2.4
Probl`eme faisant intervenir les conditions d’interface
Probl`eme 2.1 ´Ecoulement diphasique en tuyau avec grand contraste de viscosit´e [test d’octobre 2016]
On consid`ere l’´ecoulement diphasique, dans un tuyau cylindrique `a section circulaire de rayon a et de longueur L a, d’un couple de fluides newtoniens incompressibles non miscibles. En coordonn´ees cylindriques (r, θ, z) d’axe Oz l’axe de r´evolution du tuyau, le fluide 1 de masse volumique ρ1et de viscosit´e dynamique η1occupe le domaine int´erieur r∈ [0,r1], tandis que le fluide
2 de masse volumique ρ2 et de viscosit´e dynamique η2 occupe le domaine ext´erieur r∈ [r1,a]. En
dehors des r´egions d’entr´ee et de sortie du tuyau, dont on n´eglige la taille, on suppose l’´ecoulement des deux fluides laminaire unidirectionnel dans la direction z, axisym´etrique, homog`ene et ´etabli, i.e. le champ de vitesse
v = v(r) ez
dans les deux domaines fluides.
1 Donnez l’expression intrins`eque du gradient de vitesse dans les deux domaines fluides. 2 D´eduisez-en la valeur du terme non lin´eaire dans l’´equation de Navier-Stokes.
3 Explicitez les composantes de l’´equation de Navier-Stokes dans les deux domaines fluides. Mon- trez que le gradient de pression motrice, not´eepbi dans le fluide i,
∇pb1 = −G1ez dans le domaine fluide 1, ∇pb2 = −G2ez dans le domaine fluide 2.
Que peut-on dire des fonctions G1 et G2? Quelle est la nature math´ematique pr´ecise des ´equations
obtenues sur les vitesses axiales que l’on note maintenant vi(r) dans le fluide i ? De combien de
conditions limites aura t’on besoin pour r´esoudre ces ´equations, G1 et G2´etant suppos´ees connues ?
4 V´erifiez les conditions cin´ematiques `a l’interface entre les deux fluides. ´Etablissez une relation simple entre les vitesses v1 et v2 `a l’interface.
5.1 On suppose l’existence d’une tension superficielle `a l’interface entre les deux fluides. Grˆace `
a un calcul intrins`eque des tenseurs des contraintes puis des vecteurs contraintes dans les deux fluides, `a l’interface, traduisez la condition dynamique `a l’interface en deux conditions portant l’une sur les pressions `a l’interface, l’autre sur les d´eriv´ees des vitesses `a l’interface.
42 Chapitre 2 Conditions `a une interface entre fluides - Tension superficielle 0 0 1 1 O α α x Z z g acc´el´eration de la pesanteur section du tuyau
Fig. 2.4 – G´eom´etrie de l’´ecoulement diphasique dans un tuyau ´etudi´e dans le probl`eme2.1.
5.2 On suppose que l’axe du tuyau est orient´e `a un angle α ∈ [−π/4, + π/4] par rapport au plan horizontal. Montrez que, d’apr`es la condition `a l’interface portant sur les pressions, on doit forc´ement avoir ´egalit´e des masses volumiques des deux fluides. Interpr´etez physiquement cette condition, et donnez toutes les autres cons´equences de la condition `a l’interface sur les pressions. Indications :
• Utilisez les rep`eres de travail Oxyz et OXYZ repr´esent´es sur la figure2.4, avec OZ vertical appartenant au plan xOz, pour calculer, `a partir des r´esultats de la question 3, les pressions physiques en fonction de x, y et z.
• ´Etablissez une relation simple entre G1 et G2.
5.3 Montrez que l’on peut d´efinir une perte de pression motrice δp dans cet ´ecoulement, entreb son entr´ee (z = 0) et sa sortie (z = L), malgr´e le fait qu’il soit diphasique. Montrez que cette perte de pression motrice, suppos´ee positive, comme G1 et G2, d´etermine G1 et G2.
6 Calculez enfin, par une r´esolution des ´equations de Navier-Stokes, les fonctions vitesses v1(r) et
v2(r) en fonction des param`etres de contrˆole du syst`eme.
Indications :
• En r = 0, il faut consid´erer la condition naturelle
v1 et toutes ses d´eriv´ees sont finies
comme une condition limite.
• Les fonctions v1 et v2 d´ependent de fa¸con polynˆomiale de r.
7 Afin de valider partiellement vos calculs, ´etudiez les cas limites o`u r1 = 0 ou, au contraire,
r1= a. Quels ´ecoulements monophasiques doit-on retrouver dans ces deux cas ?
8 Calculez les d´ebits volumiques q1 et q2 des fluides 1 et 2 dans le cas g´en´eral o`u 0 < r1< a.
9.1 Soit q10 le d´ebit de r´ef´erence que l’on obtiendrait sous une perte de pression motrice δp enb
´ecoulement monophasique, i.e. lorsque r1 = a. Calculez q10 puis le d´ebit r´eduit
Q1 = q1/q10
2.4 Probl`eme faisant intervenir les conditions d’interface 43 exprimerez le rapport adimensionnel Q1 en fonction des param`etres de contrˆole adimensionnels
R = r1/a rayon r´eduit du domaine fluide 1
et M = η1/η2 rapport des viscosit´es des deux fluides.
