Evolution et interactions

L’objectif de cette section est de d´efinir un cadre suffisamment g´en´eral permettant de d´ecrire l’´evolution d’un syst`eme quantique qui dissiperait de l’´energie avec l’ext´erieur. A partir de situations simples d’interactions entre deux syst`emes, nous pr´esentons l’´evolution des matrices densit´es d’un syst`eme quantique ouvert. On introduit notamment la no-tion d’applicano-tions compl`etement positives qui permettra de d´efinir le cadre d´ecrivant l’´evolution des syst`emes quantiques ouverts.

Exemple

Exemple 1) : Commen¸cons par une interaction simple entre deux syst`emes H0 etH. Sur H0⊗ H, on consid`ere un hamiltonien de la forme

H = H0⊗ I + I ⊗ HH, (1.16)

o`u les op´erateurs H<sub>0</sub> et H<sub>H</sub> correspondent aux hamiltoniens propres des syst`emes H0 et H.

Cet hamiltonien sugg`ere que chaque syst`eme ´evolue de mani`ere ind´ependante sans ´echange d’´energie (il n y a pas `a proprement parler d’interaction) ; cela va nous permettre cependant de d´efinir le principe d´evolution des matrices densit´es. Sur le syst`eme ferm´e H0⊗ H, on d´efinit la famille d’unitaires (Ut) par

Ut= exp(−it H) = U0(t)⊗ UH(t)

avec U0(t) = exp(−it H0) et U_H(t) = exp(−it HH). Ainsi, si l’´etat initial sur H0⊗ H est d´ecrit par une fonction d’onde ψ, l’´evolution dans la repr´esentation de Schr¨odinger est donn´ee par

ψt = Utψ.

Notons alors ρt = T r_H(|ψtihψt|) la trace partielle de |ψtihψt| sur H0 par rapport `a H. Il est facile de v´erifier avec la d´efinition de la trace partielle que l’on a

ρt = U0(t) ρ0U0(t)^⋆. (1.17)

Afin de consid´erer un mod`ele plus complet d’interaction, on introduit un hamiltonien d’interaction HI qui agit sur le produit tensoriel ; l’hamiltonien total d’interaction Htot est alors d´ecrit par

Htot = H0⊗ I + I ⊗ HH+ HI. (1.18)

On d´efinit alors une famille d’unitaires (Ut) par Ut= exp(−ihHtot) qui agit sur le produit tensoriel. L’´evolution des ´etats ˜ρ du produit tensorielH0⊗ H est donc donn´ee par

˜

ρt= Utρ˜0U_t^⋆. (1.19)

On obtient la description de l’´evolution sur H0 `a l’aide de la trace partielle ρt= T r_H(˜ρt).

Dans ce type d’interaction, l’hamiltonien HI repr´esente les ´echanges entre les deux syst`emes H0 et H.

Comment se traduisent ces ´echanges au niveau du petit syst`eme seul ? A l’aide de la description d’une telle situation entre deux syst`emes de dimension finie, nous allons in-troduire la notion de lindbladien et d’applications compl`etement positives qui d´ecriront ensuite le cadre le plus g´en´eral des ´evolutions que nous ´etudierons

Exemple 2) : Consid´erons donc une interaction entreH0 = CK+1 etH = CN +1, deux syst`emes quantiques de dimension finie. L’´etat initial sur H0 est d´ecrit par une matrice densit´e ρ et celui sur H par une fonction d’onde ψ. L’´etat initial sur le produit tensoriel est donc

ρ⊗ |ψihψ|.

Soit U un op´erateur unitaire sur H0 ⊗ H qui d´ecrit l’´evolution du syst`eme coupl´e (apr`es un certain laps de temps par exemple). L’´etat surH0 ⊗ H apr`es interaction est donc

U (ρ⊗ |ψihψ|)U⋆.

On note µ = T r_H(U (ρ⊗ |ψihψ|)U⋆) la trace partielle sur H0.

Pour d´eterminer la transformmation subie par ρ, nous allons donner un expression “explicite” de la trace partielle µ. Pour cela, fixons une base dans chacun des espaces de Hilbert H0 et H. Soit B0 = {X0, . . . , XN} une base orthonormale de H0 et soit BH = {Ω0, . . . , ΩK} une base orthonormale de H telle que Ω0 = ψ. On choist alors la base :

B = {X0⊗ Ω0, X1⊗ Ω0, . . . , XN ⊗ Ω0, . . . , X0⊗ ΩK, . . . , XN ⊗ ΩK} (1.20) comme base orthonorm´ee du produit tensoriel H0⊗ H.

