3.1 Existence et unicit´e des solutions
3.1.2 M´ethode de troncature
Tn=∞ p.s.
On d´efinit alors la solution (ρt) de l’´equation avec sauts en posant
ρt= ρ(n)t sur [0, ˜Tn[.
Cette solution est donc bien d´efinie pour tout instant t. Dans la section suivante, une m´ethode g´en´erale de troncature qui permet de statuer sur l’existence de solutions pour les ´equations de Schr¨odinger stochatisques. Cette m´ethode permet, entre autres, de montrer l’existence d’une solution pour la partie ´equation diff´erentielle ordinaire de l’´equation avec sauts.
Pour de plus amples d´etails sur les ´equations o`u interviennent des processus de comptage avec intensit´e stochastique, le lecteur pourra consulter [JP82]. Pour le cas plus sp´ecifique de l’´equation de Belavkin avec sauts, nous renvoyons `a notre article [Pel08b].
3.1.2 M´ethode de troncature
Dans toutes les ´equations diff´erentielles que nous avons d´ecrites la majorit´e des fonc-tions d´efinissant ces ´equafonc-tions ne sont pas lipschitziennes. On ne peut donc pas appliquer directement les th´eor`emes classiques concernant l’existence et l’unicit´e de solutions pour des ´equations diff´erentielles stochastiques ([JS03],[Pro04],[SV06]). Il faut donc modifier ces ´equations afin de pouvoir exhiber une solution, notamment en utilisant une m´ethode de troncature.
D´ecrivons cette m´ethode dans le cas des ´equations de Schr¨odinger stochastiques de dimension sup´erieure ou ´egale `a 2 relatives `a la section 2.3.3. La forme la plus g´en´erale est d´ecrite par ρt = ρ0+ Z t 0 L(ρs−)ds + X i∈JS{0} Z t 0 hi(ρs−)dWi(s) +X i∈I Z t 0 Z R gi(ρs−)10<x<vi(ρs−)[Ni(dx, ds)− dxds] = ρ0+ Z t 0 L(ρs−)−X i∈I gi(ρs−)vi(ρs−) ds + X i∈JS{0} Z t 0 hi(ρs−)dWi(s) +X i∈I Z t 0 Z R gi(ρs−)10<x<vi(ρs−)Ni(dx, ds). (3.4)
Rappelons que I et J forment une partition de{1, . . . , p.} et que l’on travaille sur un espace (Ω,F, P ) sur lequel vivent un mouvement brownien p + 1 dimensionnel W = (W0, . . . , Wp) et p processus de Poisson (Ni)i∈{1,...,p}ind´ependants et ind´ependants de W . Il est int´eressant
de remarquer que chaque Ni d´efinit une mesure al´eatoire de Poisson et que les r´esultats de 3.1.1 restent valables.
Comme nous l’avons ´evoqu´e dans la section 3.1.1, pour r´esoudre ce type d’´equation, il faut pouvoir r´esoudre l’´equation diff´erentielle stochastique
ρt = ρ0+ Z t 0 L(ρs−)−X i∈I gi(ρs−)vi(ρs−) ds + X i∈JS{0} Z t 0 hi(ρs−)dWi(s). (3.5)
Soulignons que dans la section 3.1.1, l’´equation dont on consid´erer la solution ´etait une ´equation diff´erentielle ordinaire qui est un cas particulier de ce type d’´equation (il n’y a pas de parties browniennes...). De mˆeme, dans les ´equations ne comportant que des bruits poissoniens, il faut pouvoir r´esoudre seulement la partie ´equation diff´erentielle ordinaire.
Une condition suffisante pour qu’une telle ´equation admette une unique solution est le fait que les coefficients qui d´efinissent cette ´equation soient Lipschitz. Or d’apr`es l’expres-sion des diff´erentes fonctions (cf section 2.3.5), il apparaˆıt clairement que ces coefficients sont C∞ mais pas Lipschitz.
Pour rendre ces coefficients Lipschitz, on utilise une m´ethode de troncature. Pour cela on d´efinit une fonction dite de troncature ; pour k∈ N⋆, on pose
φk(x) = −k1x<−k + x1−k≤x≤k+ k1x>k, pour tout x∈ R.
Dans le cas o`u on travaille avec des processus `a valeurs dans les op´erateurs sur H0 = CN +1, pour toute matrice M = (Mij)0≤i,j≤N on pose
˜
φk(M ) = (φk(Re(Mij)) + iφk(Im(Mij)))0≤i,j≤N.
