dans le chapitre 2 avec les preuves complètes.

[AJ07] S. Attal and A. Joye. The Langevin equation for a quantum heat bath. J. Funct. Anal., 247(2) :253–288, 2007.

[AJP06a] S. Attal, A. Joye, and C.-A. Pillet, editors. Open quantum systems. I, volume 1882 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2006. Recent developments, Lecture notes from the Summer School held in Grenoble, June 16–July 4, 2003.

[AJP06b] S. Attal, A. Joye, and C.-A. Pillet, editors. Open quantum systems. II, volume 1882 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2006. Recent developments, Lecture notes from the Summer School held in Grenoble, June 16–July 4, 2003.

[AJP06c] S. Attal, A. Joye, and C.-A. Pillet, editors. Open quantum systems. III, volume 1882 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2006. Recent developments, Lecture notes from the Summer School held in Grenoble, June 16–July 4, 2003.

[AP05] S. Attal and Y. Pautrat. From (n+1)-level atom chains to n-dimensional noises. Ann. Inst. H. Poincar´e Probab. Statist., 41(3) :391–407, 2005.

[AP06] S. Attal and Y. Pautrat. From repeated to continuous quantum interactions. Ann. Henri Poincar´e, 7(1) :59–104, 2006.

[AP08] S. Attal and C. Pellegrini. Return to equilibrium and heat baths for quantum trajectories. 2008.

[Att03] S Attal. Approximating the Fock space with the toy Fock space. In S´eminaire de Probabilit´es, XXXVI, volume 1801 of Lecture Notes in Math., pages 477–491. Springer, Berlin, 2003.

[Att08] S Attal. The Theory of Quantum Noises. book to appear. Springer Verlag, 2008.

[Bar89] A. Barchielli. Probability operators and convolution semigroups of instruments in quantum probability. Probab. Theory Related Fields, 82(1) :1–8, 1989. [Bar91] A. Barchielli. Applications of quantum stochastic calculus to quantum optics.

In Quantum probability & related topics, QP-PQ, VI, pages 111–125. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1991.

[Bar93a] A. Barchielli. Quantum stochastic calculus, measurements continuous in time, and heterodyne detection in quantum optics. In Classical and quantum systems (Goslar, 1991), pages 488–491. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1993.

[Bar93b] A. Barchielli. Stochastic differential equations and a posteriori states in quan-tum mechanics. In Proceedings of the International Quanquan-tum Structures Asso-ciation, Part II (Castiglioncello, 1992), volume 32, pages 2221–2233, 1993. [Bar94] A. Barchielli. Some stochastic differential equations in quantum optics and

measurement theory : the case of counting processes. In Stochastic evolution of quantum states in open systems and in measurement processes (Budapest, 1993), pages 1–14. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994.

[Bar06] A Barchielli. Continual measurements in quantum mechanics and quantum stochastic calculus. In Open quantum systems. III, volume 1882 of Lecture Notes in Math., pages 207–292. Springer, Berlin, 2006.

[BB91] A. Barchielli and V. P. Belavkin. Measurements continuous in time and a posteriori states in quantum mechanics. J. Phys. A, 24(7) :1495–1514, 1991. [Bel99] V. P. Belavkin. Measurement, filtering and control in quantum open dynamical

systems. Reports on Mathematical Physics, 45 :353, 1999.

[Bel02] V. P. Belavkin. Quantum causality, stochastics, trajectories and information. Rep. Progr. Phys., 65(3) :353–420, 2002.

[Bel03] V. P. Belavkin. Quantum trajectories, state diffusion, and time-asymmetric eventum mechanics. Internat. J. Theoret. Phys., 42(10) :2461–2485, 2003. Fourth and Fifth Workshop on Time Asymmetric Quantum Theory (Jaca, 2001/Trieste, 2002).

[BGM04] L Bouten, M Gut¸˘a, and H Maassen. Stochastic Schr¨odinger equations. J. Phys. A, 37(9) :3189–3209, 2004.

[Bil99] P. Billingsley. Convergence of probability measures. Wiley Series in Probability and Statistics : Probability and Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, second edition, 1999. A Wiley-Interscience Publication.

[BL94] N. Bouleau and D. L´epingle. Numerical methods for stochastic processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics : Applied Probability and Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1994. A Wiley-Interscience Publication.

[BL04] A. Barchielli and G. Lupieri. Instrumental processes, entropies, information in quantum continual measurements. Quantum Inf. Comput., 4(6-7) :437–449, 2004.

[BL06] A. Barchielli and G. Lupieri. Quantum measurements and entropic bounds on information transmission. Quantum Inf. Comput., 6(1) :16–45, 2006.