Dans cette base l’expression de la trace partielle est facile `a calculer. En effet, tout op´erateur β sur le produit tensorielH0⊗ H peut ˆetre repr´esent´e par une matrice de taille (N +1)(K +1)×(N +1)(K +1) que l’on ´ecrit (dans cette base) comme une matrice par bloc β = (βij)0≤i,j≤K o`u les coefficients βij sont des op´erateurs surH0. Ainsi, si η = (ηij)0≤i,j≤K

est un ´etat surH0⊗ H, alors sa trace partielle T rH(η) surH0 par rapport `a H est donn´ee par T r_H(η) = K X i=0 ηii.

Revenons `a l’expression de µ. Dans la base B, l’op´erateur unitaire U peut s’´ecrire par bloc U = (U_ij)_0≤i,j≤K. Un simple calcul montre alors :

µ =

K

X

i=0

Ui0 ρ U_i0^⋆. (1.21)

Nous avons d´etaill´e les calculs car ils apparaissent dans tous les articles de cette th`ese. De mani`ere g´en´erale, dans cette situation, les op´erateurs Ui0 peuvent ˆetre quelconques `a la seule condition qu’ils satisfassent

K

X

i=0

U⋆

i0U_i0= I. (1.22)

En effet cette condition est n´ecessaire pour que l’op´erateur U soit unitaire. On d´enote L l’application d´efinie par

L(ρ) =

K

X

i=0

Cette d´ecomposition de l’op´erateurL qui agit sur les ´etats de H0 s’appelle la d´ecomposition de Krauss de l’op´erateur L.

Finalement, si l’on ajoute la condition (1.22) `a la transformation (1.23) cela consti-tue l’arch´etype de la transformation que peut subir l’´etat d’un syst`eme quantique ou-vert. En particulier, nous allons voir qu’une transformation L poss`ede des propri´et´es sp´ecifiques ; une telle transformation est appel´ee une application compl`etement positive ([Att08],[BR97],[KR97b]). Nous allons pr´eciser cela dans ce qui va suivre.

Applications compl`etement positives et semi-groupes d’´evolution

Avant de d´efinir le cadre d´ecrivant les ´evolutions d’un syst`eme quantique ouvert, com-men¸cons par la d´efinition g´en´erale d’une application compl`etement positive.

D´efinition 1.1 Soit T un op´erateur sur B(H0) avec H0 un espace de hilbert s´eparable de dimension quelconque. Soit n∈ N⋆, on d´efinit l’op´erateur T(n)surB(H0⊗Cn)≃ Mn(B(H0) par

T⁽ⁿ⁾(Ai,j)1≤i,j≤n = (T (Aij))1≤i,j≤n.

On dit qu’un op´erateur T est n-positif si l’op´erateur T(n) est positif.

On dit qu’un op´erateur est compl`etement positif si l’op´erateur T est n-positif pour tout entier n∈ N⋆.

Le th´eor`eme suivant est une g´en´eralisation (en toute dimension) du r´esultat que l’on a obtenu pr´ec´edemment dans le cas de la dimension finie.

Th´eor`eme (Krauss) 1.4 Soit T un op´erateur sur B(H0), σ-faiblement continu et com-pl`etement positif. Dans ce cas, il existe une suite d’op´erateurs born´es (Ti)i≥0 sur H0 telle que pour tout ´etat ρ sur H0

T (ρ) =X

i≥0

Tiρ T_i^⋆,

o`u la s´erie est fortement convergente pour tout ´etat ρ. De plus si T laisse stable l’ensemble des ´etats, on a

X

i≥0

T_i^⋆Ti = I.

Comme nous l’avons d´ej`a remarqu´e, un ´etat ρ d´efinit une forme lin´eaire surB(H0) par X 7→ T r[ρX].

En consid´erant une application T compl`etement positive de la forme T (ρ) =X

i≥0

on peut d´efinir une application T⋆ qui agit sur B(H0) de la fa¸con suivante : T^⋆(X) =X

i≥0

T_i^⋆X Ti,

pour tout X ∈ B(H0). Il est important de noter que la s´erie d´efinie ainsi est fortement convergente pour tout op´erateur born´e sur H0. On a alors

T r[T (ρ) X] = T r[ρ T^⋆(X)].

Ce r´esultat est en fait un cas tr`es particulier de la dualit´e entre B(H0) et les op´erateurs `a trace sur H0; nous ne rentrerons pas plus dans les d´etails de cette th´eorie.

Maintenant que l’on a d´efinit et d´ecrit ce qu’est une application compl`etement positive, on va s’int´eresser aux semi-groupes d’applications compl`etement positives. Cela va nous permettre de dresser le cadre d´ecrivant l’´evolution d’un syst`eme quantique ouvert au cours du temps. Comme nous avons vu que l’´evolution d’un petit syst`eme apr`es interaction est donn´ee par une application compl`etement positive, il est naturel de d´ecrire l’´evolution de ce petit syst`eme au cours du temps par une famille d’applications compl`etement positives (T_t)_t≥0. Pour des raisons li´es `a la dynamique, on demande `a ce que cette famille satisfasse une propri´et´e de semi-groupe.

