Convergence en loi

Nous énonçons deux définitions de la convergence en loi et nous admettrons leur équivalence.

Définition 6.24 (convergence en loi). Notons F_n et F les fonctions de répartition respectives des variables aléatoires réelles Y_n (n ≥1) et Y. On dit que la suite (Y_n)_n≥1

converge en loi vers Y si

∀x point de continuité de F, F_n(x)−−−−→

n→+∞ F(x). (6.38) Rappelons quexest point de continuité de la f.d.r.F si et seulement siF(x−) =F(x) ou encore P(Y =x) = 0.

Définition 6.25 (convergence en loi). On dit que la suite (Y_n)_n≥1 de variables aléa-toires réelles converge en loi vers la variable aléatoire réelle Y si

∀h continue bornée _R→_R, Eh(Y_n)−−−−→

n→+∞ Eh(Y). (6.39) Remarquons que si h est continue bornée, les h(Y_n) et h(Y) sont des v.a. bornées, donc intégrables. Nous noterons la convergence en loi de Y_n vers Y par

Y_n −−−−→^loi n→+∞ Y.

La définition 6.24 est la plus concrète, surtout lorsque F est continue sur tout _R, cas souvent rencontré en pratique. En effet dans ce cas la convergence en loi équivaut à la convergence simple sur _R des fonctions de répartition et nous donne, pour tous réels

a < b, la convergence des P(Yn ∈ I(a, b)) vers les P(Y ∈ I(a, b)), où I(a, b) désigne n’importe lequel des 4 intervalles d’extrémités a etb.

La définition 6.25est souvent plus commode pour établir les propriétés de la conver-gence en loi et se généralise immédiatement aux vecteurs aléatoires de _R^d.

Définition 6.26 (convergence en loi de vecteurs aléatoires). On dit que la suite (Yn)n≥1 de vecteurs aléatoires de _R^d converge en loi vers le vecteur aléatoireY de _R^d si

∀h continue bornée _R^d→_R, Eh(Y_n)−−−−→

n→+∞ Eh(Y). (6.40) Remarques 6.27 (les pièges de la convergence en loi). Pointons d’emblée des différences importantes entre la convergence en loi et les autres modes de convergence vus jusqu’ici.

6.3. Théorème limite central

1. Il n’est pas nécessaire, pour la convergence en loi de Y_n vers Y, que ces variables aléatoires soient définies sur le même (Ω,F, P).

2. Il n’y a pas unicité de la v.a. limite en loi. Si (Y_n)_n≥1 converge en loi vers Y, elle converge aussi en loi vers n’importe quelle variable aléatoire Z ayantmême loi que

Y (éventuellement définie sur un autre espace probabilisé). Ceci se voit facilement sur chacune des deux définitions de la convergence en loi⁸. Réciproquement si Y_n

converge en loi vers Y et aussi vers Z, alors Y et Z ont même loi. En effet en utilisant la définition6.25 et l’unicité de la limite d’une suite convergente de réels, on voit que Eh(Y) = Eh(Z) pour toute h : _R → _R continue bornée. Par la proposition 5.12, on en déduit queY et Z ont même loi. En résumé, s’il n’y a pas unicité de la v.a. limite en loi, il y a unicité de sa loi, que l’on appelera loi limite9. 3. La convergence en loi n’est pas compatible avec l’addition. Si X_n converge en loi versXet siY_nconverge en loi versY, il est faux en général queX_n+Y_nconverge en loi vers X+Y. En effet si c’était le cas, commeXn converge en loi vers n’importe quelX⁰ ayant même loi queX,X_n+Y_n devrait converger aussi en loi versX⁰+Y. Le hic c’est que X+Y n’a pas forcément même loi queX⁰+Y.

Après ces mises en garde, voyons un exemple assez typique où la convergence en loi est le concept pertinent pour décrire le comportement asymptotique d’une suite de variables aléatoires.

Exemple 6.28 (une loi limite de records). Soit(Xk)k≥1 une suite de variables aléa-toires indépendantes et de même loi avec fonction de répartition communeF. Définissons la suite de variables aléatoires « records » (M_n)_n≥1 par :

M_n := max

1≤k≤nX_k, n ∈_N^∗. (6.41)

Connaissant F, il est facile d’obtenir la fonction de répartition G_n de M_n :

G_n(x) = P(M_n ≤x) =P ∀k ∈ {1, . . . , n}, X_k≤x=P ∩ⁿ

k=1{X_k ≤x}.

