Existence, unicit´e et approximation : cas diffusif

Dans cette section, nous pr´esentons les r´esultats relatifs au cas diffusif et correspondant `a l’article [Pel08a]. Dans cet article, on montre que l’´equation classique de Belavkin diffusive admet une unique solution et que cette solution est `a valeurs dans les ´etats. En outre on justifie physiquement l’utilisation d’un tel mod`ele par la convergence de trajectoires quantiques particuli`eres vers la solution de cette ´equation.

Existence et unicit´e

L’´equation classique de Belavkin de type diffusif d´ecrivant un syst`eme H0 `a deux ni-veaux en contact avec un champ de photons (chaˆıne de spin) soumis `a une mesure indirecte

de type continu est donn´ee par dρt =L(ρt)dt +  Cρt+ ρtC^⋆− T r[Cρt+ ρtC^⋆]ρt  dWt. (2.18)

Le processus (W_t) d´esigne un mouvement brownien standard unidimensionnel.

Dans cette expression, l’op´erateur C correspond `a l’op´erateur L10 qui apparaˆıt lors de la description des asymptotiques (section 2.2.2). Ici l’op´erateurL est de type Lindblad ; il agit sur les ´etats de la mani`ere suivante :

L(ρ) = −i[H, ρ] − ¹

2^{[2C ρ C}

⋆− C⋆Cρ− ρ C⋆C].

La solution de cette ´equation s’appelle donc une trajectoire quantique diffusive et le processus (ρt) d´ecrit l’´evolution de l’´etat du syst`eme H0. L’´evolution linbladienne donn´ee par l’´equation maˆıtresse dρt=L(ρt)dt est donc perturb´ee par un bruit induit par l’appareil de mesure.

A notre connaissance, dans la litt´erature, le probl`eme de l’existence et de l’unicit´e n’a jamais ´et´e r´eellement trait´e en d´etail. Dans l’absolu, une telle question n’est pas d´enu´ee d’int´erˆet car cette ´equation ne rentre pas directement dans le cadre le plus classique des ´equations diff´erentielles diffusives. En effet, les coefficients qui d´efinissent l’´equation ne sont pas lipschitziens et les th´eor`emes classiques ne s’appliquent pas imm´ediatement.

Avant d’´enoncer le r´esultat concernant l’existence et l’unicit´e dans le cas diffusif, il est int´eressant (et mˆeme essentiel) de donner une version ´equivalente de cette ´equation en terme d’´etats purs. Nous obtenons le r´esultat suivant.

Proposition 2.1 (Proposition 2 de l’article [Pel08a]) Soit (Wt) un mouvement brownien standard sur un espace de probabilit´e (Ω,F, Ft, P ). Soit ψ₀ un vecteur deH0 ≃ C2

de norme 1 et soit C un op´erateur quelconque sur C2. Pour tout processus (φt) `a valeurs dans H0, on d´efinit ν(φt) = ¹₂hφt, (C + C⋆)φti pour tout t.

Alors si l’´equation suivante dψt = (C− ν(ψt)I) ψt dWt+



−iH0− ¹₂ C^⋆C− 2ν(ψt)C + ν(ψt)²I
^

ψt dt (2.19)

admet une unique solution (ψt), on a presque sˆurement kψtk = 1 pour tout t ≥ 0.

De plus, le processus (|ψtihψt|) est `a valeurs dans les ´etats purs de H0 et satisfait l’´equation diffusive de Belavkin (2.18).

Cette proposition nous permet de voir qu’une solution de (2.18) peut ˆetre d´ecrite par un processus compos´e d’´etats purs. Mieux, si on a les r´esultats d’unicit´e de la solution pour (2.18) et (2.19), alors il y a ´equivalence entre l’´equation (2.18) et (2.19) d`es l’instant que l’´etat initial est un ´etat pur.

Concernant l’´equation (2.19), le th´eor`eme suivant exprime le r´esultat d’existence et d’uncit´e (il s’agit de la version fonction d’onde du th´eor`eme 3 de [Pel08a]).

Th´eor`eme 2.2 Soit (Wt) un mouvement brownien standard sur un espace de probabilit´e (Ω,F, Ft, P ). Soit ψ0 un vecteur deH0 ≃ C2 de norme 1 et soit C un op´erateur quelconque sur C2. Pour tout processus (φ<sub>t</sub>) `a valeurs dans H0, on d´efinit ν(φ_t) = 1

2hφt, (C + C⋆)φ_ti pour tout t. Alors l’´equation dψt = (C− ν(ψt)I) ψt dWt+  −iH0− ¹₂ C^⋆C− 2ν(ψt)C + ν(ψt)²I
^ ψt dt (2.20)

admet une unique solution (ψ_t) qui v´erifie presque sˆurement kψtk = 1 pour tout t ≥ 0. Ici aussi les coefficients qui d´efinissent l’´equation diff´erentielle stochastique ne sont pas Lipschitz. Comme nous le verrons dans le chapitre 3, on obtient la solution par une m´ethode de troncature, la propri´et´e d’ˆetre de norme 1 assure ensuite l’existence de la solution.

Cette propri´et´e d’ˆetre de norme 1 r´ev`ele la coh´erence physique d’une telle ´equation car elle d´efinit, ainsi, un processus stochastique `a valeurs dans les fonctions d’onde.

