Analyse temporelle du propagateur de diffusion I : Définition d'un outil d'étude du passage micro-macro
4. Figures de dispersion en milieux périodiques premières observations
4.1 Milieu homogène infin
Le maillage considéré est le suivant :
x y z 32 mailles 32 mailles 32 mailles a = taille réelle = 1 D=1,φ=1
Figure II-7 : Cube vide servant comme maille élémentaire
pour la simulation d'un espace vide infini.
Il s'agit d'un cube vide, de côté a= 1, de coefficient de diffusion D = D0 = 1 et de
porosité φ = 1. Ces données chiffrées sont celles qui ont été utilisées dans les calculs. Elles ont en fait peu d'importance dans la suite, car nous raisonnerons en terme de quantités sans dimensions. Le cube est discrétisé à raison de 32 mailles par côté. Il représente un milieu homogène infini. Nous avons établi numériquement la figure de dispersion de ce système dans la direction 100
[
]
à raison de 40 modes calculés par vecteur q de la première zone de Brillouin.1ère ZDB qa 4π -4π 0 0 50 100 150 190 -π π n=0 n=1 n=2,3,4,5 n=6 n=6,7,8,9 n=7,8,9,10 n=10 a2 D0T
Figure II-8 : Structure de bande pour le cube vide. Le système d'indexation est indiqué pour les
premières bandes. En bas à droite, les courbes n=1 et n=7 ont été partiellement repassées en trait pointillé. La parabole d'équation 1/T= D0q2 a été tracée en trait fin continu, et se confond presque partout avec des portions de bandes.
• Compréhension 'mathématique' de la structure de bandes
Les bandes 1 / Tn(q) obtenues numériquement sont exposées dans la figure ci- dessus. Elles sont périodiques et présentent un aspect en zigzag. Le système d'indexation est indiqué pour les bandes les plus basses. Il devient rapidement difficile à suivre dès que l'on monte dans les valeurs de 1 / T . La présente exploration en vecteurs q se situe bien en deçà de la limite de précision du code -que nous estimons ici à q= 32π / a-. De même, les plus hautes valeurs de a2 / D0Tn(q) atteintes restent inférieures au seuil d'apparition des modes non-physiques -évalué ici à 1660-. La réunion des bandes fait apparaître un réseau de paraboles plus ou moins décalées, avec une périodicité de translation de 2π / a le long de l'axe des q.
Il est possible de calculer analytiquement la structure de bande 'théorique', et de la confronter à ces résultats numériques. Par le jeu de la périodicité qu'introduisent les dimensions du cube dans les 3 directions de l'espace, un vecteur d'onde qr= (q,0,0) de la première zone de Brillouin est susceptible d'indexer tous les modes propres suivants -qui sont ici des ondes planes- :
ei (q
[
+2nxπ )x+2nyπy+2nzπz]
(II-37) où nx, ny et nz sont des nombres entiers. Ces modes ne se limitent donc pas aux seules ondes planes dont le vecteur d'onde est colinéaire à la direction x . Ils ont respectivement pour vitesse de relaxation par diffusion :1 T = D φ (q+ 2nxπ ) 2 + 4π2(ny2+ nz 2 )
[
]
(II-38)Cette formule rend compte du système de paraboles observé dans la première zone de Brillouin. La périodicité en q des fonctions 1 / Tn(q) étend sa validité à toutes les valeurs de q . Chaque parabole de la structure de bandes correspond ainsi à un jeu particulier de valeurs de nx, ny et nz.
Par exemple, le choix ny = nz = 0 engendre la sous famille des paraboles qui
passent par 1 / T = 0. Les paraboles immédiatement supérieures ont pour minimum dans la figure ci-dessus 4π2 ≈ 40 , et correspondent aussi bien à (ny = 0, nz = 1),
(ny = 0, nz = −1), (ny = 1, nz = 0) qu'à (ny = −1, nz = 0). Elles sont donc dégénérées à
l'ordre 4, dans le sens où à chacun de leur point correspondent 4 états propres différents. Les minimums des paraboles qui suivent sont :
8π2(≈ 79) pour (ny = ±1, nz = ±1), dégénéré d'ordre 4
16π2(≈ 158) pour (ny = ±2, nz = 0) ou (ny = 0, nz = ±2), dégénéré d'ordre 4
également.
Ils correspondent parfaitement aux valeurs numériques calculées.
• "Hauteur" atteinte par la structure de bandes
Les valeurs propres les plus hautes calculées ici sont de l'ordre de 200. Nous avons calculé que si nous avions pu nous restreindre aux seuls modes ny = nz = 0 -c'est
à dire, aux modes donc le vecteur d'onde est orienté selon x -, la valeur seuil de a2/ D0T ≈ 1660 aurait été atteinte dès l'extraction de la 13ème bande. Le jeu de dégénérescence des valeurs propres demande en fait ici d'extraire pour chaque vecteur d'onde un nombre considérable d'états propres avant de pouvoir 'monter' -même de manière modeste- dans les valeurs de 1 / T . Ce problème sera récurrent pour toutes les figures de dispersion et/ou structures de bandes qui seront calculées dans la suite.
• Pondération des bandes dans la figure de dispersion
Nous examinons maintenant les coefficients an(q) obtenus numériquement. Il a été vu que la figure de dispersion dans un milieu homogène infini est une simple parabole d'équation : 1 T = D φ q 2 = D0q2 (II-39)
Nous nous attendons donc à retrouver cette parabole en codant en niveau de gris la valeur des an(q) sur les courbes de la structure de bande. C'est effectivement ce qui est observé sur la figure suivante.
1ère ZDB qa 4π -4π 0 0 50 100 150 190 -π π an(q)=0 an(q)=1 a2 D0T
Figure II-9 : Figure de dispersion obtenue numériquement pour le milieu homogène infini. La valeur des
coefficients an (q) a été codée en niveau de gris sur les bandes de la figure précédente. Les 'moustaches' qui apparaissent en certains points de la parabole 'grasse' sont des artefacts du programme ayant permis de générer cette image. Ils n'apparaissent pas dans les données chiffrées. La 'parabole de Fick' correspondant à la figure de dispersion théorique a été tracée en trait fin. Elle disparaît sous la partie noire de la figure de dispersion. Nous avons laissé en grisé la structure de bande sous-jacente.
Nous avons pu contrôler au plan quantitatif que les an(q) numériques sont bien égaux à 1 le long de la parabole de Fick et, à défaut d'être rigoureusement nuls ailleurs, du moins largement négligeables.
Nous nous intéressons enfin pour chaque vecteur q à la somme des pondérations des 40 états propres calculés :
an(q)
n=0
39
∑
(II-40)Elle revêt un intérêt fondamental dans la caractérisation de la figure de dispersion. En effet, le fait que pour un vecteur q donné cette somme tronquée soit égale à 1 indique qu'à la verticale de ce point, la figure de dispersion reconstruite numériquement est complète, et ne mérite donc pas que d'autres modes plus hauts en valeur propre soient explorés. On observe ici, en accord avec la figure de dispersion théorique, que cette somme vaut 1 -en fait, à mieux que 10−6 près- pour tous les vecteurs d'onde qui 'supportent la parabole de Fick' sur notre structure de bande tronquée, et est négligeable ailleurs.
Figure II-10 : Somme des coefficients
an (q) pour la portion de figure de dispersion calculée. 10- 1 6 10- 1 4 10- 1 2 10- 1 0 10-8 10-6 10-4 10-2 100 -6π -4π -2π 0 2π 4π 6π ∑ a n (q) qa