Problème posé par les points anguleux (double singularité)

où et sont respectivement le champ et sa dérivée normale aux points , est la constante d'Euler-Mascheroni, est le pas d’échantillonnage, sont respectivement les dérivées premières et secondes des variables x et z et est la longueur infinitésimale.

Dans le cas où les points et sont très proches, les éléments des intégrales présentent une instabilité numérique (quasi-singularité). En effet, la quadrature numérique fournit des résultats moins précis à cause du comportement de la fonction de Green en (log R) ou de sa dérivée normale en (1/R). Un traitement particulier s’avère nécessaire afin d’évaluer correctement ces intégrales. Il consiste à ajouter et à retrancher les termes singuliers, ce qui conduit à évaluer une partie régulière et une autre singulière. Les éléments réguliers sont calculés grâce à la formule de quadrature. En ce qui concerne les éléments singuliers de l’intégrale contenant la fonction de Green , il est possible de montrer qu’ils peuvent être calculés analytiquement. Par ailleurs, l’intégrale contenant la dérivée normale de la fonction de Green est convertie en intégrale régulière à l’aide des coordonnées polaires locales et ensuite calculée analytiquement. Les différentes étapes du calcul sont détaillées dans (Annexe C.2).

Dans le problème de l’objet diélectrique, nous ne traitons que des objets simplement connexes aux frontières lisses qui sont décrites par un paramétrage périodique. Dans la discrétisation des intégrales, la quadrature du point milieu est utilisée, par souci de simplicité, pour évaluer les intégrales régulières. Les singularités des noyaux des intégrales sont évaluées à l’aide du calcul dans (I.42-I.43) et les instabilités numériques lorsque les points et sont très proches, sont corrigés comme est montré dans l’annexe C2. Toutefois, la discrétisation dans un problème où la frontière n’est pas lisse peut être différente.

I.4.5 Problème posé par les points anguleux (double singularité)

Un autre point délicat de la discrétisation de la frontière et de l’approximation des fonctions inconnues est le problème de la singularité géométrique comme les coins ou les points anguleux. Ces singularités géométriques se trouvent à la frontière du guide (figure I.2). En effet, elles peuvent apparaître aux coins du guide aux points et .Comme nous l’avons constaté plus haut, l’équation intégrale (I.40) est valable pour une frontière lisse. Un traitement particulier est donc nécessaire pour exprimer correctement les intégrales en ces

37 points anguleux. A titre d’exemple, on peut remplacer le terme dans l'équation (I.40) par où est l'angle du coin extérieur [46]. Toutefois, les points et correspondent à une situation plus critique par le fait qu’ils sont la jonction de trois milieux différents : le conducteur parfait, le milieu diélectrique et l’espace libre (figure I.2). Ces points anguleux posent alors le problème de la définition du vecteur normal. En effet, le vecteur normal extérieur présente un saut à ces points, ce qui implique un comportement singulier du champ ou de sa dérivée normale. Aux points anguleux et , nous constatons qu’une double singularité peut se manifester, la singularité des noyaux des intégrales et la singularité provenant du comportement du champ et de sa dérivée normale. Cependant, on doit simuler correctement le champ et sa dérivée normale à proximité de ces points, ce qui requiert un traitement spécial dans la technique de discrétisation. Une solution consiste à utiliser le traitement de Meixner [47]. Elle consiste à développer le champ et sa dérivée normale au voisinage de et sous l'hypothèse que leur intensité est finie et d’intégrer ensuite les expressions obtenues analytiquement.

Une approche plus souple consiste à utiliser une quadrature numérique qui exclut les bornes. En d’autres termes, il convient d’utiliser une intégration numérique sans inclure les points d’extrémités. La raison pour laquelle on peut utiliser ce processus est qu’on n’a pas besoin d’affecter une valeur à la fonction inconnue en un point où elle n’est pas définie. Cette méthode est la quadrature du point milieu composite [48]. Toutefois, l’utilisation d’une telle méthode doit prendre en considération le fait que le champ ou sa dérivée normale peuvent être singuliers aux coins. En effet, pour décrire le champ correctement, de nombreux points d’échantillonnage sont nécessaires au voisinage d’un point singulier. En d’autres termes, il faut utiliser un échantillonnage plus fin lorsqu’on se rapproche des coins et . Cela implique que la méthode du point milieu doit être combinée avec un changement de variable par une expression dérivable, de telle manière qu’on puisse réaliser une discrétisation non uniforme.