Concernant l’´equation (2.19) d´efinie pour des matrices densit´es, il incombe de v´erifier que cette ´equation pr´eserve la propri´et´e d’ˆetre une matrice densit´e. Il est par exemple facile de v´erifier que cette ´equation pr´eserve la trace et le caract`ere auto-adjoint. En revanche il n’est pas du tout ´evident que ce type d’´equation pr´eserve la positivit´e. Dans l’article [Pel08a], on montre qu’il s’agit d’une cons´equence du th´eor`eme 2.2.

Th´eor`eme 2.3 (Th´eor`eme 3 de [Pel08a]) Soit (Wt) un mouvement brownien stan-dard sur un espace de probabilit´e (Ω,F, Ft, P ). Soit ρ un ´etat sur H0.

L’´equation diff´erentielle stochastique    dρt = L(ρt)dt +  Cρt+ ρtC⋆− T r[Cρt+ ρtC⋆]ρt  dWt. ρ0 = ρ (2.21)

admet une unique solution (ρt) `a valeurs dans les ´etats sur H0.

Classiquement, cette ´equation n’apparaˆıt pas directement sous cette forme dans la litt´erature qui traˆıte de ces sujets. En effet, elle apparaˆıt sous la forme suivante.

dρt=L(ρt)dt + 

Cρt+ ρtC^⋆− T r[Cρt+ ρtC^⋆]ρt



(d ˜Wt− T r[Cρt+ ρtC^⋆]dt), o`u le processus d´ecrit par

t→ ˜W_t− Z t

0

T r[Cρ_s+ ρ_sC^⋆]ds

est un mouvement brownien standard.

Le rapport entre cette ´equation et l’´equation (2.18) est donn´e par le th´eor`eme de chan-gement de mesure de Girsanov adapt´e ici `a notre cas.

Th´eor`eme (Girsanov) 2.4 Soit (Wt) un mouvement brownien standard sur un espace de probabilit´e (Ω,F, P ). Soit ρ un ´etat et soit (ρt) le processus satisfaisant

ρt= ρ + Z t 0 L(ρs)ds +  Cρs+ ρsC^⋆− T r[Cρs+ ρsC^⋆]ρs  dWs. (2.22)

On d´efinit alors la nouvelle mesure de probabilit´e Q par dQ dP ^{= exp} Z T 0 T r[ρt(C + C^⋆)]dWs−¹₂ Z T 0 T r[ρt(C + C^⋆)]²ds  . (2.23)

Alors sous Q, le processus d´efinit par ˜ Wt−

Z t

0

T r[Cρs+ ρsC^⋆]ds

est un mouvement brownien standard.

Apr`es avoir d´efini le mod`ele diffusif des ´equations de Belavkin et d´ecrit les principaux r´esultats math´ematiques concernant ce cas, exposons maintenant le r´esultat de convergence qui permet de donner une justification physique de cette ´equation.

Convergence

Dans cette section, nous exposons le r´esultat de convergence des trajectoires quantiques discr`etes vers l’´equation diffusive de Belavkin. Cette convergence sera justifi´ee dans le chapitre 3 par des m´ethodes de convergences d’int´egrales stochastiques.

On consid`ere donc le mod`ele des mesures r´ep´et´ees dans le cas H0 = H = C2. Chaque espace est muni de la base orthonorm´ee {Ω, X}.

Soit (ρk) une trajectoire quantique obtenue par mesures r´ep´et´ees d’une observable A non-diagonale dans la base {Ω, X}. Lorsque le pas de temps est h = 1/n, l’´equation d´ecrivant (ρk) satisfait asymptotiquement

ρ_k+1 = ρ_k+ ¹ n



L(ρk) +◦ (1)^

+ e^iθL10ρk+ ρk(e^iθL10)^⋆ − T r^he^iθL10ρk+ ρk(e^iθL10)^⋆i

ρk+◦(1) !

Xk+1. (2.24)

Le th´eor`eme suivant exprime alors le r´esultat de convergence de cette trajectoire quan-tique lorsque le pas de temps tend vers 0.

On note D2[0, t) l’espace des processus c`adl`ag `a valeurs dans les op´erateurs de H0

muni de la topologie de Skorohod (topologie de la convergence en loi pour les processus stochastiques).

Th´eor`eme 2.5 (Th´eor`eme 8 de [Pel08a]) Soit (ρk) la trajectoire quantique satisfai-sant l’´equation (2.24). Alors pour tout T > 0, le processus (ρ[nt])t>0 converge dans D2[0, T ) vers le processus solution de l’´equation diff´erentielle stochastique

ρt = ρ0+ Z t 0 L(ρs)ds + Z t 0 

e^iθL10ρk+ ρk(e^iθL10)^⋆− T r^he^iθL10ρk+ ρk(e^iθL10)^⋆i ρk



dWs, (2.25)

o`u (Wt) d´esigne un mouvement brownien standard unidimensionnel.

En consid´erant le cas θ = 0 et L10 = C, on obtient exactement la mˆeme ´equation que celle d´ecrite pr´ec´edemment dans la section 2.1.2.

Ce th´eor`eme donne une justification physique rigoureuse et intuitive de l’utilisation d’un mod`ele d’´equation diff´erentielle stochastique diffusive pour d´ecrire une mesure quantique de type continu.