Comme le modèle initial présenté dans le Chapitre 1, suite aux travaux de O. Messal et H. Dhahbi, le nouveau modèle considère l'induction globale B comme entrée et le champ magné-tique à la surface Hstat comme sortie. Le champ Hstat est divisé en deux composantes :
1. une reconstruite à partir de la courbe anhystérétique qui est appelée Hanhys (anhys – anhystérétique) ;
2. et une appelée Hcomp (comp – complémentaire) qui peut comporter non seulement des phénomènes irréversibles mais aussi des phénomènes réversibles.
Nous avons donc :
𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡 = 𝐻𝑎𝑛ℎ𝑦𝑠+ 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝 (3-1)
En suivant cette approche de décomposition, nous devons chercher des fonctions capables de représenter la variation de Hanhys et Hcomp en fonction de B(t). De plus, comme le nouveau modèle est dépendant de la mémoire magnétique, le champ magnétique statique Hstat dépend à la fois de la valeur actuelle de B et de sa séquence passée déterminée sélectivement par une liste de coordonnées des extrémités antérieures, {(Breb, Hreb)}. Cette dépendance est attribuée à la composante complémentaire. La composante anhystérétique est supposée indépendante de la mémoire magnétique. Ainsi, Hanhys et Hcomp peuvent être exprimés par (3-2).
{𝐻𝑎𝑛ℎ𝑦𝑠= 𝑓𝑎𝑛ℎ𝑦𝑠(𝐵)
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝑓𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐵, {(𝐵𝑟𝑒𝑏, 𝐻𝑟𝑒𝑏)}) (3-2)
La modélisation de fanhys(B) est relativement courante, elle est soit modélisée par une fonc-tion arbitraire telle que l'équafonc-tion de Langevin, soit par une technique d'interpolafonc-tion. Notre principale préoccupation est donc la fonction fcomp(B, {(Breb, Hreb)}) capable de modéliser la composante complémentaire de toute séquence d'état magnétique. Dans les paragraphes sui-vants, nous présentons le principe de la reconstruction de la composante complémentaires dans le cas le plus simple des cycles d’hystérésis centrés et puis pour des cycles d’hystérésis arbi-traires.
3.1.1 Hcomp des cycles d’hystérésis centrés
Pour faciliter la compréhension, nous examinons tout d’abord le cas le plus simple. C’est la modélisation des cycles d'hystérésis des excitations B(t) sinusoïdal ou triangulaire sans offset comme sur la Fig. 3-1. Nous avons un ensemble de points de rebroussement à {(±Ba, ±Ha)}. Comme pour le modèle LS statique initial, on cherche la fonction fcomp qui peut être reformulée sous la forme fcomp(B, {(±Ba, ±Ha)}) ou simplement fcomp(B, (Ba, Ha)) connaissant deux caracté-ristiques initiales : la courbe de première aimantation et le cycle majeur à Bmax.
Notre approche consiste à rechercher une représentation mathématique pour fcomp(B,(Ba, Ha)) des cycles d'hystérésis centrés et à la généraliser pour avoir fcomp(B, {(Breb, Hreb)}) des courbes
de renversement de tout ordre. Par conséquent, un ensemble de cycles d'hystérésis centrés avec différentes valeurs Ba est nécessaire pour construire le nouveau modèle. Dans la Fig. 3-2, nous recitons la Fig. 1-25 pour détailler les notions utilisées pour étudier fcomp(B,( Ba, Ha)).
Fig. 3-1 Formes d’onde de l’induction (a) des cycles d’hystérésis centrés (b).
Fig. 3-2 (a) Notions du modèle LS statique ; (b) composantes de champ après avoir éliminé Hanhys.
