Problématique de la simulation des circuits autonomes

La simulation des circuits autonomes n’est pas chose aisée de par l’intervention de phénomènes non-linéaires rendant la résolution longue et fastidieuse. Nous avons donc choisi d’orienter notre travail en nous focalisant sur trois méthodes pouvant être envisagées pour nous permettre de caractériser et de dimensionner un circuit oscillateur :

1. L’analyse transitoire [62],

2. L’analyse PSS (Periodic Steady-State) [63], 3. L’analyse par la méthode dipolaire.

1.4.1.1 Influence du transitoire sur la simulation des oscillateurs

La simulation dans le domaine temporel (.tran) des circuits oscillateurs à forts coefficients de qualité peut s’avérer très coûteuse en temps de calcul pour atteindre le régime établi : nécessité de s’affranchir des constantes de temps électriques du système pouvant être relativement importantes (compensations, effets parasites...). Il s’agit donc du principal inconvénient de cette méthode pour laquelle :

– L’influence des non-linéarités nécessitent un pas de calcul très petit devant la période théorique du signal (Tsignal) étudié,

– La méthode d’intégration utilisée lors de la résolution numérique du système25_{doit permettre une} convergence rapide pour limiter tout risques de propagation des erreurs de calcul,

– Le coefficient de qualité à vide (Q0) du résonateur est aussi un facteur important car il permet d’estimer la durée minimale nécessaire à l’obtention du régime établi (tsteadystate) :

tsteadystate' Tsignal× Q0 (1.12) Considérons, à titre d’exemple, un résonateur travaillant à la fréquence de 40 MHz (Tsignal= 25 ns) dont le facteur de qualité à vide est égal à 100000. D’après l’équation (1.12), nous pouvons estimer la durée minimale pour stabiliser l’amplitude des oscillations : elle est ici de 2,5 ms. En forçant le pas de calcul à 250 ps (100 itérations par périodes), le régime établi sera théoriquement atteint après dix millions d’itérations. La résolution de la matrice Jacobienne s’effectuant alors à chaque itération, les erreurs de calcul découlant de l’analyse numérique ont une incidence importante sur la fiabilité des résultats obtenus : propagation et amplification des erreurs lors des itérations suivantes. Pour atteindre plus rapidement le régime établi et limiter, de ce fait, la durée des simulations (nombre d’itérations réduites), différentes options sont envisageables :

– La dégradation volontaire du facteur de qualité à vide (Q0) qui est malheureusement lourde de conséquences : la modification du couple {Lm, Cm26} pour conserver ωrconstante a une incidence sur l’écart fr− fa(1.5), sur le bruit de phase (fréquence de LEESON)...

– L’introduction d’une condition initiale dans le système : courant forcé dans la branche motionnelle du résonateur à t = 0 dont l’amplitude est évaluée à partir de l’état d’équilibre théorique.

Une perturbation dynamique de la tension d’alimentation du système par un stimulus de type échelon ou Dirac reste envisageable pour faire démarrer l’oscillateur en transitoire et en observer l’enveloppe et les éventuelles distortions du signal jusqu’à sa stabilisation. Cependant, le simulateur propose une analyse plus adaptée à ce type d’application : il s’agit de la PSS (Periodic Steady-State).

25. Le système est mis sous une forme matricielle (matrice jacobienne) dont la taille est fonction du nombre d’équations à résoudre d’après les lois de KIRCHHOFF: nœuds et mailles du circuit.

26. Certains paramètres motionnels ne sont pas modifiables car ils tendent à rendre les conditions d’oscillations obsolètes : cas de Rmet C0.

1.4.1.2 Une alternative : l’analyse PSS (Periodic Steady-State)

L’analyse PSS (Periodic Steady-State) est une analyse grand-signal permettant d’obtenir rapidement l’état d’équilibre du système et ce, de manière totalement indépendante des constantes de temps mises en jeu par ce dernier. Elle a donc été développée spécifiquement pour ce type d’applications qui, de par l’intervention des non-linéarités, nécessite des temps de simulation très importants. Le principe utilisé est, quant à lui, décrit plus en détail en référence [63].

La troisième méthode que nous avons choisi d’investiguer a été développée au sein de l’institut et est définie sous le nom de méthode dipolaire. Cette méthode permet de s’affranchir des effets du transitoire dans le système en forçant les oscillations à l’aide d’une source sinusoïdale parfaite.

1.4.1.3 Simulation des oscillateurs par la méthode dipolaire

FIGURE 1.26 – Principe d’une analyse dipolaire : exemple d’une structure Colpitts simplifiée (schéma

électrique équivalent du résonateur inclus) (a), modélisation du courant circulant dans la branche mo- tionnelle par une source parfaite (b), circuit dipolaire équivalent de la cellule oscillateur (c).

La méthode dipolaire, développée pour l’étude et la modélisation du comportement non-linéaire des oscillateurs à quartz [64,65], est basée sur le principe décrit en figure 1.26. Il s’agit d’une approche grand- signal pour laquelle nous faisons la distinction entre la branche motionnelle du résonateur et le circuit électronique d’entretien en considérant la capacité statique (C0) comme étant une composante parasite intervenant dans le circuit. Cette méthode peut alors se résumer aux deux actions listées ci-dessous :

1. Modélisation du courant circulant dans la branche motionnelle par une source parfaite fournissant un signal sinusoïdal à la fréquence de résonance (1.1),

2. La cellule oscillateur est ensuite représentée par son impédance dipolaire équivalente Zd (1.13) pour laquelle Rd constitue sa partie réelle et Xd = Ldω sa partie imaginaire, lesquelles sont fonc- tions de l’amplitude du courant.

Zd= Rd+ jLdω (1.13)

d’écrire la relation (1.14) entre l’impédance de la branche motionnelle (ZQ) et celle de l’électronique d’entretien (Zd) :

Zd+ ZQ= 0 (1.14)

Par identification entre les parties réelles et imaginaires, les deux équations suivantes permettent de définir l’amplitude et la fréquence d’oscillation du système en régime établi.

     Rm = −Rd Lmω − 1 Cmω = −Ld ω (1.15)

Cette méthode a fait l’objet de travaux qui ont conduit, entre autre, à la réalisation d’un logiciel de simulation nommé ADOQ (Analyse Dipolaire des Oscillateurs à Quartz) compatible avec le simulateur SPICE®[66, 67] et son extension ADOQ-S [68] compatible sous SPECTRE®.