Probabilités conditionnelles .1Introduction

Comment doit-on modifier la probabilité que l’on attribue à un événement lorsque l’on dispose d’uneinformation supplémentaire? Le concept de probabilité conditionnelle permet de répondre à cette question.

Par exemple, une fédération d’escrime regroupe N licenciés, dont N_H hommes et

NF =N−NH femmes. Il y aNG gauchers (des deux sexes) parmi tous les licenciés. On choisit un individu au hasard. Notons :

G = {l’individu choisi au hasard est gaucher}

H = {l’individu choisi au hasard est un homme}

On noteN_G∩H le nombre d’escrimeurs hommes gauchers. On a bien sûr :P(H) =N_H/N

etP(G∩H) = N_G∩H/N. Quelle est la probabilité qu’un licenciéhomme choisi au hasard soit gaucher ? On dispose ici d’une information supplémentaire : on sait que l’individu choisi est un homme. En considérant les divers choix possibles d’un homme comme équiprobables, la probabilité cherchée est clairement : N_G∩H/N_H. Ceci s’exprime aussi à l’aide de P(H)et de P(G∩H)en remarquant que :

N_G∩H NH = ^{N P(G}∩H) N P(H) ⁼ P(G∩H) P(H) ^.

Par analogie, nous donnons dans le cas général la définition formelle :

Définition 2.30 (probabilité conditionnelle). SoitH un événement tel que P(H)6= 0. Pour tout événement A, on définit :

P(A|H) = ^P(A∩H)

P(H) ^,

appelée probabilité conditionnelle de l’événement A sous l’hypothèse H.

Remarquons que pour l’instant, il ne s’agit que d’un jeu d’écriture. On a simplement défini un réel P(A|H) pour que :

P(A∩H) =P(A|H)P(H).

Ce qui fait l’intérêt du concept de probabilité conditionnelle, c’est qu’il est souvent bien plus facile d’attribuer directement une valeur à P(A | H) en tenant compte des conditions expérimentales (liées à l’information H) et d’en déduire ensuite la valeur de

P(A∩H). Le raisonnement implicite alors utilisé est : tout espace probabilisé modélisant correctement la réalité expérimentale devrait fournir telle valeur pour P(A|H). . . Exemple 2.31. Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. On en tire deux l’une après l’autre, sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir deux rouges ?

Notons H et A les événements :

H ={rouge au 1er tirage}, A={rouge au 2e tirage}.

Un espace probabilisé (Ω,F, P) modélisant correctement cette expérience devrait véri-fier :

P(H) = ^r

r+v^, P(A|H) = ^r−1

r+v−1^.

En effet, si H est réalisé, le deuxième tirage a lieu dans une urne contenant r+v−1 boules dont r−1rouges. On en déduit :

P(deux rouges) =P(A∩H) =P(A|H)P(H) = ^r−1

r+v −1 × ^r

r+v^.

On aurait pu arriver au même résultat en prenant pour Ωl’ensemble des arrangements de deux boules parmi r+v, muni de l’équiprobabilité et en faisant du dénombrement :

cardΩ =A²_r+v = (r+v)(r+v−1), card(A∩H) = A²_r =r(r−1).

d’où :

P(A∩H) = ^r(r−1) (r+v)(r+v−1)^. Notons d’ailleurs que cardH =r(r+v−1)d’où

P(H) = ^cardH cardΩ ⁼ r(r+v −1) (r+v)(r+v−1) ⁼ r r+v^.

En appliquant la définition formelle de P(A|H)on retrouve :

P(A|H) = ^P(A∩H) P(H) ⁼ r(r−1) (r+v)(r+v−1) ×^r+v r ⁼ r−1 r+v−1^,

ce qui est bien la valeur que nous avions attribuée a priori en analysant les conditions expérimentales.

Remarque 2.32. Il importe de bien comprendre que l’écriture A | H ne désigne pas un nouvel événement¹⁹ différent de A. Quand on écrit P(A |H), ce que l’on a modifié, ce n’est pas l’événement A, mais la valeur numérique qui lui était attribuée par la fonction d’ensembles P. Il serait donc en fait plus correct d’écrire P_H(A) que P(A |

H). On conservera néanmoins cette dernière notation essentiellement pour des raisons typographiques : P(A|H₁∩H₂∩H₃) est plus lisible que P_H1∩H2∩H3(A).