I.4.5.1 Discrétisation non uniforme

La discrétisation non uniforme a pour but de définir de façon convenable l’échantillonnage de la frontière permettant ainsi de décrire correctement le comportement du champ. Cette discrétisation peut être réalisée par la méthode du point milieu combinée avec un changement de variable qui peut être polynomial. Par souci de simplicité, on divise la frontière dans l’équation (I.40) pour le guide en trois contours (1)+(2)+(3) (figure I.2). Prenons tout d’abord le contour (2). On considère qu’il est paramétré par le paramètre ’ qui varie dans . Le changement de variable polynomial associé au paramètre ’ est donné dans l'équation (I.44) :

38

où est une fonction arbitraire, est le paramétrage uniforme, est un point sur le contour (2), _{et désignent respectivement les dérivées de et} par rapport au paramètre ’. Dans la relation polynomiale (I.44), un paramètre important est le facteur p qui doit être soigneusement défini. Effectivement, ce paramètre permet de définir l’ordre du polynôme pour contrôler la discrétisation non uniforme et la condition de lissage. Ainsi, la condition pour avoir une courbe lisse pour le paramètre lorsque τ = 0 impose que p doit être un nombre entier pair. Cela signifie que la valeur la plus faible que peut prendre p est 2. A titre d’exemple, la figure I.6 montre l’allure du paramétrage non uniforme ’ pour les deux paramètres p=2 et p=4 en fonction du paramétrage uniforme dans l’intervalle . La concentration des points de paramétrage se situe aux alentours de -1 et 1. Lorsqu’on augmente le paramètre p, on remarque que la concentration des points augmente aux extrémités de l’intervalle et diminue proportionnellement dans l’intervalle de -0.5 à 0.5.

Considérons l’échantillonnage uniforme de τ comme suit: avec le pas de discrétisation où est le nombre de points d’échantillonnage. La quadrature du point milieu composite qui permet d’approximer l’intégrale dans l’équation (I.44) sur le contour est donnée par l’équation (I.45).

avec

Le choix de la discrétisation non uniforme permet de décrire correctement le comportement du champ au voisinage du point singulier. La figure I.7 montre le comportement du champ

Figure ‎I.6. Paramétrage non uniforme

39 sur le contour (2) avec un profil presque aplati (b =10-6 cm), c'est-à-dire que le contour (2) est un segment droit. Ce champ est calculé pour un guide de largeur 2a =3 cm, excité par le mode fondamental TM0 à la fréquence de 30 GHz. Tous les contours (1), (2), (3) et (4) sont discrétisés en utilisant le même pas d’échantillonnage de 0,0067. On distingue les parties réelles et imaginaires du champ représentées avec des points de discrétisation non uniforme de paramètre p = 2 (figure I.7). En utilisant la discrétisation non uniforme, on observe une accumulation de points au voisinage des extrémités . Le champ varie rapidement aux coins du guide à cause du passage d’un milieu à une jonction de trois milieux différents ; la discrétisation non uniforme permet de suivre cette variation rapide du champ aux extrémités de l’intervalle.

Concernant l’intégrale sur les contours (1) et (3), la même procédure de discrétisation peut être utilisée. Toutefois, nous constatons que ces intégrales sont indéfinies. Pour des raisons pratiques, ces intégrales doivent être approximées par des intégrales définies. La borne inférieure de l’intégrale (1) et la borne supérieure de l'intégrale (3) doivent être introduites à l'aide d'un critère de convergence.Elles seront déterminées en faisant varier

et jusqu’à ce que ce critère de convergence défini par la stabilisation des coefficients rétro-réfléchis soit atteint.Les bornes des intégrales sont alors paramétrées de telle manière que le paramètre t’ varie sur [-t1, - 1] pour le contour (1) et sur [1, t3] pour le contour (3). La méthode du chemin (2) est utilisée pour effectuer le changement de variable pour paramétrer le chemin (1) et le chemin (3). Ainsi, l’échantillonnage uniforme τ pour le contour (1) doit être réparti suivant et pour le contour (3) suivant où h1 et

h3 sont les pas de discrétisation qui peuvent être égaux. De cette manière, les expressions des poids et ne sont pas significativement différents de défini par l’équation (I.45). Ces expressions sont décrites par les équations (I.46- I.47).

(b)

Figure ‎I.7. Comportement du champ sur le contour (2) en fonction de x2 (polarisation TM) (a) partie réelle de (b) partie imaginaire de

40

où ’ varie de à 0 dans l’équation (I.46) et de +1 à + dans l’équation (I.47). Afin de faciliter l’implémentation de la méthode des éléments de frontière et pour des raisons de clarté, les équations intégrales sont écrites sous forme matricielle en utilisant les notations discrètes. On rappelle que le champ et sa dérivée normale seront respectivement remplacés par et ainsi que la fonction de Green et sa dérivée normale par et .En utilisant la définition discrète, on peut réécrire par exemple l’équation (I.40) pour le contour (1)+(2)+(3) sous la forme compacte de l’équation (I.47).

En conclusion, les difficultés liées à la discrétisation ont été surmontées. Les intégrales contenant les termes réguliers peuvent être évalués avec la quadrature numérique comme la formule du point milieu combinée à un changement de variable. Les intégrales contenant les noyaux singuliers sont évaluées en utilisant les traitements particuliers présentés dans la section (I.4.4).

I.5 Opérateur d’impédance