En utilisant l’indépendance des X_k, puis le fait qu’elles ont même loi, on en déduit :

G_n(x) = n Y

k=1

P(X_k ≤x) = F(x)ⁿ. (6.42) Supposons désormais que lesX_kont pour loi commune la loi exponentielle de paramètre

a. On a alors :

F(x) = 1−e^−ax six≥0, F(x) = 0 si x <0.

8Cette non-unicité de la limite est bien plus générale que pour les autres modes de convergence vus jusqu’ici où l’on avait convergence vers n’importe quelle Z égale p.s. à Y. Bien sûr, si Y et Z sont définies sur le même espace et sont égales p.s., elles ont même loi, mais la réciproque est grossièrement fausse. Quand on lance deux dés, on n’est pas sûr d’obtenir un double !

9Ceci incite à voir la convergence en loi de Yn vers Y comme la convergence de la loi PY_n vers la loi PY. On pourrait d’ailleurs, en sortant nettement du programme de ce cours, donner un sens mathématique précis à cette convergence, appelée convergence étroite des mesures de probabilité en notant queEh(Yn)ne dépend que dehet de PY_n.

G_n(x) = 1−e^−axn si x≥0, G_n(x) = 0 si x <0.

Donc pourxréel fixé, on alimn→+∞Gn(x) = 0. La signification intuitive de ce résultat est que le record M_n finira par dépasser n’importe quel niveau x fixé pour n assez grand10. Afin de préciser cette idée, on essaie de normaliser M_n pour contrôler sa croissance aléatoire vers +∞. Pour cela, on examine le comportement asymptotique de P(Mn −

a⁻1lnn≤x) : P Mn− ^lnn a ≤x =Gn x+^lnn a = 1−e^−ax−lnnn= 1−^e −ax n n . (6.43) On en déduit que : lim n→+∞P Mn− ^lnn a ≤x = exp −e^−ax . (6.44)

Le calcul (6.43) est valable pourlnn ≥ −ax, donc pour toutn∈_N∗ et tout x≥0. Pour

x <0 fixé, on aura lnn ≥ −ax pourn≥n₀(x)donc (6.44) est valable pour tout xréel. On peut donc dire qu’asymptotiquement, M_n est de l’ordre de grandeur de a⁻1lnn et que la dispersion aléatoire deM_nautour de cette valeur est donnée par la loi de fonction de répartition :

H(x) = exp −e⁻ax

, x∈_R. (6.45)

On vérifie immédiatement que H est continue sur _R, croissante (comme composée de deux fonctions décroissantes) avec pour limites 0 en −∞ et 1 en+∞. C’est donc bien une fonction de répartition. La loi de f.d.r. H est une loi de Gumbel.

D’après la définition6.24, on peut reformuler la conclusion en disant que la suite de variables aléatoiresM_n−a⁻1lnn converge en loi vers une v.a. suivant la loi de Gumbel de f.d.r. H donnée par (6.45).

Une propriété bien commode de la convergence en loi est sa conservation par image continue.

Proposition 6.29 (convergence en loi par image continue). Si Y_n converge en loi vers Y, alors pour toute f continue _R→_R, f(Yn) converge en loi vers f(Y).

Noter que l’on ne suppose pas f bornée sur_R.

Preuve. D’après la définition 6.25, il nous faut vérifier que pour toute fonctioncontinue bornée g :_R→_R,Eg(f(Yn))tend versEg(f(Y))quand ntend vers+∞. Or la fonction

g◦f est continue sur _R par composition et bornée sur _R par sup_t∈R|g(t)|. On sait par hypothèse que Eh(Y_n) converge vers Eh(Y) pour toute h continue bornée sur _R. En appliquant ceci avech=g◦f, on obtient la conclusion souhaitée.

10N’appliquez pas cette remarque au sport, même avec dopage. Cette « convergence en probabilité vers l’infini » deMn n’est possible que parce que chaqueXk peut elle même prendre une valeur supérieure àxavec une probabilité non nulle. Si on prend pourXk des variables de loi uniforme sur[0,1], la suite des records restera bornée par1.

6.3. Théorème limite central

La preuve ci-dessus se généralise immédiatement aux vecteurs aléatoires.

