Indépendance et espérance

Une propriété essentielle de l’indépendance des suites de variables aléatoires est que l’espérance d’un produit est égale au produit des espérances. La formulation précise, d’une portée encore plus générale, est la suivante.

Théorème 5.39. Pour i = 1, . . . , n, soient X_i : Ω → _Rdi des vecteurs aléatoires in-dépendants et hi :_R^di → _R, des fonctions boréliennes telles que les variables aléatoires réelles h_i(X_i) soient intégrables. Alors la v.a. h₁(X₁). . . h_n(X_n) est intégrable et

E h₁(X₁). . . h_n(X_n) = n Y

i=1

Eh_i(X_i). (5.33)

En particulier si pour touti,d_i = 1eth_i est l’identité sur_R, on obtient l’interversion espérance produit.

Corollaire 5.40. Si X₁, . . . , X_n sont des variables aléatoires réelles indépendantes et intégrables, leur produit X₁. . . X_n est intégrable et

E(X₁. . . X_n) = (EX₁). . .(EX_n). (5.34) Preuve. Par hérédité de l’indépendance, plus précisément par la version de la proposi-tion5.25où la suite de départX₁, . . . , X_nest une famille hétéroclite de vecteurs aléatoires indépendants, le problème se réduit à la preuve de l’intégrabilité de Y =Y₁. . . Y_n et de l’égalité

E(Y₁. . . Y_n) = (EY₁). . .(EY_n), (5.35) pourtoute suite finie Y₁, . . . , Y_n (n ≥2) de v.a. intégrables et indépendantes.

Bien qu’il soit possible de traiter le cas n quelconque d’un coup, nous allons réduire le problème au cas n = 2, pour alléger les notations. Admettons donc pour un instant que nous ayons établi (5.35) dans le cas n = 2. On fait alors une récurrence finie sur 2 ≤ k < n en prenant pour hypothèse que (5.35) est vérifiée pour les produits de k

facteurs. Alors l’indépendance des Y_i (1 ≤ i ≤ n) implique celle de (Y₁, . . . , Y_k) et de

Y_k+1, par hérédité pour les blocs disjoints cf. corollaire 5.26 et remarque 5.23-1. Par l’hypothèse de récurrence,Y₁. . . Y_k est intégrable et commeY_k+1 l’est aussi, leur produit l’est encore par le cas n= 2. On a donc

E Y₁. . . Y_kY_k+1 = E (Y₁. . . Y_k)Y_k+1

= E(Y₁. . . Y_k)

EY_k+1

par le cas n = 2

= (EY1). . .(EYk)(EYk+1) par l’hypothèse de récurrence. Ainsi la validité de (5.35) au rangk implique sa validité au rang k+ 1, ce qui achève la partie « hérédité » de notre récurrence finie.

Il nous reste maintenant à prouver que pour toutes v.a. réellesY1 etY2 indépendantes et intégrables,

Y₁Y₂ est intégrable et E(Y₁Y₂) = (EY₁)(EY₂). (5.36) Nous allons traiter successivement les cas suivants.

5.2. Indépendance de variables et vecteurs aléatoires

1. Y_i =1_Ai, i= 1,2 où les A_i ∈F sont des évènements ; 2. Y₁ et Y₂ variables aléatoires simples ;

3. Y₁ et Y₂ variables aléatoires positives ;

4. Y₁ et Y₂ variables aléatoires réelles intégrables.

Cas 1. Si Y_i = 1_Ai, pour un A_i ∈ F, les v.a. Y_i et leur produit sont intégrables car bornées. L’indépendance des v.a. Y₁ etY₂ implique¹¹ celle des évènements A₁ etA₂ car

A_i =

1_Ai ∈ {1} . D’autre part, on vérifie facilement (faites-le) que

1_A11_A2 =1_A1∩A2.

Grâce à la formule E(1_A) = P(A) et à l’indépendance de A₁ et A₂, on en déduit

E(Y₁Y₂) = E 1_A1∩A2

=P(A₁∩A₂) =P(A₁)P(A₂) =E 1_A1E 1_A2= (EY₁)(EY₂),

ce qui achève la vérification de (5.36) dans le cas des variables aléatoires indicatrices. Cas 2. Supposons maintenant que Y₁ et Y₂ sont deux variables aléatoires simples in-dépendantes. Elles sont alors bornées donc intégrables ainsi que leur produit. Notons

Y₁(Ω) = {y_1,1, . . . , y_1,l}, les y_1,j étant tous distincts et faisons de même pour Y₂(Ω) = {y_2,1, . . . , y_2,m}. Alors on a les décompositions

Y1 = l X j=1 y1,j1A1,j, Y2 = m X k=1 y2,k1A_2,k, avec A_1,j = {Y₁ = y_1,j} ={Y₁ ∈ {y_1,j}} et A_2,k ={Y₂ = y_2,k} = {Y₂ ∈ {y_2,k}}. On en déduit que pour 1≤ j ≤ l et 1 ≤ k ≤ m, les deux évènements A_1,j et A_2,k héritent de l’indépendance de Y1 et Y2. En utilisant la linéarité de l’espérance, cette indépendance d’évènements et le cas 1, on obtient :

E(Y1Y2) = E l X j=1 m X k=1 y1,jy2,k1A1,j1A_2,k = l X j=1 m X k=1 y1,jy2,kE 1A1,j1A_2,k = l X j=1 m X k=1 y_1,jy_2,kE 1_A1,jE 1_A2,k = l X j=1 y_1,jE 1_A1,j m X k=1 y_2,kE 1_A2,k = E l X j=1 y_1,j1_A1,j E m X k=1 y_2,k1_A2,k = EY₁EY₂.

Ainsi (5.36) est vérifiée dans le cas des variables aléatoires simples. 11En fait équivaut à . . .(exercice).

