Exercice 3.3 ´Etude d´etaill´ee des ondes sonores planes en milieu semi-infini
On d´esire ici revenir de fa¸con plus pr´ecise sur les calculs faits en cours, dans le cas d’une onde sonore plane dans un milieu fluide infini, caract´eris´ee par une perturbation de pression de la forme
p0 = P cos(kx− ωt) . (3.74)
1 Calculez la perturbation de masse volumique ρ0, et montrez que l’amplitude R des fluctuations qu’elle d´ecrit peut s’exprimer en fonction de P et c seulement.
2 Menez une r´eflexion sur les approximations qui consistent `a ne pas tenir compte des termes d’advection non lin´eaire, de pesanteur et visqueux dans l’´equation de Navier-Stokes, consid´er´ee `a la fois pour l’´etat hydrostatique de base et pour les perturbations li´ees `a l’onde. Vous ´ecrirez cinq relations d’ordonnancement de la forme
3.10 Exercices et probl`eme sur les ondes sonores 79 qu’il conviendra de v´erifier num´eriquement par la suite (cf. la question 6). Vous introduirez d’ores et d´ej`a l’amplitude V des fluctuations de vitesse et l’amplitude U des fluctuations de position associ´ees `a l’onde.
3 Calculez le champ de vitesse associ´e `a l’onde sonore. Montrez que l’amplitude V des fluctuations de vitesse ne d´epend que de P, ρ0 et c.
4 Calculez le champ de d´eplacement lagrangien
u(X,t) = x(X,t)− X
des particules fluides associ´e `a l’onde, en vous pla¸cant dans l’hypoth`ese de petits d´eplacements et en r´egime oscillant ´etabli. Il ne faut donc pas voir X comme une position de r´ef´erence `a un instant de r´ef´erence, mais plutˆot comme la position moyenne de la particule fluide, qui rep`ere de fa¸con non ambigu¨e celle-ci. Afin de pouvoir r´esoudre l’´equation diff´erentielle ordinaire rencontr´ee, non lin´eaire, vous ferez une hypoth`ese de petits d´eplacements,
U L longueur caract´eristique bien choisie,
qu’il faudra aussi valider a posteriori. Montrez que l’amplitude U des fluctuations de position ne d´epend que de V et ω. Repr´esentez le champ u `a un instant t particulier, et montrez que l’on a affaire `a une onde longitudinale de contraction-dilatation.
5 On suppose que cette onde plane est produite par une membrane (on peut penser `a une « en- ceinte » de chaˆıne HIFI) situ´ee en moyenne en x = 0 et mise en vibration longitudinale avec le champ de d´eplacement calcul´e en 4, ´evalu´e en X = 0. Repr´esentez cette situation sur un sch´ema. Calculez la puissance Ppressiond´evelopp´ee par cette membrane sur le fluide. On d´efinit l’intensit´e
acoustique physique de l’onde comme la puissance surfacique moyenn´ee dans le temps
I = 1
S hPpressionit (3.75)
avec S la surface de la membrane en contact avec le fluide. Montrez que
I = 1 2P V = 1 2 P2 ρ0c = 1 2ρ0cV 2 . (3.76)
6 Dans le cas o`u le fluide est l’air en conditions ambiantes, on d´efinit l’intensit´e acoustique en d´ecibels en utilisant une ´echelle logarithmique,
IdB = 120 + 10 log10
I 1 W/m2
!