9.2 On suppose ici M = 500. ´Etudiez la fonction Q1(R) et tracez l’allure de son graphe. Com-
mentez, en nommant l’effet physique qui se produit pour une large gamme de valeurs de R. 10 Toujours avec M = 500, on suppose R = 0,92, η2 = 10−3 Pa s, a = 3 cm, L = 40 m, δp =b
2000 Pa. Calculez num´eriquement le gradient de pression motrice G, les d´ebits q10, Q1 et q1.
Donnez l’expression num´erique des vitesses axiales v1 et v2 consid´er´ees comme des fonctions de
er = r/a. Repr´esentez le graphe de la vitesse axiale v(er) sur [0,1], ´egale `a v1 sur [0,R] puis v2 sur
[R,1]. Repr´esentez enfin sch´ematiquement les champs de vitesse des deux fluides dans un plan bien choisi. Commentez.
11.1 V´erifiez par le calcul direct de ses deux membres la validit´e g´en´erale de l’´equation
(q1+ q2) δbp = Pdissip´ee (2.22) avec Pdissip´ee = 2η1 ZZZ Ω1 D : D d3x + 2η2 ZZZ Ω2 D : D d3x ,
les domaines Ω1 et Ω2 ´etant ceux occup´es par les fluides 1 et 2, le tenseur D ´etant celui des taux
de d´eformation.
11.2 Montrez que, dans le cas limite d’un ´ecoulement monophasique atteint lorsque r1 = a, l’´equa-
tion (2.22) peut se d´eduire de r´esultats du cours que vous citerez pr´ecis´ement.
11.3 Quelle est la signification physique de l’´equation (2.22) dans un cas diphasique g´en´eral ? Si on suppose que le tuyau est horizontal et que l’´ecoulement est produit par une pompe, quelle est la puissance P que doit d´evelopper celle-ci ?
11.4 Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, on revient sur l’application num´erique faite en question 10. Calculez dans ce cas la puissance P de la pompe qui entretient l’´ecoulement consid´er´e. Commentez physiquement.
Chapitre 3
Mod`ele du fluide parfait -
Applications
3.1
G´en´eralit´es
3.1.1 Le fluide parfait : un mod`ele tr`es simplifi´e
Un fluide parfait est un fluide newtonien de viscosit´e nulle, dans lequel il n’y a pas de dissipa- tion de l’´energie cin´etique. Aucun fluide n’est parfait si ce n’est l’h´elium 4 `a tr`es basse temp´erature (< 2,2 K). L’hypoth`ese de fluide parfait est plutˆot une hypoth`ese de mod´elisation, `a peu pr`es raisonnable si le terme visqueux peut ˆetre n´eglig´e devant un terme inertiel (cf. l’´equation annot´ee
1.48), ce qui peut arriver si on n’est pas trop pr`es d’une paroi solide, et-ou en ´ecoulement fortement instationnaire. C’est surtout un mod`ele tr`es simplifi´e qui permet de mettre en ´evidence quelques ph´enom`enes en m´ecanique des fluides, qui se trouvent exister aussi pour des fluides visqueux. En g´en´eral on supposera le fluide parfait incompressible : cela vaut pour tout ce chapitre, except´e la section3.4 sur les ondes sonores, et les exercices et probl`eme correspondant section3.10.
3.1.2 Equation d’Euler´
Pour un fluide parfait l’´equation de Navier-Stokes perd son terme visqueux donc « d´eg´en`ere » en l’´equation d’Euler ρdv dt = ρg − ∇p = −∇bp (3.1) avec b p = p + ρgz la pression motrice, (3.2)
l’axe des z ´etant orient´e vers le haut1. Du fait de la disparition des contraintes de frottements visqueux, il faut aussi « d´egrader » la condition limite (1.41) en autorisant un glissement le long d’une paroi solide. On ´ecrit donc seulement la condition d’imperm´eabilit´e
v(x,t)· n = vparoi(x,t)· n sur la paroi, (3.3)
1. Attention on rappelle que l’´egalit´e ρg = −∇(ρgz), qui permet d’introduire la pression motrice, n’est valable qu’en fluide incompressible ou ´ecoulement isovolume.
46 Chapitre 3 Mod`ele du fluide parfait - Applications en notant n le vecteur normal `a la paroi2.
On peut montrer en utilisant le tenseur altern´e fondamental (cf. Plaut 2018a), et la formule correspondante
ijkipq = δjpδkq− δjqδkp , (3.4)
que l’acc´el´eration s’´ecrit dv dt = ∂v ∂t + ∇v · v = ∂v ∂t + ∇ v2 2 ! + Ω∧ v (3.5) avec Ω = rotv la vorticit´e. (3.6)
3.1.3 Premier th´eor`eme de Bernoulli
Dans un ´ecoulement stationnaire, le long d’une trajectoire on a conservation de la charge, H = pb ρg + v2 2g = z + p ρg + v2 2g = constante . (3.7)
3.1.4 Equation de la vorticit´´ e - Dynamique de la vorticit´e
En prenant le rotationnel de l’´equation d’Euler on ´etablit l’´equation de la vorticit´e ∂Ω
∂t = rot v∧ Ω
, (3.8)
qui montre qu’il n’existe pas de m´ecanismes de cr´eation de vorticit´e en fluides parfaits3.