Dans la Fig. 3-2, on a :
- Un cycle d’hystérésis à quasi-saturation en aqua dans la figure a, autrement dit le cycle majeur dont l’amplitude de l’induction est de Bmax ;
- Une courbe Hanhys(B) en noire dans la figurea ; cette courbe est approximée par la courbe médiane du cycle majeur ;
- Une courbe d’enveloppe du cycle majeur 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) en aqua dans la figure b ; cette courbe est en fait le champ Hcomp du cycle majeur ; elle est déduite en supprimant le composant anhysterétique du cycle majeur (le calcul est représenté par les flèches noires dans la figure a), autrement dit en transformant la courbe Hanhys(B) de la figure a à l’axe horizontal dans la figure b. L’enveloppe 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) se compose de deux parties, une positive 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) et une négative 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵) correspondent respective-ment à la branche ascendante et branche descendante du cycle majeur ;
𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣−(𝐵) = −𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) (3-3) t B + Ba B(t) + Ba(Breb) (a) B H Hanhys(B) + Ba2 + Ba1 + Ba3 - Ba2 - Ba1 - Ba3 Hcomp(B) - Ba(Brebp) (b)
Cycle d’hystérésis majeur Hstat(B) Courbe anhysterétique Hanhys(B)
Courbe de première aimantation H1stMag(B) Cycle d’hystérésis intermédiaire
Courbe Hcompenv (B)
Courbe anhysterétique Hanhys(B) Courbe H1 env (B) Courbe Hcomp(B) - Bmax + Bmax (Breb, Hreb) (Brebp, Hrebp) - Bmax + Bmax ΔHreb ΔHrebp ( ) −( ) (a) (b) Brebp Breb ΔH
- Un cycle d’hystérésis intermédiaire en jaune dans la figurea dont l’amplitude Ba est inférieure à Bmax ; la composante Hcomp(B) de ce cycle, représentée par la courbe jaune dans la figureb, est calculée en utilisant (3-1) ; ce calcul est représenté par les flèches rouges dans la figurea ;
- Une composante représentant la différence entre le champ statique du cycle intermé-diaire et du cycle majeur est introduite ; elle est interprétée par les flèches jaunes dans les figures a et b et par la formule (3-4); elle est appelée la courbe de renverse-ment différentielle et dénotée par ΔH(B) ; cette courbe est déduite à partir de l’enve-loppe positive 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) si B est en augmentation et à partir de l’enveloppe négative 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) si B est en diminution ;
𝛥𝐻 = 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡− 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒𝑛𝑣= 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝− 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (3-4)
- Chaque branche d’un cycle d’hystérésis intermédiaire est limitée entre les deux ex-trema les plus récents (Breb, Hreb) et (Brebp, Hrebp) ; dans le cas du cycle mineur centré de la figure a, ces deux extrema correspondent à (±Ba, ±Ha) ;
- Les valeurs ΔH des extremums sont dénotées ΔHreb et ΔHrebp dans la figureb. - Une courbe de première aimantation en rouge, désignée H1stMag(B) dans la figure a ;
elle est approximativement déterminée par les points de renversement des cycles cen-trés intermédiaires ; la différence entre H1stMag(B)et Hanhys(B) donne l’enveloppe de la courbe de première aimantation dans la figure b (en rouge), désignée 𝐻1𝑠𝑡𝑀𝑎𝑔𝑒𝑛𝑣 (𝐵) ; Pour garantir que les extrémités des cycles d’hystérésis centrés parcourent toujours la courbe de première aimantation, une phrase d’initialisation est introduite, dans laquelle la courbe Hstat(B) suit systématiquement la courbe de première aimantation jusqu’à ce qu’un point de rebroussement apparaisse à (Ba, Ha) ou (-Ba, -Ha). Ensuite le champ statique est divisé en Hanhys et Hcomp. Ce dernier est calculé par une approche similaire à l’ancien modèle sur la base d’une homothétie de ΔH(B) dont les paramètres sont identifiés à partir des courbes Hcomp(B) expéri-mentales à plusieurs niveaux de (±Ba, ±Ha).
