Échelle de longueur λ 3 et propriétés de transport

L'échelle de longueur λ3 est singulière : sur l'exemple des sphères creuses, elle

semble pouvoir être parfois très grande devant la taille des billes (prés de 100 diamètres de billes pour φc = 0.0001), et se situe donc à des échelles de longueur auxquelles le

système devrait pourtant légitimement pouvoir -au moins d'un point de vue géométrique- être regardé comme un milieu homogène, et ne plus subir d'accident.

Partant ainsi du principe que λ3 n'est représentative d'aucune structure

géométrique 'visible' du matériau, nous avons mené en Annexe IV une étude spécifique visant à voir si, dans le modèle de sphères creuses, λ3 pouvait avoir une 'signature'

directe au niveau des propriétés de transport du système. Nous en résumons ici brièvement la démarche et les conclusions.

z

y

x x=0 _{n périodes de réseau} x=L=n.a a

a

C( x= 0,t > 0) = C0 C( x= L,t > 0) = 0

J(t)

Figure IV-12 : Mise en oeuvre des réseaux de sphères creuses dans une expérience d'invasion de traceur

L'étude s'appuie essentiellement sur des simulations menées à l'aide de notre code 3D de résolution de la loi de Fick. Nous étudions la diffusion d'un traceur à travers une ligne de n sphères creuses sensée représenter, via l'imposition de conditions aux limites périodiques dans les directions y et z , une tranche découpée dans le réseau infini des paragraphes précédents. A l'origine des temps, la concentration de traceur est nulle en tout point du réseau poreux. On impose alors une concentration C₀ sur le bord gauche de la boite de calcul (en x= 0 ) et une concentration nulle sur le bord opposé (en x= L), puis on suit au cours du temps le flux moyen J(t) de traceur par unité de surface à travers le bord droit.

Nous cherchons, en faisant varier la valeur de φc et l'épaisseur L= n a de la

tranche, à comparer J(t) avec le flux prédit lorsqu'on modélise la diffusion dans le matériau tour à tour avec :

- la loi de Fick macroscopique

- la modèle diffusif de Coats et Smith

Nous montrons qu'il est possible, à peine dépassée une épaisseur de matériau de l'ordre de 4 diamètres de billes, de modéliser le transport par diffusion avec ces modèles de milieu continu. λ3 agit comme un seuil quant au choix du modèle pertinent. Au delà,

la loi de Fick macroscopique instationnaire est applicable. En deçà, seul le modèle de Coats et Smith se révèle satisfaisant, montrant ainsi qu'une bonne modélisation à ces échelles se doit de tenir compte de l'existence des divers niveaux de porosité présents à l'échelle microscopique.

3.2.5 Conclusion

Nous avons pu mener dans les pages qui précèdent une étude du 'creux' de la courbe D(q) dans le cadre de systèmes de sphères creuses, très proches du modèle de Coats et Smith.

• Origine de l'effet de creux

La question qui motivait l'étude de ces réseaux était de savoir si il existait une relation directe entre la présence de porosités circulante et stagnante d'une part et l'effet de creux de la courbe D(q) d'autre part. L'ensemble des simulations menées ici sur ce système semble établir clairement un lien de cause à effet entre les deux phénomènes pour des systèmes à double porosité de type 'Coats et Smith'.

Nous pouvons néanmoins encore nous demander dans quelle mesure ce résultat est transposable à des systèmes qui ne posséderaient pas une porosité aussi organisée que les sphères creuses. Nous pensons en particulier ici aux empilements de sphères pleines du chapitre III, qui exhibent le creux sans pour autant présenter de structures particulières à l'échelle des pores. Cette question fera l'objet des paragraphes suivants.

• Échelle de longueur λ2

Nous avons montré sur l'exemple des sphères creuses que la différentiation entre porosités stagnante et circulante est extrêmement liée à l'échelle de longueur considérée. λ2 agit à ce niveau comme un seuil brutal au delà duquel la différentiation est légitime,

mais en deçà duquel les deux porosités retrouvent un rôle équivalent. λ2 s'est ici avérée

proche des échelles de longueurs caractéristiques de la microgéométrie du matériau. La question reste ouverte de savoir à quel point λ2 est lié aux échelles de corrélation

importantes du système. Nous avons néanmoins déjà des éléments qui nous poussent à penser que λ2 n'a pas une origine purement structurale comme, par exemple, les

longueurs d'onde auxquelles apparaissent les pic de diffraction dans le propagateur aux temps longs, mais surtout une origine dynamique fortement liée à l'état de connexion local des pores.

• Homogénéisation du matériau et échelle de longueur λ3

L'étude résumée plus haut montre qu'en ce qui concerne l'homogénéisation des lois de transport, deux échelles de longueur doivent bien être distinguées :

- une échelle d'homogénéisation, typiquement de quelques tailles de sphères, -que nous assimilons à la taille du VER-, au delà de laquelle le système peut être vu comme géométriquement homogène, et être décrit comme un milieu continu, éventuellement au moyen de lois complexes.

- l'échelle Fickienne λ3, supérieure ou égale à la précédente, dont le rôle se borne

à indiquer le seuil au delà duquel la loi de Fick instationnaire suffit à décrire le matériau.

Les propriétés de λ3 méritent cependant d'être commentées. Dans les sphères

creuses, où nous faisons l'hypothèse que l'interaction fluide-matériau (et/ou traceur- matériau, selon que l'on considère l'autodiffusion ou le transport par diffusion) est purement stérique, λ3 ne dépend pas de la nature du fluide et/ou du traceur utilisé :

strictement parlant, elle est en effet uniquement fonction de la géométrie du réseau poreux -géométrie dans laquelle nous incluons la porosité et la tortuosité des coques-. Néanmoins, le fait de trouver λ3 de l'ordre de 100 périodes de réseau pour φc = 0.0001

montre que cette longueur d'onde peut paraître parfois complètement décorrélée de la taille des structures 'évidentes' du système -ici, la taille des sphères-. Nous qualifions donc λ3 d'échelle de longueur 'cachée' du système : certes engendrée par les détails

géométriques du réseau poreux, elle a néanmoins, comme λ2, une origine dynamique,

et ne se manifeste que lorsque le matériau est sollicité d'une manière particulière. Un corollaire de tout ceci est que sans étude approfondie, l'échelle Fickienne ne peut être lue directement sur une simple image du matériau.