Mod`ele discret

On consid`ere une interaction entre un syst`eme H0 et une chaˆıne infinie de syst`emeH, chaque syst`eme interagissant avec H pendant une dur´ee h.

Espace d’´etat

Comme la chaˆıne est suppos´ee infinie, l’espace d’´etat qui permet de d´ecrire ce principe d’interactions r´ep´et´ees est le produit tensoriel

Γ = H0⊗ H ⊗ H ⊗ . . . = H0⊗ ∞ O k=1 Hk, (1.33) o`uHk≃ H correspond `a la k`eme

copie de H. Dans la suite nous consid´ererons Hk ≃ CK+1

le produit tensoriel d´enombrable TΦ^(K) = ∞ O i=1 Hk,

Cet espace sera appel´e b´eb´e Fock (Toy Fock space en anglais).

On fixe une base (Xi)0≤i≤K et on note X0 = Ω. L’espace TΦ(K) est alors l’espace de Hilbert d´efini `a partir de la suite stabilisatrice Ω. Cela signifie qu’une base orthonorm´ee de TΦ(K) est d´ecrite par la famille

B∞={Xσ, σ∈ P},

o`u l’ensemble P correspond `a l’ensemble de tous les sous ensemble de la forme {(n1, i1), . . . , (nk, ik)},

avec k ∈ N⋆, les termes n_i sont des entiers deux `a deux distincts et les termes i_j sont des entiers de {1, . . . , K} pour tout j ∈ {1, . . . , k}.

Un ´el´ement Xσ deB∞ repr´esente alors le vecteur

Ω⊗ . . . ⊗ Ω ⊗ Xi1 ⊗ . . . Ω ⊗ . . . ⊗ Ω ⊗ Xi2 ⊗ . . .

o`u le terme Xij apparaˆıt `a la nj<sup>`eme</sup> place dans le produit tensoriel, c’est `a dire dans la nj^`eme

copie de H. Tout ´el´ement f de TΦ(K) s’´ecrit donc :

f = X

σ∈P

f (σ)Xσ.

Pour clore la description de la structure de l’espace TΦ(K), nous allons d´ecrire les op´erateurs de base sur cet espace, nous allons notamment d´efinir les bruits quantiques dis-crets. Pour cela on consid`ere les op´erateurs suivants surH d´efinis sur la base {X0, . . . , XK} :

aⁱ_jXk = δkiXj.

Ce sont les op´erateurs de la base canonique de MK+1(C). On prolonge de fa¸con naturelle ces op´erateurs sur TΦ(K) en consid´erant les op´erateurs ai

j(k) qui agissent comme ai j sur la k`eme

copie de H et comme l’op´erateur identit´e sur le reste du produit tensoriel. On peut remarquer notamment que la famille d’op´erateurs{ai

j(k); k ∈ N⋆} forme une base de l’alg`ebre TΦ(K).

Dans toute la suite nous poserons Ω = X0 et l’´etat de r´ef´erence de l’espace H, ca-ract´eristique de la chaˆıne, sera l’´etat β =|ΩihΩ|.

Evolution

Pour d´ecrire le principe d’´evolution nous reprenons rapidement la description de l’in-teraction entre deux syst`emes. On consid`ere une inl’in-teraction entre deux syst`emes H0 etH pendant un intervalle de temps h. L’´evolution est donc d´ecrite par un unitaire U = U (h) (pour le reste de cette sous-section nous ne sp´ecifierons plus le param`etre h, il apparaˆıtra `a nouveau lorsque l’on ´etudiera les probl`emes de convergence). Dans la repr´esentation de Schr¨odinger, son action sur les ´etats de H0⊗ H est donn´ee par

ρ7−→ U ρ U^⋆.

Pour d´ecrire cette interaction sur l’espace Γ = H0 ⊗^Nk≥1Hk, on d´efinit l’op´erateur U1

qui agit comme U sur H0⊗ H1 et comme l’op´erateur identit´e sur toutes les autres copies de H. Par cons´equent si ˜ρ d´esigne l’´etat de r´ef´erence sur Γ, apr`es la premi`ere interaction, l’´etat devient

U₁ρ U˜ ⋆ 1

D´ecrivons de la mˆeme mani`ere la k`eme

interaction. On consid`ere l’op´erateur unitaire Uk

qui agit comme U sur H0 tenseur Hk la k`eme

copie de H et qui agit comme l’op´erateur identit´e sur le reste du produit tensoriel. Cet op´erateur agit sur les ´etats de la mˆeme mani`ere

˜

ρ7−→ Ukρ U˜ _k^⋆.