Dans le nouveau modèle, la formulation mathématique de l’homothétie et ainsi des autres notions de base telles que Hanhys(B), H1stMag(B), 𝐻𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑣 (𝐵) sera réexaminée. Avant de passer à cela, nous dédions le prochain paragraphe à la gestion de mémoire magnétique dans le cas d’un cycle d’hystérésis quelconque.
3.1.2 Hcomp des cycles d’hystérésis quelconques et la gestion de mémoire
Pour un modèle d’hystérésis statique avec mémoire magnétique, les états futurs dépendent des variations d’entrée passées. Il s’avère que la mémoire est sélective. En effet, seuls certains extrema d’entrée passés (et non la totalité des variations d’entrée) {(Breb, Hreb)} laissent leurs marques sur les états futurs d’un modèle d’hystérésis statique (propriétés d’effacement) [187]. La variation entre deux extrema consécutifs produit systématiquement une branche
(descendante ou ascendante), autrement dite une courbe de renversement d’un cycle d’hystéré-sis. Ainsi, un modèle d’hystérésis a besoin toujours des outils mathématiques spéciaux pour décrire la mémoire sélective, ou autrement dit pout détecter les extrema locaux, les accumuler, les effacer et choisir les plus appropriés pour produire la courbe de renversement.
Un extremum est déterminé lorsque l’évolution de B passe d’une augmentation à une dimi-nution (dit un maximum) ou vice versa (dit un minimum). Il s’agit communément d’un point de rebroussement qui est noté Breb. Dans notre modèle, ces points sont détectés numériquement de manière progressive, identifiés et sauvegardés dans deux piles qui suivent la règle LIFO (last in, first out). Une pile Breb,min contient les minima et une pile Breb,max contient les maxima.
Un exemple est donné à la Fig. 3-3. L’excitation magnétique et le cycle d’hystérésis corres-pondant sont présentés respectivement dans la figure a et la figure b. D’abord, ou peut observer six extrema dont trois maxima B1reb,max, B2reb,max, B3reb,max et trois minima B1reb,min, B2reb,min, B3reb,min. Les portions entre les extrema sont numérotées de 1 à 6. La dernière portion, après l’extremum B3
reb,min est divisé en trois plus petites portions, y compris 7, 7’ et 7’’.
En comparant ensuite les parties entre deux lignes violettes pointillées des portions 2, 4 et 6 (la figure b), on trouve que bien qu’elles correspondent à une même variation de B, elles ne se superposent pas. Cela confirme que le champ Hstat dépend de B et ainsi de l’histoire magnétique particulière de chaque portion. On observe le même comportement pour les portions 3, 5 et 7.
Fig. 3-3 (a) Forme d’onde de (t) avec plusieurs e trema, (b) Cycle d’hystérésis corespondant.
Troisièmement, la portion 7 est intentionnellement divisée en trois plus petite portion 7, 7’ et 7’’ car leur mémoire magnétique se distinguent ou elles ont des différentes listes des points de rebroussement due à la propriété d’effacement de la mémoire magnétique. Cela s’explique par le mécanisme de formation de mémoire ci-dessous. En appliquant ce mécanisme, on iden-tifie la mémoire magnétique de chaque portion de la Fig. 3-3a. Le résultat est donné dans le
Tableau 3-1. En consultant ce tableau, nous comprendrions mieux le mécanisme.
