Méthode intégrale

A l’instar des méthodes différentielles, la méthode « équation intégrale aux frontières » consiste essentiellement à ramener un problème de calcul des champs électromagnétiques posé dans le domaine en entier au calcul d’intégrales aux frontières du domaine. Le passage se fait à l’aide de la seconde identité de Green et en utilisant la fonction de Green, solution élémentaire de l’équation de Helmholtz et qui vérifie des conditions de rayonnement à l’infini. Le nouveau problème s’exprime sous forme d’équations intégrales aux frontières qui sont résolues numériquement dans la plupart des cas en utilisant la méthode des éléments de

27 frontières [25]. Cette dernière méthode s’est posée comme une alternative à la méthode des éléments finis (MEF), en particulier lorsque le domaine de propagation devient infini. En effet, la méthode des éléments de frontières apparaît plus appropriée puisque seule la frontière du domaine doit être discrétisée. L’avantage conceptuel des méthodes intégrales sur d’autres techniques (techniques différentielles) est qu’on n’a pas besoin de mailler tout le domaine, ce qui permet de gagner une dimension d’espace pour la discrétisation. Le champ électromagnétique en tout point de l’espace peut être ensuite déterminé à partir du champ à la limite, de sa dérivée normale et des fonctions de Green. En outre, la condition de Sommerfled de rayonnement à l’infini est satisfaite dans la méthode d’équation intégrale aux frontières via le noyau des formulations intégrales. Cependant, elle entraîne une formulation mathématique plutôt délicate à cause de l’évaluation d’intégrales contenant des fonctions singulières.

I.3.1 Fonction de Green

Les fonctions de Green constituent un outil mathématique couramment utilisé en Physique pour résoudre des problèmes régis par des équations différentielles linéaires non homogènes tout en satisfaisant les conditions aux limites [26, 27]. Avec la technique des fonctions de Green, une solution de l’équation différentielle (Helmholtz) peut être obtenue en utilisant une source unitaire (impulsion ou delta de Dirac). Physiquement, elle correspond au rayonnement d’une source ponctuelle. Par conséquent, la solution pour l’ensemble des sources du problème peut être écrite comme la superposition des réponses impulsionnelles (fonctions de Green) avec le delta de Dirac appliqué aux différents points de la source, ce qui s’écrit sous la forme d’une intégrale de convolution [28]. La fonction de Green est donc le noyau de l'opérateur intégral qui est l'inverse de l'opérateur différentiel construit pour une équation différentielle donnée. En trouvant la fonction de Green, elle nous permet de réduire l'étude des propriétés de l'opérateur différentiel à l'étude des propriétés similaires de l'opérateur intégral correspondant.

L’équation typique résolue à l’aide de la fonction de Green se met sous la forme générique suivante :

où est l’opérateur mathématique linéaire différentiel, qui sera construit à partir de l’équation de propagation, et sont deux fonctions de la variable spatiale . Nous montrerons que les équations intégrales peuvent se mettre sous cette forme, où la fonction correspond aux sources (champ incident) et n’est autre que la fonction recherchée. La fonction de Green repose sur la résolution de l’équation caractéristique associée à (I.25) avec pour terme source une distribution de Dirac:

où est la fonction de Dirac. La fonction de Green est donc définie comme la réponse impulsionnelle de l’opérateur . Les fonctions de Green dépendent toujours de deux

28 vecteurs de position et , appelés respectivement le point d’observation et le point source. Il est à noter que l’opérateur opère sur .

La solution générale associée à l’équation différentielle (I.25) s’exprime sous forme variationnelle dans laquelle la fonction de Green et la fonction source apparaissent. Nous pouvons écrire :

En résumé, la solution de la fonction recherchée sera formulée à l’aide de la fonction donnée et de la fonction de Green adaptée au problème étudié.

I.3.2 Fonction de Green associée à l’équation de Helmholtz

Dans un milieu dépourvu de charge et de courant, l’équation de Helmholtz (I.11) homogène peut être résolue par la fonction de Green donnée par l’équation (I.28).

La solution de la fonction de Green associée à l’équation de Helmholtz bidimensionnelle peut être obtenue à l’aide de la transformée de Fourier spatiale et quelques manipulations mathématiques appliquées à l’équation (I.28) (voir annexe A). La fonction de Green pour un espace à deux dimensions, qui satisfait l’équation de Helmholtz (I.28) et la condition d’onde sortante est donnée par l’équation (I.29).

où est la fonction de Hankel de première espèce et d’ordre 0 et k le nombre d’onde dans le milieu. Pour un milieu infini, la fonction de Green scalaire vérifie l’équation (I.30) [29].

29 I.3.3 Equation intégrale pour le domaine intérieur et extérieur

Pour obtenir les équations intégrales à traiter par la suite, nous considérons tout d’abord le problème décrivant le processus qui permet la génération d’un jet photonique comme le montre la figure I.4. Un objet diélectrique convexe de permittivité relative et de perméabilité , est placé dans l’espace libre. L’objet peut être illuminé par une onde plane de polarisation TE (champ électrique E) ou de polarisation TM (champ magnétique H). Nous définissons alors un domaine intérieur délimité par la frontière et un domaine extérieur (ouvert) délimité par le contour et le contour . Le symbole signifie que la normale doit être orientée vers l'extérieur du domaine.

Figure ‎I.4. Contours utilisés pour la méthode d’équation intégrale pour le problème du jet photonique généré par un objet diélectrique convexe.