. (3.77)
6.1 Une donn´ee physiologique importante (pour un humain) est la d´efinition du seuil de souffrance physique associ´e `a un son « tr`es intense ». Il est donn´e par
IdB = 120 dB . (3.78)
Pour une onde sonore « tr`es intense » correspondant exactement `a ce seuil, calculez num´eriquement toutes les amplitudes de fluctuations P, R, V et U , commentez les r´esultats obtenus et montrez
80 Chapitre 3 Mod`ele du fluide parfait - Applications que toutes les relations d’ordonnancement ´ecrites en 2 et 4 sont v´erifi´ees. Vous supposerez que la fr´equence de l’onde est celle du « la » des musiciens, i.e.
f = ω
2π = 440 Hz . (3.79)
6.2 Une autre donn´ee physiologique importante (toujours pour un humain) est le seuil d’audition `
a 440 Hz, soit
IdB = 0 dB . (3.80)
Calculez l’intensit´e acoustique physique correspondante puis les amplitudes de fluctuations P, R, V et U . Dans quel rapport sont-elles avec celles du son « tr`es intense » ´etudi´e en 5.1 ? Concluez sur la qualit´e de l’oreille humaine.
Exercice 3.4 ´Etude sommaire de l’effet coup de b´elier dans une conduite d’eau
On consid`ere des ´ecoulements d’eau dans une conduite. On suppose en premi`ere approximation qu’`a ces ´ecoulements, mˆeme inhomog`enes, peuvent se superposer des ondes sonores dont la c´el´erit´e (vitesse de phase = vitesse de groupe) est la mˆeme qu’en milieu infini, c’est-`a-dire c donn´ee par (3.37). Cette conduite comprend une section rectiligne longue situ´ee entre x = 0 et x = L. Partant d’une situation o`u de l’eau circule en ´ecoulement uniforme `a la vitesse
v = v0ex ,
on ferme `a l’instant t = 0, de fa¸con quasi instantan´ee, une vanne situ´ee en x = L. On observe alors que l’eau s’arrˆete brutalement de couler dans une r´egion initialement localis´ee pr`es de la vanne, et qui s’´etend en « remontant » la conduite `a la vitesse du son. Dans toute cette r´egion on a une surpression p0 et une variation de masse volumique ρ0 par rapport `a la r´egion en ´ecoulement en
amont. En ´ecrivant un bilan global de quantit´e de mouvement pour l’eau contenue dans la conduite entre x = 0 et L− δL, δL ´etant une petite longueur positive, qui permet de rester dans le domaine liquide en amont de la vanne, ´evaluez la surpression p0. Commentez la formule obtenue,
p0 = δp = , (3.81)
en faisant une application num´erique, dans le contexte d’une grande installation industrielle.
Probl`eme 3.8 Effets de la viscosit´e sur des ondes de type sonore [test de novembre 2009] 1 G´en´eralit´es
On d´esire ´etudier les ph´enom`enes de propagation et d’amortissement d’ondes de type sonore dans un fluide compressible visqueux au repos, avec dans la configuration de r´ef´erence (sans onde) une pression quasi uniforme (`a l’´echelle des ondes) ´egale `a p0, une masse volumique
quasi uniforme ´egale `a ρ0. Les ondes (g´en´eralis´ees puisqu’elles peuvent ´eventuellement ˆetre amor-
ties) sont des petites perturbations de cette configuration de r´ef´erence caract´eris´ees par un champ de vitesse fluctuant de petite amplitude
v0 = v
ainsi que par des fluctuations de masse volumique et de pression de faible amplitude, ρ0 = ρ− ρ0 ρ0 , p0 = p− p0 p0 .
3.10 Exercices et probl`eme sur les ondes sonores 81 On rappelle que ces perturbations peuvent ˆetre consid´er´ees comme isentropiques, donc que les champs fluctuants ρ0 et p0 sont li´es par la relation
ρ0 = ρ0κS p0 =
p0 c20
avec κS le coefficient de compressibilit´e isentropique, c0 la vitesse du son dans le fluide s’il ´etait
non visqueux.
Montrez que les hypoth`eses pr´ec´edentes ainsi que les ´equations de base de la m´ecanique des fluides (conservation de la masse et ´evolution de la quantit´e de mouvement) sous forme locale permettent d’aboutir `a un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles coupl´ees pour v et ρ0, de premier ordre en temps, lin´eaires par rapport `a ces deux champs. On n´egligera dans ce syst`eme tout effet de pesanteur, ce que l’on pourra ´eventuellement justifier a posteriori. V´erifiez que ce syst`eme est alors `
a coefficients constants ne d´ependant que de ρ0, c0 et η viscosit´e dynamique du fluide.