Ainsi, lorsque l’on consid´erera l’´evolution d’un syst`eme quantique ouvert, on se donnera un semi-groupe d’applications compl`etement positives (T_t)_t≥0. Le fait que l’on consid`ere seulement les temps strictement positifs traduit le fait que l’´evolution est irr´eversible (le syst`eme dissipe de l’´energie).

Le th´eor`eme suivant d´ecrit enti`erement les semi-groupes d’´evolution d’un syst`eme quan-tique.

Th´eor`eme (Lindblad) 1.5 Soit (Tt) une semi-groupe d’op´erateurs sur B(H0). On sup-pose :

1. Chaque op´erateur Tt est compl`etement positif, σ-faiblement continu 2. Les op´erateurs satisfont T0 = I et T⋆

t(I) = I pour tout t.

3. L’application t7→ Ttest fortement continue si l’on munitB(H0) de la norme d’op´era-teurs.

Alors il existe un op´erateur auto-adjoint born´e H et une suite d’op´erateurs born´es (L_i)_i≥0 tels que la famille (Tt) admet un g´en´erateur L de la forme

L(ρ) = −i[H, ρ] +^X i≥0 1 2^(2LiρL ⋆ i − L⋆ iLiρ− ρL⋆ iLi)

Dans tous les r´esultats ´etablis dans les articles, l’espace H0 est de dimension finie. Dans ce cas l`a, le r´esultat de ce th´eor`eme peut ˆetre exprim´e avec un nombre fini d’op´erateurs Li

(de mˆeme dans le th´eor`eme de Krauss). C’´etait notamment le cas de l’expression obtenue dans le cas d’une interaction entreH0etH de dimension finie et c’est la principale situation consid´er´ee dans les articles.

En conclusion, lorsque l’on ´etudiera des ´evolutions de type continu pour des syst`emes quantiques, elles satisferont toujours les conditions du th´eor`eme 1.5. L’´evolution d’un syst`eme, traduite par l’´evolution de ces ´etats, est donc donn´ee par un semi-groupe (Tt) qui satisfait (Tt = exp(tL)). Ainsi l’´evolution des ´etats d’un syst`eme est enti`erement de-termin´ee par l’´equation diff´erentielle

dρt

dt ⁼L(ρt). (1.24)

Un telle ´equation s’appelle ´equation maitresse. L’op´erateurL qui agit sur les matrices den-sit´es s’appelle le lindbladien du syst`eme.

Remarque : Certains mod`eles plus complexe peuvent n´ecessiter une inhomog´ene¨ıt´e en temps. On consid`ere alors des lindbladiens d´ependants du temps et l’´equation maˆıtresse est donn´ee par

dρt

dt ⁼L(t, ρt). (1.25)

Nous justifierons ult´erieurement cette ´equation `a l’aide d’un mod`ele d’interactions r´ep´et´ees. Nous avons vu qu’un moyen d’obtenir des ´evolutions compl`etement positives consistait `a consid´erer un principe d’interaction. R´eciproquement, partant de la donn´ee d’un semi-groupe d’´evolution (Tt) satisfaisant les conditions du th´eor`eme (1.5), peut-on d´ecrire un mod`ele d’interaction entre un petit syst`eme et un environnement d´ecrit par une famille d’unitaires (Ut) sur le syst`eme coupl´e qui redonne ce semi-groupe `a l’aide d’une trace partielle. Cette question nous permet d’aborder la notion de dilatation de semi-groupes. Dilatation des semi-groupes

Nous d´efinissons ici la notion de dilatation d’un semi-groupe, qui donne un cadre pr´ecis `a la question pr´ec´edente.

D´efinition 1.2 Soit (Tt) un semi-groupe d’´evolution d’un syst`eme quantique H0 satisfai-sant les conditions du th´eor`eme 1.5. Soit H un espace de Hilbert muni d’un vecteur de r´ef´erence Ω.

On appellera dilatation sur H du semi groupe (Tt)_t≥0 d’op´erateurs de H0, la donn´ee d’une famille (Ut)t≥0 d’op´erateurs sur H0⊗ H tels que pour tout t et pour tout ´etat ρ sur H0 on ait Tt(ρ) = T r_H Ut(ρ⊗ |ΩihΩ|)U⋆ t  .

Dans la d´efinition de dilatation, on peut demander la propri´et´e de semi-groupes pour la famille (Ut) mais nous n’aurons pas besoin de cette propri´et´e dans nos propos.

Dans la suite nous nous concentrerons sur le cas o`uH0 est de dimension finie.

Un moyen d’obtenir une ´evolution linbladienne pour un tel syst`eme `a partir d’une dilatation est l’utilisation du mod`ele d’interaction entre H0 et un espace de Fock. Nous exposons cette th´eorie dans la partie suivante.