Nous formulons dans cette section les équations intégrales associées au problème de l’objet diélectrique. En multipliant l’équation (I.11) par et en soustrayant l’équation (I.28) multiplié par , on obtient la différence exprimée par l’équation (I.31).

En intégrant l’égalité (I.31) d’abord sur le domaine , on obtient l’intégrale donnée par l’équation (I.32).

où la propriété fondamentale de la fonction Dirac sous l’intégrale est utilisée et où la fonction de Green est définie pour le domaine . En appliquant la seconde identité de Green [26] sur le terme gauche de l’équation (I.32), l’intégrale sur le domaine est transformée en intégrale de contour sur la frontière de contenant le champ à la limite

30 et sa dérivée normale . Le champ dans le domaine intérieur est donc donné par l’équation (I.33) où le contour d’intégration est et les points d’observation sont dans le domaine .

où et sont respectivement le champ à la limite et sa dérivé normale et le vecteur correspond à la normale dirigée vers l’extérieur du domaine .

Dans le domaine extérieur , le champ total est composé du champ incident et du champ résultant de la diffusion de l’onde incidente par l’objet diélectrique. En utilisant le même raisonnement, le champ total dans le domaine peut être exprimé par l’équation (I.34).

où le contour d’intégration est maintenant , les points d’observation sont dans le domaine . Le signe moins devant l’intégrale signifie que le vecteur normal est maintenant orienté vers l’intérieur du domaine . Il est à noter que dans le cas du domaine extérieur, une autre condition à imposer est la condition de rayonnement de Sommerfeld [5]. Cette condition caractérise le comportement des solutions de l’équation de Helmholtz à l’infini. Elle signifie que l’énergie des sources doit se disperser vers l’infini, ce qui est vérifié puisque la fonction de Green et sa dérivée normale satisfont les conditions de rayonnement de Sommerfeld [30]. La contribution sur le contour lorsque peut être négligée (I.35).

Le champ à l’extérieur s’exprime donc en fonction du champ , de sa dérivée normale sur la frontière , de la fonction de Green , de sa dérivée normale définies pour l’espace libre, et le champ incident (I.36).

Nous avons pu exprimer l’équation intégrale pour le problème posé par l’objet diélectrique. La formulation des équations intégrales pour le problème du guide peut être obtenue suivant

31 le même principe (figure I.2). L’équation intégrale pour calculer le champ à l’extérieur du guide (espace libre) peut être donnée par l’équation (I.37).

où le contour d’intégration est maintenant défini par les plans conducteurs verticaux (1) et (3) et le profil de l’embout (2). Le point d’observation est dans le domaine (espace libre). Il convient de mentionner que la normale est orientée vers l’extérieur de l’espace libre. Notons que la contribution du contour qui enferme lorsque et du fait que la fonction de Green satisfait la condition de Sommerfeld (I.30), peut être négligée. Par ailleurs, l’équation (I.37) est aussi valable pour calculer le champ dans le domaine diélectrique entouré par son contour en prenant sa fonction de Green associée et la normale est orientée vers l’extérieur du domaine diélectrique.

L’équation intégrale (I.37) permet de calculer le champ en un point du domaine à partir des valeurs du champ et de sa dérivée normale sur la frontière à l’aide de la fonction de Green et sa dérivée normale , qui se comportent comme des ondes cylindriques pour ce problème. Pour résoudre l’équation (I.37), il est nécessaire de déterminer les champs aux limites et . Pour cela, on cherche à obtenir une autre équation permettant de déterminer les valeurs du champ aux limites, c’est l’équation intégrale aux frontières.

I.3.4 Equation intégrale aux frontières

Afin d’évaluer les champs aux limites, on peut approcher le point d’observation de l’équation intégrale (I.37) du contour en prenant . En effet, lorsque le point d’observation s’approche d’un point source sur le contour d’intégration , les équations intégrales aux frontières peuvent être obtenues. Par conséquent, le champ dans l’équation (I.37) tends vers et le noyau de l’intégrale présente une singularité du fait que ’. Il est possible de montrer que la fonction de Green a une singularité logarithmique et sa dérivée normale présente une singularité en , qui sont intégrables au sens des distributions [31]. En effet, le développement de et pour des arguments infinitésimaux [32] ( ) peut être écrit suivant les équations (I.38-I.39).

32 L’intégrale contenant la dérivée normale de la fonction de Green singulière doit être exprimée en termes de sa valeur principale et le contour d'intégration doit contourner le point singulier . La procédure usuelle est d’exclure ce point par un arc de cercle de petit rayon comme il est montré dans la figure I.5. Dans le cas où la frontière est lisse, c'est-à-dire que le point n’est pas un point anguleux, il est aisé de montrer que la singularité de l’équation (I.39) fournit la contribution lorsqu’on calcule l’intégrale (I.37) sur le petit contour avec (Annexe B). Enfin, on reformule l’équation intégrale (I.37) lorsque en termes de sa valeur principale [33] par l’équation (I.40).

où le point d’observation est maintenant un point de contour d’intégration . Il est à noter que l’équation (I.40) est valable pour tout milieu homogène délimité par un contour lisse. Les milieux situés de part et d'autre de la frontière contribuent chacun de moitié à la valeur de la fonction d'onde sur la frontière [34, 35]. Nous constatons que les inconnues du problème sont contenues seulement dans l’intégrale. On peut donc appliquer une procédure adaptée pour approximer les champs et leurs dérivées normales sur la frontière.