Proposition 6.30 (convergence en loi de vecteurs par image continue). Si les Y_n etY sont des vecteurs aléatoires de _R^d tels que Y_n converge en loi versY, alors pour toute f continue_Rd →_Rj, f(Y_n) converge en loi vers f(Y) dans _Rj.

Le diagramme des convergences de la figure 6.2 indique que la convergence en loi est la plus faible des convergences de suites de variables aléatoires. Cette affirmation se justifie par le résultat suivant.

Proposition 6.31. La convergence en probabilité implique la convergence en loi : si les Y_n (n ≥ 1) et Y sont des variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (Ω,F, P)telles que Y_n converge en probabilité vers Y, alorsY_n converge aussi en loi vers Y.

Nous allons prouver la proposition en utilisant la définition6.25, cette méthode ayant l’avantage de se généraliser immédiatement au cas des vecteurs aléatoires¹¹de_R^d. Nous aurons besoin du lemme élémentaire d’analyse suivant.

Lemme 6.32 (convergence par sous-sous-suites). La suite de réels(u_n)_n≥1converge vers le réel ` si de toute sous-suite de (u<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥1 on peut extraire une nouvelle sous-suite convergeant vers `.

Preuve. Par confort typographique, nous noterons une sous-suite de (un)n∈_N∗ comme une suite (u_n)_n∈A, oùA est une partie infinie de _N^∗. Une sous-suite de (u_n)_n∈A s’écrira alors (u_n)_n∈B, pour une partie infinie B de A. La convergence de cette sous-suite sera notée :

un−−−−−−−→ n∈B, n→+∞ `.

L’hypothèse du lemme s’écrit donc

∀A infini ⊂_N^∗, ∃B infini ⊂A, u_n −−−−−−−→

n∈B, n→+∞ `. (6.46) Supposons que (u<sub>n</sub>)<sub>n</sub>∈<sub>N</sub>∗ ne converge pas vers `. Il existe alors un ε >0 tel que

∀j ∈_N^∗, ∃n≥j, |u_n−`| ≥ε. (6.47) Autrement dit, il existeune infinité d’entiersntels que|u<sub>n</sub>−`| ≥ε. NotonsAl’ensemble de ces entiers. Par l’hypothèse (6.46), il existe une partie infinie B de cet ensemble A

telle que la sous-suite (u_n)_n∈B converge vers`. On peut alors trouver n ∈B assez grand pour que|u<sub>n</sub>−`|< ε. Mais comme cetnest aussi dansA, on aboutit à une contradiction. On peut donc conclure à la convergence de (un)n∈_N∗ vers `.

11La convergence en probabilité de Yn vers Y dans _Rd se définit comme en dimension 1, mais en remplaçant|Yn−Y|parkYn−Ykaprès le choix d’une norme dans_Rd. Peu importe laquelle, puisqu’en dimension finie elles sont toutes équivalentes.

Preuve de la proposition 6.31. Par hypothèse, Y_n converge en probabilité vers Y. Soit

h : _R → _R continue bornée quelconque, il s’agit de prouver que Eh(Yn) converge vers

Eh(Y). Nous allons utiliser pour cela le lemme 6.32 avec u_n = Eh(Y_n) et ` = Eh(Y). Commeh est bornée, il existe un réel b >0 tel que h(x)∈ [−b, b] pour tout x ∈_R. On en déduit l’inégalité entre variables aléatoires−b ≤h(Yn)≤b. Soit A une partie infinie quelconque de _N^∗. Puisque (Y_n)_n∈A converge en probabilité vers Y, on peut en extraire une sous-suite(Y_n)_n∈B qui converge p.s. vers Y. Par continuité de h, on en déduit que

h(Y_n)−−−−−−−→^p.s. n∈B, n→+∞ h(Y).

Comme |h(Yn)| ≤ b, on en déduit par le théorème de convergence dominée, la v.a. constanteb étant évidemment intégrable, que

Eh(Y_n)−−−−−−−→

n∈B, n→+∞ Eh(Y).

Comme A était quelconque, on conclut par le lemme 6.32 que c’est toute la suite (Eh(Y_n))_n∈_N∗ qui converge vers Eh(Y). Ceci étant vrai pour toute fonction continue bornée h, la proposition6.31 est démontrée.