19En fait cette écriture prise isolément (sans leP)n’a pas de sens et ne devraitjamais être utilisée. Le symbole|ne représente pas une opération sur les événements qui l’entourent.

2.6. Probabilités conditionnelles

2.6.2 Propriétés

Proposition 2.33. Soit (Ω,F, P) un espace probabilisé et H un événement fixé tel que P(H)6= 0. Alors la fonction d’ensembles P(. |H) définie par :

P(. |H) : F→[0,1] B 7→P(B |H) est une nouvelle probabilité sur (Ω,F).

La preuve a déjà été donnée à l’occasion de l’exemple 2.12. Une conséquence im-médiate est que la fonction d’ensembles P(. | H) vérifie toutes les propriétés de la proposition 2.16.

Corollaire 2.34. La fonction d’ensembles P(. |H) vérifie : 1. P(∅ |H) = 0, P(Ω|H) = 1 et si A⊃H, P(A|H) = 1. 2. Si les A_i sont deux à deux disjoints :

P(∪ⁿ i=1A_i |H) = n X i=1 P(A_i |H). 3. Pour tout B ∈F, P(Bc |H) = 1−P(B |H). 4. Pour tous A∈F et B ∈F, si A⊂B, P(A|H)≤P(B |H). 5. Pour tous A∈F et B ∈F, P(A∪B |H) = P(A |H) +P(B |H)−P(A∩B |H). 6. Pour toute suite (A_i)_i≥1 d’événements :

P ∪ i∈_N∗A_i |H≤ +∞ X i=1 P(A_i |H). 7. Si B_n ↑B, P(B_n |H)↑P(B |H), (n→+∞). 8. Si C_n ↓C, P(C_n |H)↓P(C |H), (n →+∞).

Nous n’avons vu jusqu’ici aucune formule permettant de calculer la probabilité d’une intersection d’événements à l’aide des probabilités de ces événements. Une telle formule n’existe pas dans le cas général. Les probabilités conditionnelles fournissent une méthode générale tout à fait naturelle pour calculer une probabilité d’intersection.

Proposition 2.35 (règle des conditionnements successifs).

Si A₁, . . . , A_n sont n événements tels que P(A₁∩. . .∩A_n−1)6= 0, on a : P(A₁∩. . .∩A_n) = P(A₁)P(A₂ |A₁)P(A₃ |A₁∩A₂)× · · ·

Preuve. Pour 1≤i≤n−1, on a ⁿ∩⁻¹ j=1A_j ⊂ ∩ⁱ j=1A_j d’où : 0< Pⁿ∩⁻¹ j=1A_j≤P∩ⁱ j=1A_j. DoncP ∩ⁱ j=1A_j

n’est nul pour aucuni≤n−1et on peut conditionner par l’événement i

∩

j=1A_j. Ceci légitime le calcul suivant :

P(A₁)P(A₂ |A₁)P(A₃ |A₁∩A₂)× · · · ×P(A_n |A₁∩. . .∩A_n−1) = P(A₁)×^P(A1∩A2) P(A₁) × ^{P(A1 ∩A2∩A3)} P(A₁∩A₂) × · · · × ^{P(A1∩. . .∩An)} P(A₁∩. . .∩A_n−1) = P(A₁∩. . .∩A_n),

après simplifications en chaîne de toutes ces fractions.

Les probabilités conditionnelles permettent aussi de calculer la probabilité d’un évé-nement en conditionnant partous les cas possibles. Du point de vue ensembliste, cescas possibles correspondent à une partition deΩ.

Définition 2.36 (partition). On dit qu’une famille (H_i)_i∈I est une partition de Ω si elle vérifie les trois conditions :

– ∀i∈I, Hi 6=∅. – Ω = ∪

i∈IH_i.

– Les H_i sont deux à deux disjoints (i6=j ⇒H_i∩H_j =∅). Proposition 2.37 (conditionnement par les cas possibles20).

