Probl`eme 4.4 ´Etude de l’´ecoulement dans une cavit´e rotor-stator ´etendue [d’apr`es le test d’avril 2012]
Des cavit´es rotor-stator remplies de fluide sont couramment rencontr´ees dans des machines tournantes. Par exemple de nombreuses liaisons pivot comprennent une telle cavit´e, souvent remplie d’huile lubrifiante. On s’int´eresse `a une cavit´e rotor-stator ´etendue au sens o`u elle comprend l’axe de rotation du rotor, et o`u sa limite radiale extrˆeme joue un rˆole n´egligeable (figure 4.3). En
4.5 Probl`eme : ´ecoulement faiblement inertiel 101 00 11 stator rotor x z O fluide ω
Fig. 4.3 – Sch´ema de principe d’une cavit´e rotor-stator, telle celle ´etudi´ee dans le probl`eme4.4.
utilisant un rep`ere Oxyz avec Oz l’axe de rotation du rotor, le stator solide est13 un disque de rayon a situ´e dans le plan z = 0, le rotor solide13 un disque de rayon a dans le plan z = d. Ces disques sont coaxiaux. On travaille dans le r´ef´erentiel du stator, dans lequel la vitesse angulaire de rotation du rotor est ω > 0. Le fluide situ´e dans la cavit´e, i.e. dans le domaine
Ω = {(r, θ, z) ∈ [0,a] × [0,2π] × [0,d]} ,
en faisant usage de coordonn´ees cylindriques, est incompressible et visqueux. On note ν sa viscosit´e cin´ematique.
I Mise en place d’un mod`ele auto-similaire
I.1 Quelle hypoth`ese doit on faire sur a et d afin de pouvoir ne pas se pr´eoccuper des conditions limites en r = a ?
I.2 Quelles sont les conditions limites que le champ de vitesse doit satisfaire sur les fronti`eres z = 0 et d du domaine fluide ?
I.3 On fait l’hypoth`ese que la pression motrice, les vitesses radiale et azimutale ne d´ependent que de r et z, la vitesse axiale ne d´epend que de z,
b
p = p(r,z) , vb r = vr(r,z) , vθ = vθ(r,z) et vz = h(z) .
Montrez `a partir d’une ´equation de conservation que la vitesse radiale est de la forme vr = r f (z) ,
et ´etablissez une ´equation diff´erentielle ordinaire liant f et h(z).
I.4 En explicitant la composante axiale de l’´equation de la quantit´e de mouvement, montrez que la pression motrice est de la forme
b
p = ρ [π1(r) + π2(z)] ,
avec ρ la masse volumique du fluide, π1 et π2 des fonctions d’une seule variable seulement.
I.5 En explicitant la composante radiale de l’´equation de la quantit´e de mouvement, montrez que la fonction π3(r,z) = π 0 1(r) r − v2 θ(r,z) r2
ne d´epend en fait que de z ; vous exprimerez π3 en fonction de f (z), h(z) et ν.
102 Chapitre 4 ´Ecoulements de Stokes I.6 En utilisant l’une des conditions limites ´etablies en I.2, montrez que π1(r) peut ˆetre prise de
la forme
π1(r) =
1 2kr
2
avec k une constante r´eelle.
I.7 Montrez l’existence d’une fonction g telle que
vθ = r g(z) .
I.8 Montrez que la composante radiale de l’´equation de la quantit´e de mouvement se ram`ene `a une ´equation diff´erentielle ordinaire reliant les fonctions f, g et h(z), ainsi que la constante k. I.9 Explicitez enfin la composante azimutale de l’´equation de la quantit´e de mouvement, et montrez qu’elle se ram`ene `a une ´equation diff´erentielle ordinaire reliant les fonctions f, g et h(z).
NB : ν intervient dans les ´equations `a ´etablir questions I.8 et 9. II Adimensionnement du mod`ele auto-similaire
On adimensionne ce mod`ele en utilisant d comme unit´e de longueur et 1/ω comme unit´e de temps. On introduit donc la coordonn´ee axiale r´eduite
ζ = z
d , et les fonctions profils r´eduits F, G et H(ζ) telles que
vr = ω r F (ζ) , vθ = ω r G(ζ) et vz = ω d H(ζ) .
II.1 Explicitez les liens entre ces nouvelles fonctions et les fonctions f, g et h(z) introduites en partie I.
II.2 Quelles sont les conditions limites que doivent satisfaire les fonctions F, G et H(ζ) ?
II.3 Quelle est la dimension de la constante k introduite en I.6 ? Introduisez une constante K adimensionn´ee en divisant k par la combinaison de d et ω ad´equate.
II.4 Montrez que les ´equations diff´erentielles ´etablies en I.3, I.8 et I.9 s’adimensionnent sous la forme
α F + H0 = 0 , (4.38)
F2 − G2 + F0 H = −K + R−1 F00 , (4.39)
β F G + G0 H = R−1 G00 , (4.40)
avec α et β des entiers que vous calculerez, R l’unique param`etre de contrˆole adimensionnel de ce probl`eme, que vous identifierez et nommerez.
III ´Etude du cas R infinit´esimal
III.1 Quelle est la physique du cas o`u R est infiniment petit ? Comment nomme t’on ce type de r´egime ?
4.5 Probl`eme : ´ecoulement faiblement inertiel 103 III.2 En annulant les termes facteurs de R−1 dans les ´equations du syst`eme, calculez le champ de vitesse solution, dans cette limite, en adimensionnel puis dimensionnel. Comment pourrait-on nommer cet ´ecoulement ?
IV ´Etude asymptotique du cas R fini et analyse physique
Lorsque R est petit, on admet que l’on peut rechercher, en coh´erence avec les r´esultats de la question pr´ec´edente, une solution sous la forme d’un d´eveloppement en s´eries de puissances de R,
K = K0 + R2 K2 + O(R4) ,
F = R F1 + O(R3) ,
G = G0 + R2 G2 + O(R4) ,
H = R H1 + O(R3) .
IV.1 Quelle est, d’apr`es III.2, l’expression de la fonction G0?
IV.2 Quelles sont les conditions limites que doivent satisfaire les fonctions F1, G2 et H1(ζ) ?
IV.3 En injectant ces d´eveloppements dans l’´equation (4.39), ´etablissez, `a l’ordre le plus bas, une ´equation diff´erentielle ordinaire reliant F1 et K0. R´esolvez-la, compte tenu des conditions limites
que doit v´erifier F1.
IV.4 En utilisant l’´equation (4.38), ´ecrite `a l’ordre R1, donnez la forme g´en´erale de H
1. Grˆace aux
conditions limites correspondantes, calculez K0. Que veut dire votre r´esultat, en terme de pression
motrice ? Proposez une explication physique du ph´enom`ene constat´e, en faisant un lien avec une force d’inertie jouant un rˆole dans un certain r´ef´erentiel tournant.
IV.5 Donnez l’expression de la fonction F1, et repr´esentez l’allure de son graphe, avec F1 en
abscisse et ζ en ordonn´ee. Que veut dire votre r´esultat, en terme d’´ecoulement ?
IV.6 Afin d’interpr´eter les m´ecanismes physiques de cr´eation de cet ´ecoulement radial, r´ecrivez F1 comme la somme de fonctions Fp due au terme K0 dans l’´equation (4.39) et Fi due au terme
G20 dans l’´equation (4.39). Repr´esentez sur le graphe pr´ec´edent les fonctions Fp et Fi. Expliquez la