2 ´Etude d’une onde de « compression - dilatation »
On ´etudie dans cette partie le cas d’une onde dont le champ de vitesse est de la forme v = U exp[i(kx− ωt)] ex
en notations complexes. La fr´equence angulaire ω est r´eelle ; on peut imaginer qu’elle est impos´ee par un haut - parleur. Le nombre d’onde k, par contre, est ´eventuellement complexe : sa partie r´eelle K > 0 est le nombre d’onde classique, mais sa partie imaginaire α, si elle s’av`ere non nulle, signifie un amortissement.
2.1 `A partir de l’une des deux ´equations ´etablies en 1, calculez les fluctuations de masse volumique associ´ees `a cette onde. Justifiez le terme « onde de compression - dilatation ».
2.2 En utilisant l’autre ´equation d’´evolution ´etablie en 1, montrez que la « relation de dispersion » des ondes est de la forme
ω2 = c20k2(1± iωτ)
o`u vous d´eterminerez le signe devant l’imaginaire pur (+ ou−), et donnerez l’expression du temps caract´eristique τ .
Indication : τ ne d´epend que de la viscosit´e cin´ematique du fluide et de la vitesse c0= 1/√ρ0κS.
2.3 Calculez K2 et α2.
Indication : exprimez d’abord k2 d’apr`es la « relation de dispersion » ci-dessus, puis calculez |k2|
et Rek2.
2.4 Donnez la valeur physique de τ pour de l’air et de l’eau `a temp´erature et pression ambiantes. Que peut-on en d´eduire concernant l’ordre de grandeur du produit ωτ pour une onde de type « sonore » ?
2.5 Compte tenu de l’observation quantitative faite sur le produit ωτ , simplifiez l’expression de K. Montrez `a partir de cette expression que l’effet de la viscosit´e sur la vitesse de propagation du son est une tr`es l´eg`ere augmentation de celle-ci, que vous quantifierez. Pourrait-on mesurer cet effet ?
82 Chapitre 3 Mod`ele du fluide parfait - Applications 2.6 Quel doit ˆetre le signe de α pour l’onde se propageant vers les x croissants que l’on est en train de consid´erer ? Comment pourrait-on nommer α ? Calculez α compte tenu de l’observation faite en 2.4. Calculez le facteur d’amortissement d’une onde sonore typique sur une distance de 10 m, dans l’air et dans l’eau.
2.7 Concluez.
3 ´Etude d’une onde de « cisaillement »
On ´etudie dans cette partie le cas d’une onde dont le champ de vitesse est de la forme v = V exp[i(kx− ωt)] ey
en notations complexes. La fr´equence angulaire ω est r´eelle ; on peut imaginer qu’elle est impos´ee par une plaque vibrante. Le nombre d’onde k = K + iα comme dans la partie 2.
3.1 Que peut-on dire des fluctuations de masse volumique associ´ees `a cette onde ? Y a t’il des effets de compression - dilatation ?
3.2 ´Etablissez la « relation de dispersion » de ces ondes. Calculez K et α.
3.3 Discutez de la physique de ces ondes dans des fluides comme l’air ou l’eau. Repr´esentez le champ de vitesse d’une onde typique, expliquez la terminologie onde de « cisaillement » et concluez. 4 Question subsidiaire : application `a la tomographie du globe terrestre
Dans le manteau terrestre, solide aux ´echelles de temps des ondes « sonores », se propagent des ondes de compression - dilatation et des ondes de cisaillement. Que se passe t’il quand ces ondes arrivent dans le noyau de fer liquide de la Terre ? Expliquez comment ceci a permis de d´ecouvrir le noyau liquide.