(i) Si H est tel que P(H)6= 0 et P(Hc)6= 0, on a

∀A∈F, P(A) =P(A|H)P(H) +P(A|H^c)P(H^c).

(ii) SiH₁, . . . , H_nest une partition finie deΩen événements de probabilité non nulle, ∀A∈F, P(A) =

n X

i=1

P(A|H_i)P(H_i).

(iii) Si (H_i)_i∈N est une partition de Ω telle que ∀i∈_N, P(H_i)6= 0 : ∀A∈F, P(A) =

+∞

X

i=0

P(A|Hi)P(Hi).

2.6. Probabilités conditionnelles

Preuve. Il suffit de vérifier (iii), les deux premières propriétés se démontrant de façon analogue. Comme (Hi)i∈_N est une partition de Ω,

A=A∩Ω =A∩ ∪

i∈_NHi

= ∪

i∈_N(A∩Hi)

et cette réunion est disjointe car les H_i étant deux à deux disjoints, il en est de même pour les (A∩H_i). Par conséquent parσ-additivité :

P(A) = +∞ X i=0 P(A∩Hi) = +∞ X i=0 P(A|Hi)P(Hi).

Lorsqu’on a une partition de Ωen n hypothèses ou cas possibles Hi et que l’on sait calculer les P(H_i) et les P(A | H_i), on peut se poser le problème inverse : calculer

P(H_j | A) à l’aide des quantités précédentes. La solution est donnée par la formule suivante quelquefois appelée (abusivement) formule des probabilités des causes.

Proposition 2.38 (formule de Bayes).

Soit A un événement de probabilité non nulle. Si les événements H_i (1 ≤ i ≤ n) forment une partition de Ω et si aucun P(H_i) n’est nul, on a pour tout j = 1, . . . , n :

P(H_j |A) = ^P(A|H_j)P(H_j) Pn

i=1P(A|H_i)P(H_i)^. Preuve. Par définition des probabilités conditionnelles on a :

P(H_j |A) = ^P(A∩H_j)

P(A) ⁼

P(A|H_j)P(H_j)

P(A) ^.

Et il ne reste plus qu’à développerP(A)en conditionnant par la partition(H_i,1≤i≤n) comme à la proposition 2.37.

La même formule se généralise au cas d’une partition dénombrable. Ces formules sont plus faciles à retrouver qu’à mémoriser. . .

2.6.3 Quelques exemples

Exemple 2.39. On considère deux urnes U₁ etU₂. L’urne U₁ contientr₁ boules rouges et v₁ boules vertes. L’urneU₂ contientr₂ boules rouges et v₂ boules vertes. On lance un dé. S’il indique le chiffre 1, on choisit l’urne U₁, sinon on choisit U₂. Dans chaque cas on effectue deux tirages avec remise dans l’urne choisie. Quelle est la probabilité d’obtenir une rouge au premier tirage ? deux rouges en tout ?

Adoptons les notations d’événements suivantes :

H₁ ={choix de l’urne U₁}, H₂ =H₁^c ={choix de l’urne U₂}.

Il est facile de calculer directementP(R |H_i) et P(R∩R⁰ |H_i)pour i= 1,2. En effet, une fois l’urne U_i choisie, on a un problème classique de tirages avec remise dans la même urne que l’on peut traiter (par exemple) par le dénombrement. On a ainsi :

P(R |H_i) = ^ri

r_i+v_i^{, P(R}∩R⁰ |H_i) = ^ri

r_i+v_i

2 .

La formule de conditionnement par la partition{H₁, H₂} donne :

P(R) = P(R |H₁)P(H₁) +P(R |H₂)P(H₂) = ¹ 6 r₁ r₁+v₁ ⁺ 5 6 r₂ r₂+v₂ et P(R∩R⁰) = P(R∩R⁰ |H₁)P(H₁) +P(R∩R⁰ |H₂)P(H₂) = ¹ 6 r₁ r₁ +v₁ 2 + ⁵ 6 r₂ r₂+v₂ 2 .

Exemple 2.40. Un questionnaire à choix multiples propose m réponses pour chaque