La succession d’interaction est alors d´ecrite par la suite d’op´erateur Vkd´efinie par la formule

de r´ecurrence : 

Vk+1 = Uk+1Vk

V0 = I ^(1.34)

L’effet sur les ´etats de Γ est donc ˜

ρ7−→ Vkρ V˜ _k^⋆.

On d´efinit donc la famille d’op´erateurs (jk) agissant sur les ´etats de Γ jk(˜ρ) = Vkρ V˜ _k^⋆;

cela d´efinit donc la dynamique discr`ete sur Γ, d´ecrivant les interactions quantiques r´ep´et´ees. On peut alors exprimer les op´erateurs (Uk) et (Vk) en fonction des bruits quantiques (ai

j(k)). Concernant la d´efinition de U (qui permet de d´efinir ensuite les Uk), comme op´erateur surH0⊗ H, il peut s’´ecrire sous la forme

U = X

0≤i,j≤K

Uji⊗ aⁱj,

o`u les Ukl sont des op´erateurs sur H0 (les Ukl correspondent aux coefficients de la matrice U = (Ukl) ´ecrite par bloc dans une base ad´equate, de la mˆeme mani`ere que dans la section 1.2.2). Il est alors facile de voir que

Uk = X

0≤i,j≤K

La formule de r´ecurrence donnant (Vk), peut s’´ecrire    Vk+1 = X 0≤i,j≤K UjiVk aⁱ_j(k + 1) V0 = I (1.35)

Il s’agit maintenant de d´ecrire les transformations successives subies par le petit syst`eme et d’´etablir l’analogue des ´evolutions lindbladiennes dans ce cadre.

Semi-groupe d’´evolution discret

Comme dans le cas continu, nous allons montrer que le mod`ele d’interactions quantiques r´ep´et´ees donne naissance `a un semi-groupe discret d’applications compl`etement positives et que r´eciproquement, si on se donne un tel semi-groupe, on peut l’obtenir `a l’aide d’un sch´ema d’interactions r´ep´et´ees.

A partir de la description pr´ec´edente on consid`ere un petit syst`eme H0 en contact avec une chaˆıne infinie de syst`eme quantique. On fixe un ´etat initial ρ sur le petit syst`eme H0

et l’´etat β =|ΩihΩ| sur H. On rappelle que Ω = X0 et que X0 d´esigne le premier vecteur de la base orthonorm´ee de H que nous avons ´evoqu´ee pr´ec´edemment. L’´etat initial sur le petit syst`eme coupl´e avec la chaˆıne est donc

µ = ρ⊗

∞

O

k=1

β. Apr`es k interactions, on a alors

˜

µk = jk(˜µ) = Vk(˜µ)V_k^⋆.

On d´esigne ici par E0(˜η) la trace partielle surH0 d’un ´etat ˜η du syst`eme coupl´e. On d´efinit donc la famille d’applications Tk sur l’ensemble des ´etats deH0 par

ρk= Tk(ρ) = E0 " jk ρ⊗^O k≥0 β !# , (1.36)

pour tout ´etat ρ de H0. La famille (Tk) d´efinit donc une dynamique discr`ete sur H0. Le th´eor`eme suivant est l’´equivalent discret des th´eor`emes 1.5 et 1.9, il est prouv´e en d´etails dans [Att08].

Th´eor`eme 1.10 Soit (Tk)k∈N la famille d’applications d´efinies sur les ´etats de H0 par (1.36). Cette famille d’applications forme un semigroupe d’applications compl`etement po-sitives sur B(H0), il existe alors une application compl`etement positive l telle que

R´eciproquement, soit (lk) un semi-groupe d’op´erateurs compl`etement positifs sur H0

telle que l(I) = I, alors il existe un espace de Hilbert H ´equip´e d’un ´etat β et il existe un op´erateur unitaire U sur H0⊗ H d´efinissant une dynamique (jk) sur

Γ =H0⊗ ∞ O i=1 Hk telle que l^k(ρ) = E0 " jk ρ⊗^O k≥0 β !#

pour tout entier k positif et tout ´etat ρ de H0.