Cas 3. Soient Y₁ et Y₂ deux variables aléatoires positives indépendantes (on n’a pas besoin de les supposer intégrables ici). On sait (cf. théorème 4.19) que la v.a. positive

Y_i est limite d’une suite croissante de v.a. positives simples : Y_i,n ↑ Y_i, i = 1,2. Plus précisément, on peut prendre (revoyez la preuve du théorème4.19 et vérifiez la formule proposée ci-après)

Y_i,n =h_n(Y_i), h_n :_R+ →_R+, x7−→min n,2⁻ⁿ[2ⁿx]

.

La fonction h_n est croissante donc borélienne. La proposition 5.25 nous dit alors que pour chaque n, les v.a. Y_1,n et Y_2,n héritent de l’indépendance de Y₁ et Y₂. Comme ce sont des v.a. simples, le cas 2 nous donne :

∀n∈_N^∗, E Y_1,nY_2,n= EY_1,n EY_2,n. (5.37) En notant que Y_1,nY_2,n converge en croissant vers Y₁Y₂, un passage à la limite dans (5.37) et une triple application du théorème de Beppo Levi nous donnent E(Y₁Y₂) =

EY₁EY₂.

Cas 4. Si Y₁ et Y₂ sont deux variables aléatoires réelles indépendantes et intégrables, |Y1| et|Y2| sont des v.a. positives indépendantes et par le cas 3,

E|Y₁Y₂|=E(|Y₁||Y₂|) = (E|Y₁|)(E|Y₂|)<+∞,

ce qui établit l’intégrabilité deY₁Y₂. Cette intégrabilité implique aussi celle des produits de v.a. positivesY₁⁺Y₂⁺,Y₁⁺Y₂⁻,Y₁⁻Y₂⁺etY₁⁻Y₂⁻. D’autre part les facteurs de chacun de ces produits héritent leur indépendance de celle deY1 etY2, puisqueY_i⁺ = max(Yi,0)et

Y_i⁻ = max(−Y_i,0). En utilisant le cas 3 on obtient alors (notez que toutes les espérances intervenant dans ce calcul sont finies) :

E(Y1Y2) = E (Y₁⁺−Y₁⁻)(Y₂⁺−Y₂⁻)

= E(Y₁⁺Y₂⁺)−E(Y₁⁺Y₂⁻)−E(Y₁⁻Y₂⁺) +E(Y₁⁻Y₂⁻) = EY₁⁺EY₂⁺−EY₁⁺EY₂⁻−EY₁⁻EY₂⁺+EY₁⁻EY₂⁻

= EY₁⁺−EY₁⁻ EY₂⁺−EY₂⁻

= (EY₁)(EY₂),

ce qui achève la vérification de (5.36).

La preuve du théorème 5.39 est maintenant complète.

Comme sous-produit de la démonstration ci-dessus et notamment du cas 3, on a le résultat suivant.

Proposition 5.41. Le théorème 5.39 s’applique sans condition d’intégrabilité des Y_i =

h_i(X_i) si les fonctions boréliennes h_i sont positives. Le corollaire 5.40 est vrai sans condition d’intégrabilité pour des variables aléatoires positives.

5.2. Indépendance de variables et vecteurs aléatoires

Une application importante du théorème 5.39 est que l’indépendance de deux v.a. implique la nullité de leur covariance (lorsqu’elle existe).

Proposition 5.42 (indépendance et covariance).

a) SiX etY sont des v.a. réelles de carré intégrable et indépendantes, leur covariance est nulle.

b) SiX1, . . . , Xnsont des v.a. réelles de carré intégrable et deux à deux indépendantes, en notant S_n:=^Pn_k=1X_k, on a VarS_n= n X k=1 VarX_k. (5.38)

Preuve. Le a) est une conséquence immédiate du corollaire 5.40 et de la formule de Koenig puisque Cov(X, Y) =E(XY)−(EX)(EY) = (EX)(EY)−(EX)(EY). On peut le voir aussi à partir de la définition de la covariance puisque X −EX et Y − EY

héritent de l’indépendance de X et Y et sont deux v.a. d’espérance nulle. Notons aussi que pour des v.a. indépendantes, on n’a pas besoin de supposer que X et Y soient de carré intégrable pour définir leur covariance, leur intégrabilité suffit.

Le b) est une conséquence immédiate du a) via la formule 5.7. Notons qu’il suffit d’avoir ici l’indépendance deux à deux qui est plus faible que l’indépendance mutuelle12.

Remarque 5.43. La nullité de la covariance de deux v.a. réellesX etY n’implique pas leur indépendance. Voici un contre exemple. Prenons X de loi uniforme sur [−1,+1] et

Y :=X². On a alors en notant que X a pour densité ¹₂1[−1,1],

EX = ¹ 2 Z +1 −1 xdx= 0 et E(XY) =E(X³) = ¹ 2 Z +1 −1 x³dx= 0,

d’où Cov(X, Y) = E(XY)−(EX)(EY) = 0. Il est clair intuitivement que X et Y ne sont pas indépendantes puisqueY est une fonction déterministe deX. Pour vérifier cette non-indépendance par le calcul, on peut remarquer que d’une part

P X ∈[0,1/2]et Y ∈[0,1/4] = P X ∈[0,1/2] etX ∈[−1/2,1/2] = P X ∈[0,1/2]= ¹ 4 et d’autre part P X ∈[0,1/2])P Y ∈[0,1/4] = ¹ 4^{P X} ∈[−1/2,1/2] = ¹ 8^.

12En fait il suffit d’avoir la non-corrélation deux à deux, c’est-à-dire Cov(Xi, Xj) = 0pour i6=j, ce qui est encore plus faible.

Chapitre 6