3. Diffusion moléculaire : approches macroscopiques
3.4 Forme des lois de transport macroscopiques
3.4.3 Prise de moyennes sur volume mobile • Milieu à simple porosité
Dans la littérature, cette méthode est fortement associée au nom de Whitaker (1967), qui l'a appliquée pour décrire le transport par dispersion. Kim et al. (1987) en ont donné une version plus restreinte dans le cadre de la diffusion moléculaire 'pure'. Il s'agit de reprendre les équations de transport à l'échelle microscopique :
Dans les pores : ∂C
∂t = D0∆C (I-110)
A l'interface : n.r ∇C = 0r (I-111)
et d'en moyenner tous les termes dans un volume V de la taille du VER. V est un volume mobile qui peut être déplacé sur le matériau, et qui est repéré par sa position macroscopique x .r
On obtient ainsi en premier lieu :
∂C ∂t ( r r ,t)d3r r r∈V (
∫
rx ) = D0 ∆C( r r ,t)d3r r r∈V (∫
x )r (I-112)Le travail consiste ensuite à transformer cette équation afin de n'exprimer ses différents termes qu'en fonction de la concentration macroscopique définie ici par :
Cmacro(x,t)r = 1 φV(x )r C( r r ,t)d3r r r∈V (
∫
rx ) (I-113)avec la convention que toute fonction de l'espace est prise nulle dans la matrice solide.
V(x) x
r
Pore
Matrice solide
Figure I-35 : Matériau poreux et volume mobile V(x). x est une variable macroscopique qui repère la
position de V(x) dans le matériau. r est la 'véritable' variable d'espace à l'intérieur des pores
Cette dernière étape ne se satisfait pas du seul jeu de transformation d'écritures par le biais des mathématiques, mais nécessite également des approximations physiques pour relier des grandeurs purement microscopiques au champ macroscopique. La plus commune est de supposer que l'échelle de temps du problème considéré est grande devant le temps caractéristique de mise à l'équilibre des concentrations à l'intérieur du VER. Ceci permet, comme dans la méthode des développements asymptotiques, d'exprimer le champ de concentrations à l'échelle microscopique en fonction du champ de concentration macroscopique et d'un opérateur de localisation χ(r r ) de moyenner nulle :
C(r ,t)r ≈ Cmacro(
r
x,t)+χ(r r ).r ∇rxrCmacro(x,t)r (I-114) χ(r r ) est défini par :r
- Dans les pores : ∆rχ(r r )r = 0 (I-115)
- A l'interface : ∇χ.r nr = −nr (I-116)
χ(r r ) est une fonction bornée qui n'est définie qu'à une constante additive près.r Cette constante est fixée de sorte que χ(r r ) soit de moyenne nulle dans tout VER.r
La loi de transport obtenue est alors :
φ∂Cmacro ∂t = Dij *∂2Cmacro ∂xi∂xj i, j
∑
=1,2,3 (I-117) avec :D* ≡ D0 V (x )r (I + ∇ r χ(r ))dr 3r r r∈V (
∫
x )r (I-118)Comme V(x ) est supposé correspondre au moins à un VER, la dernière intégraler ne dépend en fait pas de x , et défini donc un tenseur de diffusion effectif Dr * intrinsèque au matériau.
Nous aboutissons ainsi à un des résultats de la méthode des développement asymptotiques. Comme dans cette dernière méthode, la validité de ce résultat repose sur des notions de :
- séparation des échelles d'espace : elle est nécessaire ici pour que le VER paraisse 'ponctuel' devant l'échelle macro.
- échelle de temps grande devant le temps caractéristique d'évolution des concentrations à l'échelle micro, avec une légère différence cependant. Dans le cas présent, la relation nécessaire entre échelle de temps et échelle d'espace est :
T >> l 2
D0 (I-119)
Ce critère a ceci de satisfaisant au plan intuitif qu'il ne dépend pas de la taille de l'échantillon. Néanmoins il reste flou quand à la définition précise de ce 'très grand devant'. Pour la méthode des développements asymptotiques, le critère prenait au contraire la forme nettement plus précise :
P≤ε2 c'est à dire T ≥ L 2
D0 (I-120)
avec cependant ceci de choquant qu'il dépend de la taille de l'échantillon.
• Milieu à double porosité
Le cas de milieux à double porosité a été examiné par Piquemal (1992) pour la dispersion dans deux configurations différentes de matériaux poreux.
Dans le premier cas, le matériau est constitué à l'échelle microscopique par : - des vides connectés qui constituent la porosité circulante
- des matériaux poreux, déjà homogénéisés à l'échelle microscopique, qui constituent la porosité 'stagnante'
- du matériau plein, qui correspond au reste de la matrice solide du système
Dans le deuxième cas, il n'y a pas de double porosité à proprement parler, mais de simples renfoncements dans la matrice solide dans lesquels le champ de vitesse est supposé nul. Le modèle continue à distinguer 3 zones à l'échelle microscopique :
- la porosité privée des 'renfoncements' qui représente la porosité circulante - les renfoncements, qui représentent la porosité stagnante
Matrice solide Porosité circulante Porosité circulante Interface porosités circulante-stagnante Inclusion poreuses
Figure I-36 : A gauche : modèle de porosité stagnante sous forme de renfoncements.
A droite : modèle de porosité stagnante par inclusions de matière poreuse
Dans l'hypothèse d'un fort nombre de Péclet dans la zone circulante, et, pour le deuxième modèle, lorsque la surface de contact entre les renfoncements et la porosité circulante est petite devant l'aire de l'interface renfoncements-matrice solide, Piquemal retrouve à l'échelle macroscopique un modèle de Coats et Smith qui s'appuie sur le découpage zone mobile-zone stagnante de l'échelle micro.
Il est cependant à noter que dans ce travail, porosités stagnante et circulante sont distinguées artificiellement dès l'échelle microscopique, puis traitées séparément tout au long du calcul. De ce découpage -somme toute arbitraire dans le cas des renfoncements- dépend en fait la valeur des coefficients de transport macroscopiques. La cinétique d'échange du premier ordre entre les deux zones correspond quant à elle à une hypothèse physique simplificatrice faite au cours des calculs, et ne doit donc en rien être considérée comme une conséquence rigoureuse des équations microscopiques. En outre, cette approche introduit la constante cinétique d'échange comme une constante phénoménologique, et ne permet donc pas de la relier à la micro-géométrie du matériau.
• Conclusion
La méthode de prises de moyennes sur volume mobile doit donc ainsi être vue comme un moyen d'introduire des intuitions physiques dans un traitement mathématique du passage micro-macro. Ce recours à l'intuition fait par exemple qu'elle propose ici un critère d'homogénéisabilité plus intuitif que la méthode des développements asymptotiques. Néanmoins, alors que cette dernière méthode donnait un sens mathématique précis à son critère, le critère obtenu dans le cas présent n'a par contre qu'une signification plus qualitative que quantitative.
Un danger de la méthode de prises de moyenne est qu'elle ne dispose en fait que de très peu de garde-fous. Celui qui la met en oeuvre avec des intuitions initiales fausses sur son système peut ensuite parvenir très mathématiquement à des équations macroscopiques erronées. En particulier, dans le travail de Piquemal présenté ci-dessus, le découpage des zones circulantes et stagnantes à l'échelle microscopiques et le choix de la cinétique d'échange d'ordre 1 entre ces deux porosités n'engagent que leur auteur. Ils sont pourtant lourds de conséquence quant à la loi de transport obtenue à l'échelle macroscopique.