[BLP05] N. Bruti-Liberati and E. Platen. On the strong approximation of jump-diffusion processes. Research Paper Series 157, Quantitative Finance Re-search Centre, University of Technology, Sydney, April 2005. available at http ://ideas.repec.org/p/uts/rpaper/157.html.

[BMK03] L. Bouten, H. Maassen, and B. Kuemmerer. Constructing the davies process of resonance fluorescence with quantum stochastic calculus. Optics and Spec-troscopy, 94 :911, 2003.

[BP96] A. Barchielli and A. M. Paganoni. A note on a formula of the L´evy-Khinchin type in quantum probability. Nagoya Math. J., 141 :29–43, 1996.

[BP02] A. Barchielli and A. Paganoni. Stochastic differential equations for trace-class operators and quantum continual measurements. In Stochastic partial differen-tial equations and applications (Trento, 2002), volume 227 of Lecture Notes in Pure and Appl. Math., pages 53–67. Dekker, New York, 2002.

[BPZ98] A. Barchielli, A. M. Paganoni, and F. Zucca. On stochastic differential equa-tions and semigroups of probability operators in quantum probability. Stochas-tic Process. Appl., 73(1) :69–86, 1998.

[BR87] O Bratteli and D. W. Robinson. Operator algebras and quantum statistical mechanics. 1. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1987. C∗- and W∗-algebras, symmetry groups, decomposition of states.

[BR97] O Bratteli and D. W. Robinson. Operator algebras and quantum statistical mechanics. 2. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1997. Equilibrium states. Models in quantum statistical mechanics. [BvH05] L. Bouten and R. van Handel. Quantum filtering : a reference probability

approach, 2005.

[BvHJ06] L. Bouten, R. van Handel, and M. James. An introduction to quantum filtering, 2006.

[BZ96] A. Barchielli and F. Zucca. On a class of stochastic differential equations used in quantum optics. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 66 :355–376 (1998), 1996. [CFY05] P. Cheridito, D. Filipovi´c, and M. Yor. Equivalent and absolutely continuous

measure changes for jump-diffusion processes. Ann. Appl. Probab., 15(3) :1713– 1732, 2005.

[Dav76] E. B. Davies. Quantum theory of open systems. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], London, 1976.

[EK86] S. N. Ethier and T. G. Kurtz. Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics : Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1986. Characterization and convergence.

[GBS05] J. Gough, V. P. Belavkin, and O. G. Smolyanov. Hamilton-Jacobi-Bellman equations for quantum optimal feedback control. J. Opt. B Quantum Semiclass. Opt., 7(10) :S237–S244, 2005.

[GKG+07] S Gleyzes, S. Kuhr, C. Guerlin, J. Bernu, S. Deleglise, U. Busk Hoff, M. Brune, J. M. Raimond, and S. Haroche. Quantum jumps of light recording the birth and death of a photon in a cavity, 2007.

[GP01] D Gottesman and J Preskill. Secure quantum key distribution using squeezed states. Physical Review A, 63 :022309, 2001.

[Har03] S. Haroche. Quantum information in cavity quantum electrodynamics : logi-cal gates, entanglement engineering and ‘Schr¨odinger-cat states’. R. Soc. Lond. Philos. Trans. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 361(1808) :1339–1347, 2003. Prac-tical realizations of quantum information processing (London, 2002).

[HP84] R. L. Hudson and K. R. Parthasarathy. Quantum Ito’s formula and stochastic evolutions. Comm. Math. Phys., 93(3) :301–323, 1984.

[HR06] S Haroche and J-M Raimond. Exploring the quantum. Oxford Graduate Texts. Oxford University Press, Oxford, 2006. Atoms, cavities and photons.

[Jac79] J. Jacod. Calcul stochastique et probl`emes de martingales, volume 714 of Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1979.

[Jac04] J. Jacod. The Euler scheme for L´evy driven stochastic differential equations : limit theorems. Ann. Probab., 32(3A) :1830–1872, 2004.

[JKMP05] J. Jacod, T. G. Kurtz, S. Méléard, and P. Protter. The approximate Euler method for Lévy driven stochastic differential equations. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 41(3) :523–558, 2005.

[JP82] J. Jacod and P. Protter. Quelques remarques sur un nouveau type d’´equations diff´erentielles stochastiques. In Seminar on Probability, XVI, volume 920 of Lecture Notes in Math., pages 447–458. Springer, Berlin, 1982.

[JS03] J. Jacod and A. N. Shiryaev. Limit theorems for stochastic processes, volume 288 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Prin-ciples of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 2003. [KM98] B. K¨ummerer and H. Maassen. Elements of quantum probability. In Quantum

Dans le document Existence, unicité et approximation des équations de Schrödinger stochastiques. (Page 105-126)