Soit f une fonction d´efinie sur B(H0), on d´efinit fk = f ◦ φk. Ainsi si f est localement lipschitzienne, alors fk est lipschitzienne. Comme les fonctions L, givi et hi sont C∞, elles sont localement lipschitziennes.
Fixons k ∈ N⋆, l’´equation diff´erentielle stochastique suivante ρt = ρ0 + Z t 0 Lk(ρs−)−X i∈I gik(ρs−)vik(ρs−) ds + X i∈JS{0} Z t 0 hki(ρs−)dWi(s) (3.6)
admet une unique solution que l’on notera (ρk
t) et qui est continue. On note ρk
t(ij) les coefficients de la matrice ρk
t. On pose alors
Tk= inf{t > 0, ∃(i, j) ∈ {0, . . . , N}2/|Re(ρkt(ij))| = k ou |Im(ρkt(ij))| = k}.
Comme ρ0 est un ´etat, pour tout (i, j)∈ {0, . . . , N}2 on a|ρ0(ij)| ≤ 1. Ainsi par continuit´e de la solution (ρk
t) on a Tk > 0. De plus, par d´efinition sur [0, Tk[ on a |Re(ρk
t(ij))| < k et |Im(ρk
t(ij))| < k, donc pour tout t ∈ [0, Tk[ on a ˜
Ainsi le processus (ρk
t) satisfait (3.5) sur [0, Tk[. Classiquement, pour montrer que (3.5) admet une solution, on montre que
lim
k→∞Tk = +∞.
Dans notre situation ce fait est simplifi´e car on montre que T2 =∞ presque sˆurement. En effet, on montre que (ρ2
t) est un processus `a valeurs dans l’ensemble des ´etats. Dans ce cas, pour tout t et pour tout (i, j) ∈ {0, . . . , N}2, on a |ρ2
t(ij)| < 2 car ρ2
t est un ´etat ; ce qui entraˆıne T2 =∞.
On peut appliquer alors un principe similaire `a celui pr´esent´e dans la section 3.1.1 pour d´efinir les instants de sauts du processus solution.
Comme nous l’avons d´ej`a annonc´e, pour montrer que la solution est `a valeurs dans l’ensemble des ´etats, la propri´et´e qui est difficile `a montrer est la positivit´e.
Concernant les ´equations classiques, on utilise l’´equivalence entre l’´equation pour les matrices densit´es et les fonctions d’ondes. Comme il s’agit de mod`eles en dimension 2, on a le lien suivant pour d´ecrire les ´etats purs.
ρ est un ´etat pur ⇔ ∃z ∈ C2/hz, ρzi = 0. Consid´erons le processus (ρ2
t), on pose alors
T = inf{t > 0, ∃z ∈ C2/hz, ρ2tzi = 0}, alors ρ2
T est un ´etat pur. La solution apr`es T est `a valeurs ´etats purs. En effet, soit z ∈ C2
de norme 1 tel que hz, ρ2
Tzi = 0 alors ρ2
T =|zihz|. La solution apr`es T est donc donn´ee par l’´equation pour les fonctions d’onde avec comme condition initiale z.
Remarque : Pour prouver que les ´equations concernant les fonctions d’onde admettent une solution, on doit encore utiliser une m´ethode de troncature, toujours `a cause du probl`eme des coefficients non-Lipschitz. Le fait que si ces ´equations admettent une solution alors le processus est de norme 1, cela implique de la mˆeme mani`ere que la solution de l’´equation tronqu´ee correspond `a la solution de l’´equation non tronqu´ee.
En dimension sup´erieure, nous n’avons pas de description des trajectoires quantiques en terme de fonctions d’onde (ces ´equations ne conservent pas en g´en´eral cette propri´et´e) et la m´ethode appliqu´ee en dimension 2 ne peut pas ˆetre utilis´ee (de plus le crit`ere pour les ´etats purs n’est plus valide). Dans cette situation, le fait que la solution (ρ2
t) est `a valeurs ´etats est une cons´equence de la convergence en loi des trajectoires quantiques vers le processus (ρ2
t). En effet, les trajectoires quantiques sont des ´etats et la propri´et´e d’ˆetre un ´etat est ferm´ee pour la topologie de la convergence en loi.
Les techniques utilis´ees pour prouver les diff´erentes convergences sont expos´ees dans la section suivante.