Au départ, les deux piles Breb,max et Breb,min de la mémoire sont vides, nous initialisons la reconstruction du cycle d’hystérésis en suivant la courbe d’aimantation jusqu’à l’apparition d’un Breb (la portion 1). Ce point est enregistré dans la pile correspondant. Ensuite, à chaque nouvel état d’aimantation, on met à jour les piles par trois règles suivantes :
t
B B1
reb, max(Brebp)
B(t7’’)
B1
reb, min(Breb) (a) B2
reb, min(Breb) 1 3 5 2 4 6 B2
reb, max(Brevp)
B H 7 7’ 7’’ B3 reb, min B3 reb, max (b) 1 2 4 6 3 5 7 7’ 7’’ B(t7’)
1. Accumulation : si un Breb est reconnu comme un minimum supérieur aux minima enregistrés (pour la portion 5, B2reb,min est supérieur que B1reb,min) ou un maximum inférieur aux maximums enregistrés (pour la portion 4, B2reb,max est inférieur que B1reb,max), il est accumulé au sommet de la pile correspondante.
2. Effacement : si l’entrée B(t) augmente et qu’elle est supérieure à un ou plusieurs Breb,max précédemment mémorisés en même temps, ces derniers maxima ainsi que le même nombre de Breb,max doivent être effacés. En revanche, si l’entrée est décrois-sante et qu’elle est inférieure à un ou plusieurs minimums enregistrés précédemment. A titre d’exemple, dans la Fig. 3-3, quand B passe de la portion 7 à la portion 7’, B dépasse B3reb,max, donc pour la portion 7’, il faut supprimer B3
reb,max et B3reb,min de la mémoire. Ensuite, B passe à la portion 7’’, B dépasse B2reb,max, il faut supprimer B2reb,max etB2reb, max de la mémoire. En général, seuls les extrema dominants sont sau-vegardés par le modèle.
3. Ou bien rien ne change parce que l’entrée B(t) continue d’avancer ou de reculer, ce n’est ni un nouvel Breb, ni une violation de la condition d’effacement.
Tableau 3-1 Piles Breb,min et Breb,max pour B(t) présenté dans la Fig. 3-3.
Portion 1 (+) Portion 2 (-) Portion 3 (+) Portion 4 (-) Portion 5 (+)
Min Max Min Max Min Max Min Max Min Max
n/a n/a n/a B1
reb,max B1 reb,min B1 reb,max B1 reb,min B2 reb,max B2 reb,min B2 reb,max B1 reb,max B1 reb,min B1 reb,max
Portion 6 (+) Portion 7 (+) Portion 7’ (-) Portion 7’’ (-)
Min Max Min Max Min Max Min Max
B2 reb,min B3 reb,max B3 reb,min B3 reb,max B2 reb,min B2 reb,max B1 reb,min B1 reb,max B1 reb,min B2 reb,max B2 reb,min B2 reb,max B1 reb,min B1 reb,max B1 reb,max B1 reb,min B1 reb,max
Dans notre modèle, le point de rebroussement le plus récent sauvegardé dans la mémoire est désigné par (Breb, Hreb) tandis que le deuxième plus récent est désigné par (Brebp, Hrebp). Dans la
Fig. 3-3a, les points Breb et Brebp de la portion 7’ et 7’’ sont notés par les couleurs correspon-dantes à ces portions. Comme les valeurs de Hreb et Hrebp dépendent de leurs extrema précédents, (Breb, Hreb) et (Brebp, Hrebp) représentent de manière suffisamment explicite la dépendance de la courbe de renversement par rapport à l'histoire magnétique. Donc fcomp(B, {(Breb, Hreb)}) est équivalent à fcomp(B, ( Breb, Hreb, Brebp, Hrebp)). Lorsque l’excitation magnétique varie de Breb à Brebp, la courbe de renversement correspondante doit passer par le point (Brebp, Hrebp). Par exemple, dans la Fig. 3-3b, la portion 7’ passe par {B3
reb,max, H3
reb,max} et la portion 7’’ passe par {B2
reb,max, H2
reb,max}. Cette propriété garantit la fermeture des cycles d'hystérésis.
Dans la partie suivante, on regarde des comportements expérimentaux des composantes de champ des différents matériaux pour aboutir aux lois générales. Elles sont décrites par des fonc-tions mathématiques et généralisées pour toutes les classes d'aciers électriques.